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-\title{Les anamorphoses : présentation théorique}
-\author{Jürgen Gilg, Manuel Luque, Jean-Michel Sarlat}
-\date{15 octobre 2011}
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+\def\syracuseTitle{Les anamorphoses : pr\'{e}sentation th\'{e}orique}
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\begin{document}
-\maketitle
+
+%% === BEGIN == Page de garde =================================================
+
+\thispagestyle{empty}
+
+\pstPutAbs(0,-29.7){%
+\begin{pspicture}(0,0)(21,29.7)
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+}
+\pstPutAbs(12.5,-15){%
+\parbox{0.4\textwidth}{\Large\raggedleft
+ {\LARGE\textbf{Contributeurs}}\\[0.2cm]
+ J\"{u}rgen \textsc{Gilg}\\
+ Manuel \textsc{Luque}\\
+ Jean-Michel \textsc{Sarlat}
+}}
+\vfill
+\begin{center}
+\textcolor{white}{\textbf{\today}}\\[0.3cm]
+\textcolor{white}{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pst-anamorphosis/}}\\
+\includegraphics[scale=0.4]{logo_syracuse}
+\end{center}
+
+%% == END == Page de garde ====================================================
+
+\newpage
+
\section{L'anamorphose cylindrique}
+
+On place \`{a} l'int\'{e}rieur du cylindre l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles.
+
+Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique :
+\begin{itemize}
+ \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ;
+ \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence.
+\end{itemize}
\input{fig3d-anacyl.tex}
+L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
+
+L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel.
+
+Soit $P$ un point de l'image(not\'{e} $A'$ dans le sch\'{e}ma ci-apr\`{e}s), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $(PV)$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec le cylindre : c'est le point d'incidence.
+\[
+V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0)
+\]
+L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
+\begin{equation}\label{eq:paracyl}
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\
+ y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
+ z_V-z_I&=&\rho(z_V-0)
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\
+ y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
+ z_I&=&z_V(1-\rho)
+ \end{array}
+ \right.
+\end{equation}
\begin{center}
-\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.5)
+\begin{pspicture}(-4,-0.5)(6.5,8)
\pnode(6,7){V}
\uput[0](V){$V$}
\pnode(3,6.5){S}
\pnode(-3,0){G'}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)(S')
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7.5)
+\uput[0](6.5,0){$x$}
+\uput[90](0,7.5){$z$}
\uput[135](P){$P$}
\uput[-45](G){$G$}
\uput[135](I){$I$}
\uput[0](3;0){$N$}%
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-90}{-54.46}%
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{54.46}{90}
-\uput[72](1.2;72){$\alpha$}%
-\uput[-72](1.2;-72){$\alpha$}%
+\uput[72](1.2;72){$\varepsilon$}%
+\uput[-72](1.2;-72){$\varepsilon$}%
\rput{-90}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
}
\psline[linecolor=red](V)(I)(P')
\uput[-90](1.5,2.8){$r_I=R$}
\end{pspicture}
\end{center}
-On place à l'intérieur du cylindre l'image telle qu'elle doit
-être vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique
-(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
-Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
-géométrique :
-\begin{itemize}
- \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
- plan ;
- \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
- rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
-\end{itemize}
-L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
-placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
-l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
-parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
-l'illusion que le rayon provient du point image.
-Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
-rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
-L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
-considéré comme ponctuel.
