doc/par-geode-a.tex

   1 \section {Les géodes et leurs duales}
   2
   3 \subsection{Présentation mathématique}
   4
   5 D'excellentes études sur les géodes et leurs duales sont disponibles
   6 sur les sites suivants~:
   7
   8 \centerline{\url{http://fr.wikipedia.org/wiki/G\%C3\%A9ode}}
   9
  10 Le paramétrage d'une géode est fidèle aux indications de la page :
  11
  12 \centerline{\url{http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/amch104.html}}
  13
  14 << \textit{On peut définir une géode à partir de deux paramètres : un
  15   numéro $N$ indiquant le type de polyèdre initial ($N = 3$ pour le
  16   tétraèdre, $N = 4$ pour l'octaèdre et $N = 5$ pour l'icosaèdre) et
  17   un nombre $n$ indiquant le nombre de divisions le long de l'arête.}
  18 >>
  19
  20 L'article \textit{Indexing the Sphere with the Hierarchical Triangular Mesh}
  21 décrit une méthode permettant d'obtenir une représentation des géodes :
  22
  23 \centerline{\url{http://research.microsoft.com/research/pubs/view.aspx?msr_tr_id=MSR-TR-2005-123}}
  24
  25 \subsection{Construction avec pst-solides3d}
  26
  27 Deux approches sont possibles pour construire une géode ou sa duale~:
  28 soit \textsl{via\/} \verb+\codejps+, soit en utilisant les objets de
  29 \verb+\psSolid+.
  30
  31 Pour une géode, les codes
  32 \begin{verbatim}
  33 \codejps{N n newgeode drawsolid**}
  34 \end{verbatim}
  35 et
  36 \begin{verbatim}
  37 \psSolid[object=geode,ngrid=N n]
  38 \end{verbatim}
  39 sont équivalents. Et pour sa duale, les codes
  40 Pour une géode, les codes
  41 \begin{verbatim}
  42 \codejps{N n newdualgeode drawsolid**}
  43 \end{verbatim}
  44 et
  45 \begin{verbatim}
  46 \psSolid[object=geode,dualreg,ngrid=N n]
  47 \end{verbatim}
  48 sont équivalents.
  49
  50
  51
  52 \subsection{Quelques exemples de géodes et de duales}
  53
  54 \begin{LTXexample}[pos=t]
  55 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
  56 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  57 \psframe(-3,-3)(3,3)
  58 \psSolid[object=geode,
  59    ngrid=5 0]
  60 %\codejps{5 0 newgeode drawsolid**}
  61 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  62 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=0}}}
  63 \end{pspicture}
  64 \hfill
  65 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  66 \psframe(-3,-3)(3,3)
  67 \psSolid[object=geode,
  68    dualreg,
  69    ngrid=5 0]
  70 %\codejps{5 0 newdualgeode drawsolid**}
  71 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  72 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=0}}}
  73 \end{pspicture}
  74 \end{LTXexample}
  75
  76 \begin{LTXexample}[pos=t]
  77 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
  78 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  79 \psframe(-3,-3)(3,3)
  80 \psSolid[object=geode,
  81    ngrid=5 1]
  82 %\codejps{5 1 newgeode drawsolid**}
  83 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  84 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=1}}}
  85 \end{pspicture}
  86 \hfill
  87 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  88 \psframe(-3,-3)(3,3)
  89 \psSolid[object=geode,
  90    dualreg,
  91    ngrid=5 1]
  92 %\codejps{5 1 newdualgeode drawsolid**}
  93 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  94 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=1}}}
  95 \end{pspicture}
  96 \end{LTXexample}
  97
  98 \subsection{Les paramètres des géodes}
  99
 100 Le rayon de la sphère est fixé à 1, pour augmenter la taille des
 101 géodes on jouera sur l'un ou l'autre des deux paramètres suivants~:
 102 \begin{itemize}
 103   \item l'unité : \verb+\psset{unit=2}+
 104   \item la position de l'écran :
 105     \verb+viewpoint=50 -20 30,Decran=100+, si la distance de l'écran
 106     est deux fois plus grande que la distance
 107   à laquelle se trouve l'observateur l'échelle de la scène est multipliée par~2.
 108 \end{itemize}
 109
 110 \encadre{En jps, le paramétrages'effectue pour
 111   la géode dans le \textbackslash{}codejps\{\textbf{N n newgeode}\} et
 112   pour sa duale dans \textbackslash{}codejps\{\textbf{N n
 113     newdualgeode}\}.}
 114
 115 \encadre{Avec \textbackslash{}psSolid, les paramètres $N$ et $n$ sont transmis
 116 via l'argument \texttt{ngrid}}
 117
 118 Les options de couleurs et de transparence sont bien sûr possibles avec les géodes.
 119
 120 \begin{LTXexample}[pos=t]
 121 \psset{unit=2}
 122 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100,linewidth=2pt}
 123 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 124 \psframe*(-3,-3)(3,3)
 125 \codejps{
 126 /geode42{4 2 newdualgeode} def
 127 .7 setfillopacity
 128 orange
 129 /geodetransparente{
 130 geode42
 131 dup videsolid
 132 dup (orange) inputcolors
 133 dup [.1 .9] solidputhuecolors} def
 134 geodetransparente
 135 drawsolid**}
 136 \end{pspicture}
 137 \end{LTXexample}
 138
 139 \subsection{Conseils pour la construction `rapide' des géodes}
 140
 141 Le temps de calcul des géodes et de leurs duales dépend du nombre de
 142 divisions sur une arête (le deuxième paramètre $n$) et il devient
 143 rapidement très grand, ce qui est vraiment une gêne lorsqu'on est
 144 obligé d'attendre, plus ou moins patiemment, le résultat de la
 145 transformation \Cadre{dvips->ps2pdf}.
