gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex

   1 \documentclass[fleqn]{article}
   2 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   3 \usepackage[latin1]{inputenc}
   4 \usepackage[distiller]{pstricks}
   5 \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func,pst-solides3d}
   6 \usepackage{array,amsmath}
   7
   8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
   9 \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
  10
  11 \begin{document}
  12
  13 \section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau d'or}
  14 \subsection{L'exp\'{e}rience d'Ernest Rutherford en 1909}
  15
  16 Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) une mince feuille d'or.
  17 \begin{center}
  18 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)
  19 \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20}
  20 \psSolid[object=cube,a=1,fillcolor=orange,incolor=red!20](0,7.5,0)
  21 \psLineIIID[linecolor=red](0,7,0)(0,0,0)
  22 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(45 sin 4 mul,45 cos 4 mul,0)
  23 \psPolygonIIID[fillcolor=yellow,fillstyle=solid,opacity=0.5](-1.2,0,-1.2)(1.2,0,-1.2)(1.2,0,1.2)(-1.2,0,1.2)
  24 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(140 sin 4 mul,140 cos 4 mul,0)
  25 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(160 sin 4 mul,160 cos 4 mul,0)
  26 \defFunction{G}(t)
  27    {t sin 4 mul}
  28    {t cos 4 mul}
  29    {-0.5}
  30 \psSolid[object=cylindre,
  31    range=10 350,
  32    h=1,
  33    function=G,
  34    axe=0 0 1, %% valeur par d\'{e}faut
  35    ngrid=4 108,
  36    incolor=green!20,
  37    fillcolor=green!20,
  38    linecolor=gray!50,
  39    opacity=0.7]
  40 \psPoint(0,7.5,1){emit}
  41 \uput[u](emit){\'{E}metteur de particules $\alpha$}
  42 \psPoint(45 sin 4.3 mul,45 cos 4.3 mul,0){fluor}
  43 \uput[r](fluor){\'{E}cran fluorescent}
  44 \psSolid[object=plan,definition=equation,args={[0 -1 0 0]},name=pro,action=none]
  45 \psProjection[object=texte,text=Feuille d'or,plan=pro](0,0.7)
  46 \end{pspicture}
  47 \end{center}
  48
  49 \def\eqRuth{%
  50 y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
  51
  52 \section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboliques}
  53
  54 Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'une particule $\alpha$ a pour coordonn\'{e}s $(x/y)$ et vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. La particule d'or est plac\'{e}e dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$.
  55
  56 L'en\'{e}rgie cin\'{e}tique a pour expression :
  57 \[
  58 T(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)
  59 \]
  60 L'\'{e}nergie potentielle coulombienne :
  61 \[
  62 U(x,y)=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{dont} \quad k=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0}
  63 \]
  64 Le Lagrangien est :
  65 \[
  66 L(x,y,\dot{x},\dot{y})=T-U=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}
  67 \]
  68 Les \'{e}quations de Lagrange s'\'{e}crivent :
  69 Pour $x,\,\dot{x}$ :
  70 \begin{align*}
  71 \frac{\partial L}{\partial x}&=k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}\\
  72 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\dot{x}\\
  73 \frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\ddot{x}
  74 \end{align*}
  75 Alors
  76 \[
  77 m_0\ddot{x}-k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=0
  78 \]
  79 En divisant par $m_0$
  80 \[
  81 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
  82 \ddot{x}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
  83 }
  84 \]
  85 Le Lagrangien \'{e}tant sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors :
  86 \[
  87 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
  88 \ddot{y}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
  89 }
  90 \]
  91
  92 \section{La sym\'{e}trie des trajectoires}
  93
  94 \begin{center}
  95
  96 \begin{pspicture}(-5,-1)(5,4)
  97 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-0.5)(5,3)
  98 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-5,1)(5,1)
  99 \uput[0](5,0){$x$}
 100 \uput[90](0,3){$y$}
 101 \psline{<->}(-4.5,0)(-4.5,1)