-
-Soit $P$ un point de l'image(noté $A'$ dans le schéma ci-après), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
-droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le
-cylindre : c'est le point d'incidence.\par
-$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
-L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
-$$\left\lbrace
+Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation :
+\begin{equation}\label{eq:cylindre}
+x_I^2+y_I^2=R^2
+\end{equation}
+(\ref{eq:paracyl}) en (\ref{eq:cylindre}) et apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en $\rho$:
+\begin{gather*}
+\left(x_V(1-\rho)+\rho x_P\right)^2+\left(y_V(1-\rho)+\rho y_P\right)^2=R^2\\
+x_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho x_Vx_P+\rho^2 x_P^2+y_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho y_Vy_P+\rho^2 y_P^2=R^2\\
+(x_V^2+y_V^2-2x_Vx_P-2y_Vy_P)\rho^2+2(-x_V^2+x_Vx_P-y_V^2+y_Vy_P)\rho+x_V^2+y_V^2=R^2
+\end{gather*}
+Comparaison avec
+\[
+a\rho^2+2b'\rho+c=0
+\]
+donne :
+\[
+\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
- x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\
- y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
- z_V-z_I&=&\rho(z_V-0)
+ a&=&(x_V-x_P)^2+(y_V-y_P)^2\\
+ 2b'&=&x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
+ c&=&x_V^2+y_V^2-R^2
\end{array}
\right.
- \Longrightarrow
- \left\lbrace
+\]
+La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques:
+\[
+\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
- x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\
- y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
- z_I&=&z_V(1-\rho)
- \end{array}
- \right.
- $$
-Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la
-relation :
-$$x_I^2+y_I^2=R$$
-Après développement, on obtient l'équation du second degré en
-$\rho$:
-$$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec :
- $$\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- a=(x_V-x_P)^2+(y_V+y_P)^2\\
- b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
- c=x_V^2+y_V^2-R^2
- \end{array}
- \right.
- $$
-La résolution de cette équation nous donne les solutions
-classiques:
-$$\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
- \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
+ \rho'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm]
+ \rho''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
\end{array}
\right.
\qquad \Delta'=b'^2-ac
- $$
+\]
On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$.
-\par
-$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
-défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
-au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
-cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
+
+$(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
\item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
\end{enumerate}
-La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
-$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\
-La première condition se traduit par :
-$$\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
- y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
- z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0
+La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$
+
+La premi\`{e}re condition se traduit par :
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\
+ y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\
+ z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&0
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
- y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
- z_{V'}=2z_I-z_V
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\
+ y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\
+ z_{V'}&=&2z_I-z_V
\end{array}
\right.
- $$
-La deuxième par :
-$$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$
-En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition
-dans la deuxième :
-$$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$
-$$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
-$$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
-Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
-$$ \left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
- y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
- z_{V'}=z_V(1-2\rho)
+\]
+La deuxi\`{e}me par :
+\[
+(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0
+\]
+En rempla\c{c}ant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me :
+\begin{gather*}
+k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0\\
+kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)\\
+k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)
+\end{gather*}
+Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent :
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\
+ y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\
+ z_{V'}&=&z_V(1-2\rho)
\end{array}
\right.
- $$
-Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
-horizontal $z=0$.\par
-\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
-$\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
-$$ \left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_{V'}-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\
- y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\
- z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I)
+\]
+Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$.
+
+\'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{V'}-x&=&\alpha(x_{V'}-x_I)\\
+ y_{V'}-y&=&\alpha(y_{V'}-y_I)\\
+ z_{V'}-z&=&\alpha(z_{V'}-z_I)
\end{array}
\right.
- $$
+\]
$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit
-$$\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho}$$
-En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
-anamorphique.
-$$ \left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
- y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
+\[
+\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho}
+\]
+En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{P'}&=&x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
+ y_{P'}&=&y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
\end{array}
\right.
- $$
-Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
-l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
-dont le miroir « redressera » la forme.
+\]
+Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.
+
+On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend ais\'{e}ment en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale \'{e}tant fix\'{e}e $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ \'{e}tant sym\'{e}triques par rapport \`{a} la g\'{e}n\'{e}ratrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donn\'{e} alors $A$ est fix\'{e} quelque soit~$z_V$.
+
+\newpage
-On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend aisément en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale étant fixée $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ étant symétriques par rapport à la génératrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donné alors $A$ est fixé quelque soit~$z_V$.
