doc/.svn/text-base/par-tube.tex.svn-base

   1 \section{Tubes}
   2
   3 Il s'agit de remplacer une courbe en deux ou trois dimensions (2D ou
   4 3D) définie paramétriquement, par un tube dont la courbe initiale
   5 constituera l'axe et dont on pourra choisir le rayon et le
   6 quadrillage. On trouve des éléments mathématiques concernant ces
   7 objets sur les deux sites suivants~:
   8
   9 \centerline{\url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Tube_(math\%C3\%A9matiques)}}
  10
  11 \centerline{\url{http://www.mathcurve.com/surfaces/tube/tube.shtml}}
  12
  13 Comme à l'habitude, le package \verb+pst-solides3d+ offre deux
  14 possibilités pour dessiner les tubes :
  15 \begin{itemize}
  16   \item via \texttt{`PSTricks'} et l'argument \verb+object+ de
  17     \verb+\psSolid+
  18   \item directement avec \verb+\codejps+
  19 \end{itemize}
  20
  21 \encadre{Il est souvent préférable de calculer préalablement, à la main ou
  22   bien avec un logiciel de calcul formel, la dérivée première
  23   des fonctions paramétriques définissant les coordonnées.}
  24
  25 En effet, si cette dérivée n'est pas explicitement définie par
  26 l'utilisateur, le package fait des calculs approchés, mais le résultat
  27 n'est pas toujours satisfaisant.
  28
  29 \subsection{Utilisation avec PSTricks}
  30
  31 \subsubsection{Donnez du relief à vos courbes}
  32 <<\textit{Donnez du relief à vos courbes}>>, c'est l'intitulé de l'article de Robert F\textsc{erréol} sur :
  33
  34 \centerline{\small\url{http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/relief/courbes\%20en\%20relief.html}}
  35
  36 à qui j'emprunte la courbe suivante qui est l'analogue d'une courbe de Lissajous enroulée autour d'un cylindre.
  37 \begin{LTXexample}[width=8cm]
  38 \begin{pspicture}(-3.5,-4)(4,4)
  39 \psset{lightsrc=80 30 30,viewpoint=100 45 30 rtp2xyz,Decran=110,linewidth=0.2pt}
  40 \psframe(-3.5,-4)(4,4)
  41 \defFunction[algebraic]{F}(t)
  42    {2.5*cos(t)}
  43    {2.5*sin(t)}
  44    {2*cos(5*t)}
  45 \defFunction[algebraic]{F'}(t)
  46    {-2.5*sin(t)}
  47    {2.5*cos(t)}
  48    {-10*sin(5*t)}
  49 \psSolid[object=courbe,
  50    range=0 6.28,
  51    hue=0 1 0.7 1,
  52    ngrid=360 8,
  53    function=F,
  54    r=0.15]
  55 \end{pspicture}
  56 \end{LTXexample}
  57
  58 On a utilisé l'argument \Cadre{[objet=courbe]} avec les paramètres
  59 \Cadre{[r=]}, \Cadre{[function=]} et \Cadre{[range=]} pour spécifier
  60 respectivement le rayon du tube, le nom de la fonction à utiliser et
  61 l'intervalle de définition de la fonction.
  62
  63 On peut également préciser le maillage avec l'argument optionnel
  64 \Cadre{[ngrid=$n_1$ $n_2$]} où $n_2$ représente le nombre de sommets
  65 sur une section du tube (si $n_2 = 6$, on a un tube à section
  66 hexagonale) et $n_1$ représente le nombre de divisions sur la longueur.