 102 \uput[180](-4.5,0.5){$b$}
 103 \rput{20}(0,0){%
 104 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-0.5,1)(5,1)
 105 }
 106 \psdot[dotsize=0.25cm,linecolor=yellow](0,0)
 107 \psarc{->}(0,1){2}{0}{20}
 108 \uput{1.25cm}[10](0,1){$\vartheta$}
 109 \rput{10}(0,0){%
 110 \pscurve[linecolor=blue](-5,2)(0,1.5)(5,2)
 111 \psdot(0,1.5)
 112 \rput(0,1.75){$B$}
 113 }
 114 %\psgrid
 115 \psline[linecolor=red]{->}(0,0)(-0.3,1.5)
 116 \uput[0](-0.15,0.75){\textcolor{red}{$\vec{r}_B=\vec{r}_{\text{min}}$}}
 117 \psline{->}(0,0)(-3,1.2)
 118 \uput[-90](-1.5,0.6){$\vec{r}$}
 119 \psarc{->}(0,0){0.5}{0}{155}
 120 \uput[45](0,0){$\varphi$}
 121 \rput(7,2){\parbox{3cm}{Le vecteur $\vec{r}_B$ est l'axe de sym\'{e}trie de la hyperbole}}
 122 \end{pspicture}
 123 \end{center}
 124 Prenons des coordonn\'{e}es polaires avec les transformations usuelles :
 125 \[
 126 \vec{r}=\begin{pmatrix}
 127   x\\y
 128 \end{pmatrix}
 129 =\begin{pmatrix}
 130 r\cos\varphi\\
 131 r\sin\varphi
 132 \end{pmatrix}
 133 \]
 134 \c{C}a donne pour la vitesse :
 135 \[
 136 \vec{v}=\begin{pmatrix}
 137 \dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\
 138 \dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi
 139 \end{pmatrix}
 140 \]
 141 Le moment cin\'{e}tique :
 142 \[
 143 \vec{L}=m_0\vec{r}\times \vec{v}=m_0\begin{pmatrix}
 144 r\cos\varphi\\
 145 r\sin\varphi\\
 146 0
 147 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
 148 \dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\
 149 \dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi\\
 150 0
 151 \end{pmatrix}=m_0\begin{pmatrix}
 152 0\\
 153 0\\
 154 r^2 \dot{\varphi}
 155 \end{pmatrix}
 156 \]
 157 Conservation du moment cin\'{e}tique demande que
 158 \[
 159 \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{0}
 160 \]
 161 autrement dit :
 162 \[
 163 r^2\dot{\varphi}=\text{cste}\quad \Rightarrow\quad \dot{\varphi}=\frac{1}{r^2}\cdot \text{cste}
 164 \]
 165 La transformation $\varphi=\arctan\frac{y}{x}$ se d\'{e}rive par rapport au temps :
 166 \[
 167 \dot{\varphi}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\varphi=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\arctan\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{r^2}(x\dot{y}-\dot{x}y)
 168 \]
 169 On peut d\'{e}duire que $x\dot{y}-\dot{x}y$ est constante pour chaque temps $t$, alors aussi pour le temps $t_0=0$ (les conditions initiales) : $x=x_0,\,y=b,\,\dot{x}=v_0,\,\dot{y}=0$
 170 \[
 171 \frac{1}{r^2}=-\frac{1}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}
 172 \]
 173 Prenons la composante $y$ de la force coulombienne :
 174 \[
 175 F_y=m_0\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t}=\frac{k}{r^2}\sin\varphi=-\frac{k}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi
 176 \]
 177 Int\'{e}grant l'\'{e}quation entre $t_0$ et $t_E$ (presque infini)
 178 \[
 179 m_0\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t} \,\text{d}t=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi\,\text{d}t
 180 \]
 181 Substitutions des limites de l'int\'{e}gral :
 182 \[
 183 m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_E)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_E)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi
 184 \]
 185 Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_E)=v_0\sin\vartheta$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_E)=\vartheta$
 186 \[
 187 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_0\sin\vartheta}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^\vartheta
 188 \]
 189 puis
 190 \begin{align*}
 191 m_0v_0\sin\vartheta&=\frac{k}{bv_0}(\cos\vartheta +1)\\
 192 b&=\frac{k}{m_0v_0^2}\frac{\cos\vartheta +1}{\sin\vartheta}=\frac{k}{m_0v_0^2}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 193 \end{align*}
 194 Nommons l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 195 \[
 196 b(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 197 \]
 198 \section{La distance minimale entre le particule $\alpha$ et le noyau d'or}
 199
 200 Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est
 201 \[
 202 L_B=m_0r_Bv_B
 203 \]