\section{L'anamorphose conique}
-Le principe est identique à celui de l'anamorphose cylindrique :
-imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet « anamorphique »,
-se réfléchissant sur le miroir conique et parvenant à l'{\oe}il de
-l'observateur placé au-dessus et dans l'axe du cône à une position
-suffisamment haute pour que l'observateur puisse être considéré
-comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer
-l'image reconstituée par le miroir conique. Image et objet sont
-dans le plan horizontal.
+
+Le principe est identique \`{a} celui de l'anamorphose cylindrique : imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet <<~anamorphique~>>, se r\'{e}fl\'{e}chissant sur le miroir conique et parvenant \`{a} l'{\oe}il de l'observateur plac\'{e} au-dessus et dans l'axe du c\^{o}ne \`{a} une position suffisamment haute pour que l'observateur puisse \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer l'image reconstitu\'{e}e par le miroir conique. Image et objet sont dans le plan horizontal.
\input{fig3d-anacon.tex}
-Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec
-le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de
-$V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,Z_V)$, $S(0,0,Z_S)$ et
-$P(X_P,Y_P,0)$.
+Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de $V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,z_V)$, $S(0,0,z_S)$ et $P(x_P,y_P,0)$.
L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
-\[\left\lbrace
+\[
+\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
0-x_I&=&\lambda(0-x_P)\\
0-y_I&=&\lambda(0-y_P)\\
\[
r_I^2=x_I^2+y_I^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2\quad\textrm{et}\quad |\overrightarrow{OG}|=R
\]
-Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la
-relation (th\'{e}or\^{e}me de Thalès):
-\[
- \frac{R}{z_S}=\frac{r_I}{z_S-z_I}
-\]
-%
-\[
- \frac{R}{z_S}=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}
-\]
-\[
- \lambda=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V}
-\]
+Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation (th\'{e}or\`{e}me de Thal\`{e}s):
+\begin{align*}
+ \frac{R}{z_S}&=\frac{r_I}{z_S-z_I}\\
+ \frac{R}{z_S}&=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}\\
+ \lambda&=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V}
+\end{align*}
\begin{center}
-\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,10)
+\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.75)
\pnode(0,10){V}
\uput[0](V){$V$}
\pnode(0,5){S}
\pnode(3,0){G}
\pnode(-3,0){G'}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)
-\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.5)
+\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.25)
+\uput[0](5.5,0){$x$}
+\uput[90](0,10.25){$z$}
\uput[45](P){$P$}
\uput[-45](G){$G$}
\uput[70](I){$I$}
\psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{-59.036}{-39.38}
\pnode(1.2;-50){I1}
\pnode(1.2;112){I2}
-\uput[-50](I1){$\alpha$}
-\uput[112](I2){$\alpha$}
+\uput[-50](I1){$\varepsilon$}
+\uput[112](I2){$\varepsilon$}
}
\rput(P'){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1}{140.175}{180}
-\uput[160](1;160){$\alpha'$}}
+\uput[160](1;160){$\varepsilon'$}}
\rput(S){\psarc[linecolor=gray,linewidth=2\pslinewidth](0,0){1}{-90}{-59.036}
\uput[-75](1;-75){$\theta$}}
\rput(V){\psarc(0,0){2}{-90}{-78.69}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linestyle=dashed](1.5,2.5)(1.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
-Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon
-r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\alpha'$.
+Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\varepsilon'$.
Un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire nous montre que :
\[
- \alpha'=90^\circ-2\theta+\beta
+ \varepsilon'=90^\circ-2\theta+\beta
\]
avec
\[
\[
\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
- x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\[0.5cm]
- y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\
+ x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\[0.5cm]
+ y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\
\end{array}
\right.
\]
-\section{L'anamorphose sphérique}
+
+\newpage
+
+\section{L'anamorphose sph\'{e}rique}
+
+On place \`{a} l'int\'{e}rieur de la demi-sph\`{e}re l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir sph\'{e}rique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sph\`{e}re, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles.\par Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique :
+\begin{itemize}
+ \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ;
+ \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence.
+\end{itemize}
+\input{fig3d-anasphere.tex}
+L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
+
+L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel.