  67
  68
  69 \subsubsection{La courbe filaire s'obtient avec un rayon nul \texttt{[r=0]}}
  70
  71 Et du coup, pas la peine de spécifier la fonction dérivée.
  72
  73 \begin{LTXexample}[width=8cm]
  74 \begin{pspicture}(-3.5,-4)(4,4)
  75 \psset{lightsrc=80 30 30,
  76    viewpoint=100 45 30 rtp2xyz,Decran=110}
  77 \psframe(-3.5,-4)(4,4)
  78 \defFunction[algebraic]{F}(t)
  79    {2.5*cos(t)}
  80    {2.5*sin(t)}
  81    {2*cos(5*t)}
  82 \psSolid[object=courbe,
  83    range=0 6.28,
  84    linewidth=2pt,linecolor=blue,
  85    function=F,
  86    r=0]
  87 \end{pspicture}
  88 \end{LTXexample}
  89
  90 \subsection{Utilisation avec le \textbackslash{}codejps}
  91
  92 La syntaxe est \Cadre{\textbackslash{}codejps\{t1 t2 (nom\_fonction)
  93 rayon [n1 n2] newtube\}.}
  94
  95
  96 \begin{LTXexample}[pos=t]
  97 \begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(4,3.5)
  98 \psset{lightsrc=80 30 30,viewpoint=100 45 90 rtp2xyz,Decran=100,linewidth=0.2pt}
  99 \psframe(-3.5,-3.5)(4,3.5)
 100 \codejps{
 101 /rpn {tx@AlgToPs begin AlgToPs end cvx exec} def
 102 /xc {((2+1*cos(2.75*t))*cos(t)) rpn } def
 103 /yc {((2+1*cos(2.75*t))*sin(t)) rpn } def
 104 /zc {(1*sin(2.75*t)) rpn } def
 105 /xc' {(-2.75*sin(2.75*t)*cos(t)-(2+cos(2.75*t))*sin(t)) rpn } def
 106 /yc' {(-2.75*sin(2.75*t)*sin(t)+(2+cos(2.75*t))*cos(t)) rpn } def
 107 /zc' {(2.75*cos(2.75*t)) rpn } def
 108 /g {
 109 3 dict begin
 110    /t exch def
 111 xc yc zc
 112 end } def
 113 /g' { % dérivée première
 114 3 dict begin
 115    /t exch def
 116 xc' yc' zc'
 117 end } def
 118 /solenoide{
 119 % t_min t_max rayon_tube [resolution]
 120    0 25.2 (g) 0.1 [360 8] newtube
 121 dup [0 1] solidputhuecolors} def
 122 solenoide
 123 drawsolid**
 124 }%
 125 \end{pspicture}
 126 \end{LTXexample}
 127
 128 \subsection{Améliorer la rapidité d'affichage}
 129
 130 La courbe étudiée appelée << \textit{horoptère} >> est issue de la page :
 131
 132 \centerline{\url{http://www.mathcurve.com/courbes3d/horoptere/horoptere.shtml}}
 133
 134 \subsubsection{L'obtention directe de la courbe}
 135 Les lignes suivantes permettent de faire le calcul des points et le
 136 tracé de la courbe. La résolution de la courbe étant élevée, le calcul
 137 prend un temps que certains jugeront trop long.
 138 \begin{verbatim}
 139 \begin{pspicture}(-7,-2)(7,4)
 140 \psset{lightsrc=80 30 30}
 141 \psset{viewpoint=1000 60 20 rtp2xyz,Decran=1000}
 142 \psframe(-7,-2)(7,4)
 143 \psset{solidmemory}
 144 \codejps{/a 2 def /b 2 def}%
 145 \defFunction[algebraic]{F}(t)
 146    {a*(1+cos(t))}
 147    {b*tan(t/2)}
 148    {a*sin(t)}
 149 \defFunction[algebraic]{F'}(t)
 150    {-a*sin(t)}
 151    {b*(1+tan(1/2*t)^2)}
 152    {a*cos(t)}
 153 \psSolid[object=courbe,
 154    range=-2.7468 2.7468,
 155    ngrid=72 12,
 156    function=F,hue=0 1 0.7 1,
 157    action=none,name=H1,
 158    r=1]%
 159 \psSolid[object=cylindrecreux,
 160          h=20,r=1,RotX=90,
 161          incolor=green!30,action=none,
 162          name=C1,
 163          ngrid=36 36](2,10,0)
 164 \psSolid[object=fusion,
 165    base=H1 C1]
 166 \composeSolid
 167 \end{pspicture}
 168 \end{verbatim}
 169
 170 \subsubsection{La mise en mémoire des paramètres de la courbe}
 171
 172 Si cete courbe doit être utilisée plusieurs fois il est alors
 173 préférable d'enregistrer toutes les caractéristiques de cette courbe :
 174 coordonnées de sommets, liste et couleurs des facettes en remplaçant
 175 la dernière commande par :
 176 \begin{verbatim}
 177 \psSolid[object=fusion,
 178          base=H1 C1,
 179          file=horoptere,
 180          action=writesolid]
 181 \end{verbatim}
 182 La séquence suivante \Cadre{LaTeX fichier.tex->dvips->GSview
 183   (Windows)ou gv (Linux)} va créer 4 fichiers  :
 184 \begin{itemize}
 185   \item \texttt{horoptere-couleurs.dat} -> les couleurs des faces ;
 186   \item \texttt{horoptere-faces.dat} -> la liste des faces ;
 187   \item \texttt{horoptere-sommets.dat} -> la liste des sommets ;
 188   \item \texttt{horoptere-io.dat} -> le nombre de faces et de sommets.
 189 \end{itemize}
 190 \encadre{Par défaut, sous Windows et Linux, la protection des fichiers
 191   du disque dur est activée et ne permet donc pas l'écriture sur le
 192   disque. Pour désactiver cette protection, tout au moins
 193   temporairement, voici les deux procédures correspondantes :
 194 \begin{description}
 195   \item[Linux : ] le conseil de Jean-Michel Sarlat : le plus
 196 simple est donc d'utiliser ghostscript directement, en console. Comme
 197 il n'y a rien à attendre comme image :
 198
 199 \$> gs  -dNOSAFER  fichier.ps quit.ps
 200   \item[Windows : ] dans le menu \textsf{Options}, l'option
 201     \textsf{Protection des fichiers} ne doit pas être cochée.
