--- /dev/null
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{pst-anamorphosis-add,pst-plot,pst-3d}
+\usepackage{pst-grad}
+\usepackage[nomessages]{fp}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[ansinew]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage[a4paper]{geometry}
+%\pagestyle{empty}
+\definecolor{sepia}{rgb}{1,0.8,0.8}
+\definecolor{grisclair}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
+\definecolor{BleuCiel}{cmyk}{0.2,0,0,0}
+\definecolor{OrangePale}{cmyk}{0,0.2,0.4,0}
+\title{Les anamorphoses : présentation théorique}
+\author{Jürgen Gilg, Manuel Luque, Jean-Michel Sarlat}
+\date{15 octobre 2011}
+\begin{document}
+\maketitle
+\section{L'anamorphose cylindrique}
+\input{fig3d-anacyl.tex}
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.5)
+\pnode(6,7){V}
+\uput[0](V){$V$}
+\pnode(3,6.5){S}
+\pnode(-3,6.5){S'}
+\pnode(3,2.8){I}
+\pnode(1,0){P}
+\pnode(5,0){P'}
+\uput[45](P'){$P'$}
+\pnode(3,0){G}
+\pnode(-3,0){G'}
+\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)(S')
+\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7.5)
+\uput[135](P){$P$}
+\uput[-45](G){$G$}
+\uput[135](I){$I$}
+\psline(V)(P)
+\psline(S)(G)
+\rput(I){%
+\psline[linestyle=dashed](3;0)%
+\uput[0](3;0){$N$}%
+\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-90}{-54.46}%
+\psarc[doubleline=true](0,0){1}{54.46}{90}
+\uput[72](1.2;72){$\alpha$}%
+\uput[-72](1.2;-72){$\alpha$}%
+\rput{-90}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
+}
+\psline[linecolor=red](V)(I)(P')
+\pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
+\pcline[nodesepB=2.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
+\qdisk(I){2pt}
+\qdisk(P){2pt}
+\qdisk(V){2pt}
+\qdisk(P'){2pt}
+\qdisk(G){2pt}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(1,-0.2)
+\uput[-90](0.5,-0.2){$r_P$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(0,2.8)(3,2.8)
+\uput[-90](1.5,2.8){$r_I=R$}
+\end{pspicture}
+\end{center}
+On place à l'intérieur du cylindre l'image telle qu'elle doit
+être vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique
+(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
+Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
+géométrique :
+\begin{itemize}
+ \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
+ plan ;
+ \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
+ rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
+\end{itemize}
+L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
+placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
+l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
+parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
+l'illusion que le rayon provient du point image.
+Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
+rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
+L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
+considéré comme ponctuel.
+
+Soit $P$ un point de l'image(noté $A'$ dans le schéma ci-après), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
+droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le
+cylindre : c'est le point d'incidence.\par
+$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
+L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\
+ y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
+ z_V-z_I&=&\rho(z_V-0)
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\
+ y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
+ z_I&=&z_V(1-\rho)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la
+relation :
+$$x_I^2+y_I^2=R$$
+Après développement, on obtient l'équation du second degré en
+$\rho$:
+$$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec :
+ $$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ a=(x_V-x_P)^2+(y_V+y_P)^2\\
+ b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
+ c=x_V^2+y_V^2-R^2
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+La résolution de cette équation nous donne les solutions
+classiques:
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
+ \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
+ \end{array}
+ \right.
+ \qquad \Delta'=b'^2-ac
+ $$
+On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$.
+\par
+$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
+défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
+au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
+cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
+\begin{enumerate}
+ \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
+ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
+\end{enumerate}
+La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
+$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\
+La première condition se traduit par :
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
+ y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
+ z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
+ y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
+ z_{V'}=2z_I-z_V
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+La deuxième par :
+$$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$
+En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition
+dans la deuxième :
+$$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$
+$$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
+$$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
+Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
+ y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
+ z_{V'}=z_V(1-2\rho)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
+horizontal $z=0$.\par
+\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
+$\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V'}-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\
+ y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\
+ z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit
+$$\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho}$$
+En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
+anamorphique.