+
+Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $PV$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec la sph\`{e}re : c'est le point d'incidence.
+\[
+V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0)
+\]
\begin{center}
-\begin{pspicture}(-4,-1)(8,5)
+\shorthandoff{!}
+\begin{pspicture}(-4,-0.5)(8,5.5)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,0){2}{0}{180}
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,0)(7.5,5)
+\uput[0](7.5,0){$x$}
+\uput[90](0,5){$z$}
\pnode(1.5,0){P}
-\pnode(0,0){O}
+\pnode(0,0){O}\uput[dl](O){$O$}
\pnode(!/alpha 15 def /xI 2 alpha cos mul def /yI 2 alpha sin mul def /beta yI xI 1.5 sub atan def xI yI){I}
\psline(P)(I)
\rput(I){\pnode(!beta cos 5 mul beta sin 5 mul){V}}
\psline[linecolor=red](I)(V)
\rput(I){\psarc[doubleline=true](0,0){1}{!alpha}{!beta}
- \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}}
+\psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}}
+\uput{1.2}[!alpha beta add 2 div](I){$\varepsilon$}
+\uput{1.4}[!3 alpha mul beta sub 2 div](I){$\varepsilon$}
\pnode(!yI neg xI 2 alpha mul beta sub tan mul add 2 alpha mul beta sub tan div 0){M}
\psline[linecolor=red](M)(I)
\pcline[nodesepB=0.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(M)(I)
\psdot(M)
\end{pspicture}
\end{center}
-
-On place à l'intérieur de la demi-sphère l'image telle qu'elle doit
-être vue par un observateur regardant dans le miroir sphérique.
-(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sphère, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
-Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
-géométrique :
-\begin{itemize}
- \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
- plan ;
- \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
- rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
-\end{itemize}
-L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
-placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
-l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
-parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
-l'illusion que le rayon provient du point image.
-Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
-rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
-L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
-considéré comme ponctuel.
-
-Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
-droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec la
-sphère : c'est le point d'incidence.\par
-$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
-L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
-$$\left\lbrace
+L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
+\begin{equation}\label{eq:para}
+\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
x_V-x_I&=&\lambda(x_V-x_P)\\
y_V-y_I&=&\lambda(y_V-y_P)\\
z_I&=&z_V(1-\lambda)
\end{array}
\right.
- $$
-Le point $I$ appartenant à la sphère, ses coordonnées vérifient la
-relation :
-$$x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2$$
+\end{equation}
On pose :
\[
- r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2
+r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2
\]
-\[
-\left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2
-\]
-\[
+Le point $I$ appartenant \`{a} la sph\`{e}re, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation :
+\begin{equation}\label{eq:sphere}
+x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2
+\end{equation}
+(\ref{eq:para}) en (\ref{eq:sphere})
+\begin{gather*}
+\left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2\\
x_V^2+2\lambda x_V(x_P-x_V)+\lambda^2(x_P-x_V)^2+y_V^2+2\lambda y_V(y_P-y_V) +\lambda^2(y_P-y_V)^2+(1-2\lambda+\lambda^2)z_V^2=R^2
-\]
-Après développement, on obtient l'équation du second degré en
+\end{gather*}
+Apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en
$\lambda$:
-\[
+\begin{gather*}
\lambda^2\left((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2+z_V^2\right)+2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^2\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
-R^2=0
-\]
-\[
+R^2=0\\
\lambda^2\left(x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\right)+2\lambda\left(-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
R^2=0
-\]
+\end{gather*}
+Comparaison avec
\[
a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
\]
-Pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$
+donne pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$ :
\[
a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V
\]
\[
c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
\]
+Alors
\[
a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
\]
avec :
-\[\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
- b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
- c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ a&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
+ 2b'&=&-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
+ c&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
\end{array}
\right.
\]
\[\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- a=r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
- b'=-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
- c=r_V^2-R^2
+ \begin{array}{lcl}
+ a&=&r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
+ 2b'&=&-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
+ c&=&r_V^2-R^2
\end{array}
\right.