 202 \end{description}}
 203 puis de les faire lire et exécuter avec la commande :
 204 \Cadre{\textbackslash{}psSolid[object=datfile,file=horoptere]}, le
 205 gain de temps est très appréciable !
 206 \begin{verbatim}
 207 \begin{pspicture}(-7,-2)(7,4)
 208 \psset{lightsrc=80 30 30}
 209 \psset{viewpoint=1000 60 20 rtp2xyz,Decran=1000}
 210 \psframe(-7,-2)(7,4)
 211 \psset{solidmemory}
 212 \codejps{/a 2 def /b 2 def}%
 213 \defFunction[algebraic]{F}(t)
 214    {a*(1+cos(t))}
 215    {b*tan(t/2)}
 216    {a*sin(t)}
 217 \defFunction[algebraic]{F'}(t)
 218    {-a*sin(t)}
 219    {b*(1+tan(1/2*t)^2)}
 220    {a*cos(t)}
 221 \psSolid[object=courbe,
 222    range=-2.7468 2.7468,
 223    ngrid=72 16,
 224    function=F,hue=0 1 0.7 1,
 225    action=none,name=H1,
 226    r=1]%
 227 \psSolid[object=cylindrecreux,
 228          h=18,r=1,RotX=90,
 229          incolor=yellow!50,action=none,
 230          name=C1,
 231          ngrid=18 16](2,9,0)
 232 \psSolid[object=fusion,
 233          base=H1 C1,
 234          file=horoptere,
 235          action=writesolid]
 236 \composeSolid
 237 \end{pspicture}
 238 \end{verbatim}
 239
 240
 241
 242 \subsubsection{Le tracé de la courbe}
 243
 244 \begin{LTXexample}[width=9cm]
 245 \begin{pspicture}(-5,-3.5)(4,3)
 246 \psset{lightsrc=80 30 30}
 247 \psset{viewpoint=100 60 20 rtp2xyz,
 248        Decran=75}
 249 \psframe*[linecolor=cyan!30](-4.5,-3)(3.5,3)
 250 \psSolid[object=datfile,file=horoptere]
 251 \end{pspicture}
 252 \end{LTXexample}
 253
 254
 255 \newpage
 256 \subsection{Autres exemples}
 257
 258
 259 \subsubsection{Une droite}
 260
 261 \begin{LTXexample}[width=7cm]
 262 \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,2)
 263 \psset{viewpoint=100 -20 20 rtp2xyz,
 264        Decran=75,unit=0.8}
 265 \psframe(-3.5,-2)(3.5,2)
 266 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4]%
 267 \defFunction[algebraic]{F}(t){t}{t}{0.5}
 268 \defFunction[algebraic]{F'}(t){1}{1}{0}
 269 \psSolid[object=courbe,
 270    range=-4 4, ngrid=16 16,
 271    function=F, r=0.5]
 272 \end{pspicture}
 273 \end{LTXexample}
 274
 275
 276
 277 \subsubsection{Hypocycloïde}
 278
 279 \begin{LTXexample}[width=7cm]
 280 \begin{pspicture}(-3.5,-3)(3.5,3)
 281 \psset{viewpoint=100 20 45 rtp2xyz,
 282        Decran=75,unit=0.8}
 283 \psSolid[object=grille,base=-5 5 -5 5]%
 284 \defFunction[algebraic]{F}(t)
 285    {4*cos(t) + cos(4*t)/2}
 286    {4*sin(t) - sin(4*t)/2}
 287    {1}
 288 \defFunction[algebraic]{F'}(t)
 289    {-4*sin(t)-2*sin(4*t)}
 290    {4*cos(t)-2*cos(4*t)}
 291    {0}
 292 \psSolid[object=courbe,
 293    range=0 6.28, ngrid=90 16,
 294    function=F, r=1]
 295 \end{pspicture}
 296 \end{LTXexample}
 297
 298
 299
 300 \subsubsection{Siège ressort de Gaston}
 301 \begin{LTXexample}[width=7cm]
 302 \begin{pspicture}(-3.5,-4)(3.5,4.5)
 303 \psset{lightsrc=80 30 30}
 304 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=50}
 305 \psframe(-3.5,-4)(3.5,4.5)
 306 \uput[u](0,3){\includegraphics[scale=0.25]{gaston.eps}}
 307 \defFunction[algebraic]{F}(t)
 308          {(t^2+3)*sin(15*t)}
 309          {(t^2+3)*cos(15*t)}
 310          {2*t}
 311 \defFunction[algebraic]{F'}(t)
 312          {2*t*sin(15*t)+15*(t^2+3)*cos(15*t)}
 313          {2*t*cos(15*t)-15*(t^2+3)*sin(15*t)}
 314          {2}
 315 \psSolid[object=courbe,
 316    range=-2 2,
 317    ngrid=360 6,
 318    function=F,
 319    hue=0.2 0.3,
 320    linewidth=0.1pt,
 321    r=0.2]
 322 \end{pspicture}
 323 \end{LTXexample}
 324
 325 %%\end{document}
 326
 327
 328
 329
 330