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
+ y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
+l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
+dont le miroir « redressera » la forme.
+
+On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend aisément en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale étant fixée $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ étant symétriques par rapport à la génératrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donné alors $A$ est fixé quelque soit~$z_V$.
+\section{L'anamorphose conique}
+Le principe est identique à celui de l'anamorphose cylindrique :
+imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet « anamorphique »,
+se réfléchissant sur le miroir conique et parvenant à l'{\oe}il de
+l'observateur placé au-dessus et dans l'axe du cône à une position
+suffisamment haute pour que l'observateur puisse être considéré
+comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer
+l'image reconstituée par le miroir conique. Image et objet sont
+dans le plan horizontal.
+\input{fig3d-anacon.tex}
+Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec
+le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de
+$V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,Z_V)$, $S(0,0,Z_S)$ et
+$P(X_P,Y_P,0)$.
+
+L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
+\[\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ 0-x_I&=&\lambda(0-x_P)\\
+ 0-y_I&=&\lambda(0-y_P)\\
+ z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_I&=&\lambda x_P\\
+ y_I&=&\lambda y_P\\
+ z_I&=&(1-\lambda)z_V
+ \end{array}
+ \right.
+\]
+On pose :
+\[
+ r_I^2=x_I^2+y_I^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2\quad\textrm{et}\quad |\overrightarrow{OG}|=R
+\]
+Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la
+relation (th\'{e}or\^{e}me de Thalès):
+\[
+ \frac{R}{z_S}=\frac{r_I}{z_S-z_I}
+\]
+%
+\[
+ \frac{R}{z_S}=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}
+\]
+\[
+ \lambda=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V}
+\]
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,10)
+\pnode(0,10){V}
+\uput[0](V){$V$}
+\pnode(0,5){S}
+\uput[0](S){$S$}
+\pnode(1.5,2.5){I}
+\pnode(2,0){P}
+\pnode(4.545,0){P'}
+\uput[45](P'){$P'$}
+\psdots[dotstyle=|](P')
+\pnode(3,0){G}
+\pnode(-3,0){G'}
+\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)
+\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.5)
+\uput[45](P){$P$}
+\uput[-45](G){$G$}
+\uput[70](I){$I$}
+\psline(V)(P)
+\psline(S)(G)
+\rput(I){%
+\psline[linestyle=dashed](4;30.96)
+\uput[15.5](4;30.1){$N$}
+\rput{-59.036}(0,0){\psframe(0.5,0.5)}
+\psarc[doubleline=true](0,0){1}{101.31}{120.964}
+%\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036}
+\psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{-59.036}{-39.38}
+\pnode(1.2;-50){I1}
+\pnode(1.2;112){I2}
+\uput[-50](I1){$\alpha$}
+\uput[112](I2){$\alpha$}
+}
+\rput(P'){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1}{140.175}{180}
+\uput[160](1;160){$\alpha'$}}
+\rput(S){\psarc[linecolor=gray,linewidth=2\pslinewidth](0,0){1}{-90}{-59.036}
+\uput[-75](1;-75){$\theta$}}
+\rput(V){\psarc(0,0){2}{-90}{-78.69}
+\uput[-80](2;-85){$\beta$}}
+\psline[linecolor=red](V)(I)(P')
+\pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
+\pcline[nodesepB=4,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
+\qdisk(I){2pt}
+\qdisk(P){2pt}
+\qdisk(S){2pt}
+\qdisk(V){2pt}
+\qdisk(P'){2pt}
+\qdisk(G){2pt}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(2,-0.2)
+\uput[-90](1,-0.2){$r_P$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.8)(3,-0.8)
+\uput[-90](1.5,-0.8){$R$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(1.5,2.5)(0,2.5)
+\uput[-90](0.75,2.5){$r_I$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-0.2,0)(-0.2,5)
+\uput[180](-0.2,2.5){$z_S$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-1,0)(-1,10)
+\uput[180](-1,5){$z_V$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linestyle=dashed](1.5,2.5)(1.5,0)
+\end{pspicture}
+\end{center}
+Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon
+r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\alpha'$.