\]
-La résolution de cette équation nous donne les solutions
-classiques:
-$$\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- \lambda'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
- \lambda''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
+La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques:
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ \lambda'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm]
+ \lambda''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
\end{array}
\right.
\qquad \Delta'=b'^2-ac
- $$
+\]
On retiendra la valeur positive.% et \texttt{Coeff1} dans le programme.
-\par
-$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
-défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
-au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
-cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
+
+$(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
\item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
\end{enumerate}
-La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
-$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$\\
-La première condition se traduit par :
-$$\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
- y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
- z_V-z_I+z_{V'}-z_I=kz_I
+La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$
+
+La premi\`{e}re condition se traduit par :
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\
+ y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\
+ z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&kz_I
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
- y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
- z_{V'}=kz_I+2z_I-z_V
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\
+ y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\
+ z_{V'}&=&kz_I+2z_I-z_V
\end{array}
\right.
- $$
-La deuxième par :
-\[
-(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0
\]
-En remplaçant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}'$ tirés de la première condition
-dans la deuxième :
+La deuxi\`{e}me par :
\[
-k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0
-\]
-\[
-kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
+(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0
\]
+En rempla\c{c}ant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me :
+\begin{gather*}
+k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0\\
+kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)\\
+k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
+\end{gather*}
+Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent :
\[
-k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)+z_Vz_I
-\]
-Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
-$$ \left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
- y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
- z_{V'}=(k+2)z_I-z_V
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\
+ y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\
+ z_{V'}&=&(k+2)z_I-z_V
\end{array}
\right.
- $$
-Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
-horizontal $z=0$.\par
-\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
-$\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$
-$$ \left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x_I-x=\alpha(x_I-x_{V'})\\
- y_I-y=\alpha(y_I-y_{V'})\\
- z_I-z=\alpha(z_I-z_{V'})
+\]
+Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$.
+
+\'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_I-x&=&\alpha(x_I-x_{V'})\\
+ y_I-y&=&\alpha(y_I-y_{V'})\\
+ z_I-z&=&\alpha(z_I-z_{V'})
\end{array}
\right.
- $$
+\]
$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{I}}{z_I-z_{V'}}$.
-En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
-anamorphique.
-$$ \left\lbrace
- \begin{array}{l}
- x=x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\
- y=y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\
- z=0
+En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_{P'}&=&x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\
+ y_{P'}&=&y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\
+ z_{P'}&=&0
\end{array}
\right.
- $$
-Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
-l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
-dont le miroir « redressera » la forme.
+\]
+Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.
+
+\textbf{Remarque} : l'image doit se former du c\^{o}t\'{e} de l'observateur \`{a} l'int\'{e}rieur du miroir, plus pr\`{e}s du bord du miroir que du centre. Si on d\'{e}place le point $P$ vers $O$, il arrive un moment o\`{u} le rayon r\'{e}fl\'{e}chi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !
-\textbf{Remarque} : l'image doit se former du côté de l'observateur à l'intérieur du miroir, plus près du bord du miroir que du centre.
-Si on déplace le point $P$ vers $O$, il arrive un moment où le rayon réfléchi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan
-horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !
+\newpage
\section{La perspective}
-Dans le livre de Jurgis Baltru\9aaïtis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives dépravées} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la « \textit{costruzione legittima} » avec un schéma de Léonard de Vinci (1492) et des schémas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 :
-<< Rappelons en quelques mots quels ont été le procédés utilisés par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La première ligne tracée est celle de l'horizon à la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fixés : au milieu le point principal vers où convergent toutes les lignes droites parallèles qui s'éloignent en profondeur ; sur la même horizontale et à la même distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.