 204 Le moment cin\'{e}tique initiale est $L_0=m_0bv_0$. La conservation du moment cin\'{e}tique $L_B=L_0$ donne :
 205 \[
 206 r_B=\frac{v_0}{v_B}b
 207 \]
 208 Prenons encore l'int\'{e}grale de la force coulombienne en direction $y$, mais seulement au point $B$ par le temps $t_B$ :
 209 \[
 210 m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_B)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_B)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi
 211 \]
 212 Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_B)=v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_B)=\frac{\pi+\vartheta}{2}$
 213 \[
 214 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^{\frac{\pi+\vartheta}{2}}
 215 \]
 216 on re\c{c}oit
 217 \[
 218 m_0v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{k}{bv_0}\left[\cos\left(\frac{\pi+\vartheta}{2}\right)+1\right]
 219 \]
 220 Avec la formule trigonom\'{e}trique $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\vartheta}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$ :
 221 \[
 222 v_B=\frac{k}{bm_0v_0}\frac{1-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}
 223 \]
 224 Substituant $r_B=\frac{v_0}{v_B}b$ et avec l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 225 \[
 226 r_\text{min}=r_B(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=b(\vartheta)\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}
 227 \]
 228
 229 \section{Point de retour}
 230
 231 Soit $b=0$, le particule $\alpha$ mouve directement vers le noyau d'or sur l'axe $x$ et \`{a} une distance $r_C$ du noyau d'or (point $C$) sa vitesse devient $v_C=0$. Prenons la conservation de l'\'{e}nergie :
 232 \[
 233 \frac{1}{2}m_0v_0^2=\frac{k}{r_0}+\frac{1}{2}m_0\underbrace{v_C^2}_{=0}
 234 \]
 235 \c{C}a donne
 236 \[
 237 r_C=\frac{2k}{m_0v_0^2}
 238 \]
 239 et avec la notation de l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 240 \[
 241 r_C=\frac{k}{E_0}
 242 \]
 243 \newpage
 244 \section{Les trajectoires des particules $\alpha$}
 245 Les param\`{e}tres suivants de l'exp\'{e}rience originale sont :
 246 \begin{align*}
 247 m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
 248 e_0&=1,6\cdot10^{-19}\,\text{C}\\
 249 \varepsilon_0&=8,85\cdot10^{-12}\,\frac{\text{A\,s}}{\text{kg\,m}^3}\\
 250 Z_1&=2\\
 251 Z_2&=79\\
 252 v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 253 \end{align*}
 254
 255 \begin{center}
 256 \begin{pspicture*}(-6,-9)(6,9)
 257 %\psset{unit=2}%
 258 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-9)(6,9)
 259 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
 260 \uput[0](5,0){$x$}
 261 \uput[90](0,8){$y$}
 262 \rput(3,1){Zone d'ombre}
 263 \uput[135](-0.6,0){$C$}
 264 \multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
 265 \pstVerb{%
 266     /Pi 3.1415 def
 267     /m0 6.64e-27 def
 268     /Z1 2 def
 269     /Z2 79 def
 270     /e0 1.6e-19 def
 271     /epsil 8.85e-12 def
 272     /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def
 273     /COU 7.5 def
 274     /x0 6 neg def
 275     /y0 \rA\space def
 276 %   /v0x 2.1e7 def
 277     /v0x 5 def
 278     /v0y 0 def
 279     /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div neg def
 280     /facteur v0x dup mul COU div 4 div def
 281 }%
 282 \psequadiff[method=rk4,
 283             plotpoints=1000,
 284             algebraic,
 285             whichabs=0,
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 288 %           ,saveData,filename=XiYi.dat
 289 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}%
 290 \listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop}
 291 }
 292 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30,linewidth=0pt,opacity=0.5]{%
 293 \psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{r1}{6}{x r1 sub sqrt 1.45 mul}
 294 \psline(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul)(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul neg)
 295 \psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{6}{r1}{x r1 sub sqrt 1.45 mul neg}
 296 }
 297 \pscircle*[linecolor=yellow](0,0){0.3}
 298 \psdot(!r1 0)
 299 \end{pspicture*}
 300 \end{center}
 301
 302
 303 \end{document}