+
+Un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire nous montre que :
+\[
+ \alpha'=90^\circ-2\theta+\beta
+\]
+avec
+\[
+ \beta=\arctan\frac{r_P}{z_V}
+\]
+et
+\[
+ \theta=\arctan\frac{R}{z_S}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^{o}ne }
+\]
+Dans le plan horizontal, les coordonn\'{e}es de $P'$ sont :
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\[0.5cm]
+ y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\
+ \end{array}
+\right.
+\]
+\section{L'anamorphose sphérique}
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-4,-1)(8,5)
+\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,0){2}{0}{180}
+\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,0)(7.5,5)
+\pnode(1.5,0){P}
+\pnode(0,0){O}
+\pnode(!/alpha 15 def /xI 2 alpha cos mul def /yI 2 alpha sin mul def /beta yI xI 1.5 sub atan def xI yI){I}
+\psline(P)(I)
+\rput(I){\pnode(!beta cos 5 mul beta sin 5 mul){V}}
+\psline[linecolor=red](I)(V)
+\rput(I){\psarc[doubleline=true](0,0){1}{!alpha}{!beta}
+ \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}}
+\pnode(!yI neg xI 2 alpha mul beta sub tan mul add 2 alpha mul beta sub tan div 0){M}
+\psline[linecolor=red](M)(I)
+\pcline[nodesepB=0.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(M)(I)
+\pcline[nodesepB=2,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(I)
+\uput[75](1;15){$R$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(V)
+\uput[75](3,2.7){$r_V$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.3)(1.5,-0.3)
+\uput[-90](0.75,-0.3){$r_P$}
+\rput(I){%
+\psline[linestyle=dashed](5;15)
+\uput[15](5;15){$N$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.5;105)
+\uput[105](1.5;105){$T$}
+\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.25;-75)
+\rput{-75}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
+}
+\uput[-45](P){$P$}
+\uput[-45](M){$P'$}
+\uput[70](I){$I$}
+\uput[u](V){$V$}
+\psdot(P)
+\psdot(I)
+\psdot(V)
+\psdot(M)
+\end{pspicture}
+\end{center}
+
+On place à l'intérieur de la demi-sphère l'image telle qu'elle doit
+être vue par un observateur regardant dans le miroir sphérique.
+(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sphère, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
+Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
+géométrique :
+\begin{itemize}
+ \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
+ plan ;
+ \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
+ rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
+\end{itemize}
+L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
+placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
+l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
+parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
+l'illusion que le rayon provient du point image.
+Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
+rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
+L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
+considéré comme ponctuel.
+
+Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
+droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec la
+sphère : c'est le point d'incidence.\par
+$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
+L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_V-x_I&=&\lambda(x_V-x_P)\\
+ y_V-y_I&=&\lambda(y_V-y_P)\\
+ z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_I&=&x_V(1-\lambda)+\lambda x_P\\
+ y_I&=&y_V(1-\lambda)+\lambda y_P\\
+ z_I&=&z_V(1-\lambda)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Le point $I$ appartenant à la sphère, ses coordonnées vérifient la
+relation :
+$$x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2$$
+On pose :
+\[
+ r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2
+\]
+\[
+\left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2
+\]
+\[
+x_V^2+2\lambda x_V(x_P-x_V)+\lambda^2(x_P-x_V)^2+y_V^2+2\lambda y_V(y_P-y_V) +\lambda^2(y_P-y_V)^2+(1-2\lambda+\lambda^2)z_V^2=R^2
+\]
+Après développement, on obtient l'équation du second degré en
+$\lambda$:
+\[
+\lambda^2\left((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2+z_V^2\right)+2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^2\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
+R^2=0
+\]
+\[
+\lambda^2\left(x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\right)+2\lambda\left(-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
+R^2=0
+\]
+\[
+a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
+\]
+Pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$
+\[
+a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V
+\]
+Pour le coefficient $2b'$ de $\lambda$ :
+\[
+2b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V
+\]
+Pour le coefficient $c$ :
+\[
+c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
+\]
+\[
+a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
+\]
+avec :
+\[\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
+ b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
+ c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
+ \end{array}
+ \right.
+\]
+\[\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ a=r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
+ b'=-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
+ c=r_V^2-R^2
+ \end{array}
+ \right.