->>
+Dans le livre de Jurgis Baltru\v{s}a\"{\i}tis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives d\'{e}prav\'{e}es} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la <<~\textit{costruzione legittima}~>> avec un sch\'{e}ma de L\'{e}onard de Vinci (1492) et des sch\'{e}mas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 :
+\begin{quote}\itshape
+<<~Rappelons en quelques mots quels ont \'{e}t\'{e} le proc\'{e}d\'{e}s utilis\'{e}s par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La premi\`{e}re ligne trac\'{e}e est celle de l'horizon \`{a} la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fix\'{e}s : au milieu le point principal vers o\`{u} convergent toutes les lignes droites parall\`{e}les qui s'\'{e}loignent en profondeur ; sur la m\^{e}me horizontale et \`{a} la m\^{e}me distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.~>>
+\end{quote}
\begin{center}
-\begin{pspicture}(-5,-3)(5,15)
+\begin{pspicture}(-5,-3)(5,14.25)
\psset{ua=2,F=10,D=4,type=perspective}
\psframe*[linecolor=BleuCiel](-5,10)(5,13)
\psframe*[linecolor=OrangePale](-5,2)(5,10)
\uput[dr](M1'){\tiny $\red {(\alpha_1,\beta_1)}$}
\end{pspicture}
\end{center}
+
+\newpage
+
Exemples :
\begin{itemize}
\item $A\longrightarrow A'$
\item $M_1\longrightarrow M_1'$
\item $M_2\longrightarrow M'_2$
\end{itemize}
-Déterminons les coordonnées $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection
-de $(PF)$ avec $(AF')$.
+D\'{e}terminons les coordonn\'{e}es $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection de $(PF)$ avec $(AF')$.
-Posons que les coordonnées des points essentiels sont :
+Posons que les coordonn\'{e}es des points essentiels sont :
\begin{itemize}
\item $F(0,f)$
\item $F'(e,f)$
\item $P(X,a)$
\end{itemize}
\'Equation de $(AF')$ :
-$$\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow
-x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0$$
+\[
+\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0
+\]
\'Equation de $(PF)$ :
-$$\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0$$
+\[
+\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0
+\]
Intersection $(PF)\bigcap (AF')$
-$$\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e}$$
-Si on prend maintenant, un point d'ordonnée $Y\neq X$ par exemple
-$N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais à
-l'intersection de $PF$ avec la parallèle à $x'Ox$ menée par le
-point-image du point de coordonnée $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est
-l'image de $O(0,0)$).
-
-Il s'agit de déterminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'équation :
-$$y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e}$$
-Après calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
-$$\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e}$$
-En résumé si dans le repère $Oxy$, on appelle $(X,Y)$ les
-coordonnées d'un point-objet et $(x',y')$ les coordonnées du point
-image dans la transformation \textbf{anamorphose oblique} ou
-\textbf{perspective}, les formules qui permettent de passer de
-l'objet à l'image s'écrivent :
-\boldmath
-\[\left\lbrace
- \begin{array}{l}
- {\blue x'}=\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm]
- {\blue y'}=\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e}
+\[
+\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e}
+\]
+Si on prend maintenant, un point d'ordonn\'{e}e $Y\neq X$ par exemple $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais \`{a} l'intersection de $PF$ avec la parall\`{e}le \`{a} $x'Ox$ men\'{e}e par le point-image du point de coordonn\'{e}e $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est l'image de $O(0,0)$).
+
+Il s'agit de d\'{e}terminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'\'{e}quation :
+\[
+y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e}
+\]
+Apr\`{e}s calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
+\[
+\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e}
+\]
+En r\'{e}sum\'{e} si dans le rep\`{e}re $Oxy$, on appelle $({\red X},{\red Y})$ les coordonn\'{e}es d'un point-objet et $({\blue x'},{\blue y'})$ les coordonn\'{e}es du point image dans la transformation \textit{anamorphose oblique} ou \textit{perspective}, les formules qui permettent de passer de l'objet \`{a} l'image s'\'{e}crivent :
+\[
+\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ {\blue x'}&=&\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm]
+ {\blue y'}&=&\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e}
\end{array}
\right.
\]
-
\end{document}
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Projets / pst-anamorphosis.git / blobdiff
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