gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex

   1 \documentclass[fleqn]{article}
   2 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   3 \usepackage[latin1]{inputenc}
   4 \usepackage[distiller]{pstricks}
   5 \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func,pst-solides3d}
   6 \usepackage{array,amsmath}
   7
   8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
   9 \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
  10
  11 \begin{document}
  12
  13 \section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau}
  14 \subsection{L'exp\'{e}riment d'Ernest Rutherford en 1909}
  15
  16 Rutherford bombarde des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) au travers d'une feuille d'or.
  17 \begin{center}
  18 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)
  19 \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20}
  20 \psSolid[object=cube,a=1,fillcolor=orange,incolor=red!20](0,7.5,0)
  21 \psLineIIID[linecolor=red](0,7,0)(0,0,0)
  22 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(45 sin 4 mul,45 cos 4 mul,0)
  23 \psPolygonIIID[fillcolor=yellow,fillstyle=solid,opacity=0.5](-1.2,0,-1.2)(1.2,0,-1.2)(1.2,0,1.2)(-1.2,0,1.2)
  24 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(140 sin 4 mul,140 cos 4 mul,0)
  25 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(160 sin 4 mul,160 cos 4 mul,0)
  26 \defFunction{G}(t)
  27    {t sin 4 mul}
  28    {t cos 4 mul}
  29    {-0.5}
  30 \psSolid[object=cylindre,
  31    range=10 350,
  32    h=1,
  33    function=G,
  34    axe=0 0 1, %% valeur par d\'{e}faut
  35    ngrid=4 108,
  36    incolor=green!20,
  37    fillcolor=green!20,
  38    linecolor=gray!50,
  39    opacity=0.7]
  40 \psPoint(0,7.5,1){emit}
  41 \uput[u](emit){Emitteur des particules $\alpha$}
  42 \psPoint(45 sin 4.3 mul,45 cos 4.3 mul,0){fluor}
  43 \uput[r](fluor){\'{E}cran fluorescent}
  44 \psSolid[object=plan,definition=equation,args={[0 -1 0 0]},name=pro,action=none]
  45 \psProjection[object=texte,text=Feuille d'or,plan=pro](0,0.7)
  46 \end{pspicture}
  47 \end{center}
  48
  49 \def\eqRuth{%
  50 y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
  51
  52 \section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboles}
  53
  54 Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'un particule $\alpha$ a les coordonn\'{e}s $(x/y)$ et la vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. Le particule d'or est mis dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$.
  55
  56 Pour l'en\'{e}rgie cin\'{e}tique on re\c{c}oit :
  57 \[
  58 T(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)
  59 \]
  60 Le potentiel coulombien, ce qui est conservatif :
  61 \[
  62 U(x,y)=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{dont} \quad k=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0}
  63 \]
  64 Le Lagrangien est :
  65 \[
  66 L(x,y,\dot{x},\dot{y})=T-U=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}
  67 \]
  68 Pour $x,\,\dot{x}$ :
  69 \begin{align*}
  70 \frac{\partial L}{\partial x}&=k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}\\
  71 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\dot{x}\\
  72 \frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\ddot{x}
  73 \end{align*}
  74 Alors
  75 \[
  76 m_0\ddot{x}-k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=0
  77 \]
  78 Division par $m_0$
  79 \[
  80 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
  81 \ddot{x}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
  82 }
  83 \]
  84 Le Lagrangien est sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors :
  85 \[
  86 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
  87 \ddot{y}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
  88 }
  89 \]
  90
  91 \newpage
  92 \section{Les trajectoires des particules $\alpha$}
  93
  94 L'exp\'{e}riment original donne les param\`{e}tres suivants :
  95 \begin{align*}
  96 m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
  97 e_0&=1,6\cdot10^{-19}\,\text{C}\\
  98 \varepsilon_0&=8,85\cdot10^{-12}\,\frac{\text{A\,s}}{\text{kg\,m}^3}\\
  99 Z_1&=2\\
 100 Z_2&=79\\
 101 v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 102 \end{align*}
 103
 104 \begin{center}
 105 \begin{pspicture*}(-6,-9)(6,9)
 106 %\psset{unit=2}%
 107 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-9)(6,9)
 108 \pscircle*[linecolor=gray](0,0){0.3}
 109 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
 110 \uput[0](5,0){$x$}
 111 \uput[90](0,8){$y$}
 112 \multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
 113 \pstVerb{%
 114     /Pi 3.1415 def
 115     /m0 6.64e-27 def
 116     /Z1 2 def
 117     /Z2 79 def
 118     /e0 1.6e-19 def
 119     /epsil 8.85e-12 def
 120     /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def
 121     /COU 7.5 def
 122     /x0 6 neg def
 123     /y0 \rA\space def
 124 %   /v0x 2.1e7 def
 125     /v0x 2 def
 126     /v0y 0 def
 127     /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div def
 128 }%
 129 \psequadiff[method=rk4,
 130             plotpoints=1000,
 131             algebraic,
 132             whichabs=0,
 133             whichord=1,
 134             tabname=XiYi
 135 %           ,saveData,filename=XiYi.dat
 136 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}%
 137 \listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop}
 138 }
 139
 140 \end{pspicture*}
 141 \end{center}
 142
 143
 144 \end{document}