+\]
+La résolution de cette équation nous donne les solutions
+classiques:
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ \lambda'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
+ \lambda''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
+ \end{array}
+ \right.
+ \qquad \Delta'=b'^2-ac
+ $$
+On retiendra la valeur positive.% et \texttt{Coeff1} dans le programme.
+\par
+$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
+défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
+au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
+cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
+\begin{enumerate}
+ \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
+ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
+\end{enumerate}
+La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
+$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$\\
+La première condition se traduit par :
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
+ y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
+ z_V-z_I+z_{V'}-z_I=kz_I
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
+ y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
+ z_{V'}=kz_I+2z_I-z_V
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+La deuxième par :
+\[
+(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0
+\]
+En remplaçant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}'$ tirés de la première condition
+dans la deuxième :
+\[
+k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0
+\]
+\[
+kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
+\]
+\[
+k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)+z_Vz_I
+\]
+Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
+ y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
+ z_{V'}=(k+2)z_I-z_V
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
+horizontal $z=0$.\par
+\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
+$\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_I-x=\alpha(x_I-x_{V'})\\
+ y_I-y=\alpha(y_I-y_{V'})\\
+ z_I-z=\alpha(z_I-z_{V'})
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{I}}{z_I-z_{V'}}$.
+
+En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
+anamorphique.
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x=x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\
+ y=y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\
+ z=0
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
+l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
+dont le miroir « redressera » la forme.
+
+\textbf{Remarque} : l'image doit se former du côté de l'observateur à l'intérieur du miroir, plus près du bord du miroir que du centre.
+Si on déplace le point $P$ vers $O$, il arrive un moment où le rayon réfléchi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan
+horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !
+
+\section{La perspective}
+Dans le livre de Jurgis Baltru\9aaïtis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives dépravées} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la « \textit{costruzione legittima} » avec un schéma de Léonard de Vinci (1492) et des schémas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 :
+
+<< Rappelons en quelques mots quels ont été le procédés utilisés par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La première ligne tracée est celle de l'horizon à la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fixés : au milieu le point principal vers où convergent toutes les lignes droites parallèles qui s'éloignent en profondeur ; sur la même horizontale et à la même distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.
+>>
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-5,-3)(5,15)
+\psset{ua=2,F=10,D=4,type=perspective}
+\psframe*[linecolor=BleuCiel](-5,10)(5,13)
+\psframe*[linecolor=OrangePale](-5,2)(5,10)
+\psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(0,14)
+\psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(7,0)
+\uput[0](7,0){$x$}
+\uput[90](0,14){$y$}
+\psline(-5,2)(5,2)
+\pnode(4,10){F'}
+\pnode(0,10){F}
+\uput[ul](F){${F}$}
+\uput[ur](F'){${F'}$}
+\rput(0,12){\multido{\n=22.5+45.0}{8}{%
+\psline[linecolor=yellow](1;\n)}%
+\pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=0,gradend=yellow,gradbegin=gray]{0.5}}
+\multido{\i=-2+1}{5}{%
+ \pnode(! \i\space -2){A}
+ \pnode(! \i\space 2){B}
+ \psline(A)(B)
+ \pslineA(A)(B)
+ }%
+\multido{\i=-2+1}{5}{%
+ \pnode(!-2 \i){A}
+ \pnode(!2 \i){B}
+ \pslineA[linecolor=blue](A)(B)
+ \psline[linecolor=blue](A)(B)
+ }%
+\pnode(0,0){O}
+\pnodeA(0,0){O'}
+\pnode(-2,2){A}
+\pnodeA(-2,2){A'}
+\pnode(2,2){B}
+\pnodeA(2,2){B'}
+\pnode(-2,-2){C}
+\pnodeA(-2,-2){C'}
+\pnode(2,-2){D}
+\pnodeA(2,-2){D'}
+\pnode(-1,-1){M1}
+\pnodeA(-1,-1){M1'}
+\pnode(-1,1){M2}
+\pnodeA(-1,1){M2'}
+\pnode(-1,0){N1}
+\pnodeA(-1,0){N1'}
+\pnode(-1,2){P}
+\pnodeA(-1,2){P'}
+\pnode(-2,0){N2}
+\pnodeA(-2,0){N2'}
+\pnode(-2,1){N3}
+\pnodeA(-2,1){N3'}
+\pnodeA(-2,-1){S'}
+\pnode(0,2){Q}
+\pnode(1,2){R}
+\psline(A)(F)(B)
+\psline[linecolor=red](A)(F')
+\psline[linecolor=red](P)(F)
+\psline[linecolor=lightgray](P)(F')
+\psline[linecolor=lightgray](Q)(F')
+\psline[linecolor=lightgray](R)(F')
+\psline[linecolor=lightgray](S')(F')
+\psline[linecolor=lightgray](N2')(F')
+\psline[linecolor=lightgray](N3')(F')
+\uput[dl](A){${A}$}
+\uput[dr](B){${B}$}
+\uput[ul](A'){${A'}$}
+\uput[ur](B'){${B'}$}
+\uput[dl](C){${C}$}
+\uput[dr](D){${D}$}
+\uput[ul](P){${P}$}
+\uput[u](P'){${P'}$}
+\uput[ul](C'){${C'}$}
+\uput[ur](D'){${D'}$}
+\uput[dl](O){${O}$}
+\uput[dr](O'){${O'}$}
+\psline{<->|}(-3,2)(-3,10)
+\uput[l](-3,6){$f$}
+\pcline{|<->|}(F)(F')
+\uput[u](2,10){$e$}
+\psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O')
+\psdots[linecolor=blue](N1)(N1')
+\uput[dl](N1){$\blue {N_1}$}
+\uput[dl](N1'){$\blue {N_1'}$}
+\psdots[linecolor=gray](M2)(M2')
+\uput[dr](M2){\tiny $\gray {(X,Y)}$}
+\uput[dr](M2'){\tiny $\gray {(x',y')}$}
+\psdots[linecolor=red](M1')
+\uput[dr](M1'){\tiny $\red {(\alpha_1,\beta_1)}$}
+\end{pspicture}
+\end{center}
+Exemples :
+\begin{itemize}
+ \item $A\longrightarrow A'$
+ \item $B\longrightarrow B'$
+ \item $C\longrightarrow C'$
+ \item $D\longrightarrow D'$
+ \item $O\longrightarrow O'$
+ \item $M_1\longrightarrow M_1'$
+ \item $M_2\longrightarrow M'_2$
+\end{itemize}
+Déterminons les coordonnées $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection
+de $(PF)$ avec $(AF')$.
+
+Posons que les coordonnées des points essentiels sont :
+\begin{itemize}
+ \item $F(0,f)$
+ \item $F'(e,f)$
+ \item $A(-a,a)$
+ \item $B(a,a)$
+ \item $C(a,-a)$
+ \item $D(-a,-a)$
+ \item $P(X,a)$
+\end{itemize}
+\'Equation de $(AF')$ :
+$$\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow
+x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0$$
+\'Equation de $(PF)$ :
+$$\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0$$
+Intersection $(PF)\bigcap (AF')$
+$$\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e}$$
+Si on prend maintenant, un point d'ordonnée $Y\neq X$ par exemple
+$N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais à
+l'intersection de $PF$ avec la parallèle à $x'Ox$ menée par le
+point-image du point de coordonnée $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est
+l'image de $O(0,0)$).
+
+Il s'agit de déterminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'équation :
+$$y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e}$$
+Après calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
+$$\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e}$$
+En résumé si dans le repère $Oxy$, on appelle $(X,Y)$ les
+coordonnées d'un point-objet et $(x',y')$ les coordonnées du point
+image dans la transformation \textbf{anamorphose oblique} ou
+\textbf{perspective}, les formules qui permettent de passer de
+l'objet à l'image s'écrivent :
+\boldmath
+\[\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ {\blue x'}=\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm]
+ {\blue y'}=\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e}
+ \end{array}
+\right.
+\]
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
Projets / pst-anamorphosis.git / blobdiff
Les fichiers de Syracuse sont mis à
disposition (sauf mention contraire) selon les termes de la