 146
 147 Comme pour tous les autres solides, il est possible de sauvegarder la
 148 structure calculée dans des fichiers externes, ce qui permettra un
 149 gain de temps appréciable si on doit faire des essais de couleurs ou
 150 de point de vue.
 151
 152 Il faut opérer en deux étapes :
 153
 154 \subsubsection {Sauvegarde en fichier \texttt{.dat} des paramètres de la géode}
 155
 156 \begin{verbatim}
 157 \documentclass{article}
 158 \usepackage{pst-solides3d}
 159 \begin{document}
 160 \codejps{
 161 4 4 newdualgeode
 162  dup {[.5 .6]} exec solidputhuecolors
 163 (geodedual44) writesolidfile
 164 }
 165 \end{document}
 166 \end{verbatim}
 167 \Cadre{LaTeX->dvips->GSview (Windows)ou gv (Linux)}
 168
 169 Cette dernière opération va créer 4 fichiers  :
 170 \begin{itemize}
 171   \item \texttt{geodedual44.dat} -> les couleurs des faces ;
 172   \item \texttt{geodedual44.dat} -> la liste des faces ;
 173   \item \texttt{geodedual44.dat} -> la liste des sommets ;
 174   \item \texttt{geodedual44-io.dat} -> le nombre de faces et de sommets.
 175 \end{itemize}
 176
 177 \encadre{Par défaut, sous Windows et Linux, la protection des fichiers
 178   du disque dur est activée et ne permet donc pas l'écriture sur le
 179   disque. Pour désactiver cette protection, tout au moins
 180   temporairement, voici les deux procédures correspondantes :
 181
 182 \begin{description}
 183
 184   \item[Linux : ] le conseil de Jean-Michel Sarlat : le plus
 185 simple est donc d'utiliser ghostscript directement, en console. Comme
 186 il n'y a rien à attendre comme image :
 187
 188 \$> gs  -dNOSAFER  lissatest.ps quit.ps
 189   \item[Windows : ] dans le menu \textsf{Options}, l'option \textsf{Protection des fichiers} ne doit pas être cochée.
 190 \end{description}}
 191
 192 \subsubsection {Lecture des données et dessin de la géode}
 193
 194 %% \begin{LTXexample}[pos=t]
 195 %% \psset{unit=2}
 196 %% \psset{lightsrc=10 0 10,viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
 197 %% \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
 198 %% \psframe(-2,-2)(2,2)
 199 %% \psSolid[object=datfile,file=geodedual44]
 200 %% \end{pspicture}
 201 %% \end{LTXexample}
 202
 203 L'avantage de cette méthode vous paraîtra plus évident en faisant la
 204 comparaison suivante : compilation de deux fichiers qui produisant le
 205 même résultat avec les deux méthodes en concurrence.
 206
 207 Le fichier \texttt{geode42\_direct.tex} fait le calcul du solide et
 208 son affichage. Le fichier \texttt{geode42\_precalcul.tex} utilise les
 209 fichiers \texttt{.dat} de données pré-calculées par
 210 \texttt{calc\_geode42.tex}.
 211
 212 \subsection{D'autres exemples}
 213
 214 \begin{LTXexample}[pos=t]
 215 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
 216 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 217 \psframe(-3,-3)(3,3)
 218 \psSolid[object=datfile,file=geode51,deactivatecolor]
 219 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
 220 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=1}}}
 221 \end{pspicture}
 222 \hfill
 223 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 224 \psframe(-3,-3)(3,3)
 225 \psSolid[object=datfile,file=geodedual51,deactivatecolor]
 226 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
 227 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=1}}}
 228 \end{pspicture}
 229 \end{LTXexample}
 230
 231 \begin{LTXexample}[pos=t]
 232 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
 233 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 234 \psframe(-3,-3)(3,3)
 235 \psSolid[object=datfile,file=geode52,deactivatecolor]
 236 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
 237 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=2}}}
 238 \end{pspicture}
 239 \hfill
 240 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 241 \psframe(-3,-3)(3,3)
 242 \psSolid[object=datfile,file=geodedual52,deactivatecolor]
 243 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
 244 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=2}}}
 245 \end{pspicture}
 246 \end{LTXexample}
 247
 248 \begin{LTXexample}[pos=t]
 249 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
 250 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 251 \psframe(-3,-3)(3,3)
 252 \psSolid[object=datfile,file=geode53,deactivatecolor]
 253 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
 254 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=3}}}
 255 \end{pspicture}
 256 \hfill
 257 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 258 \psframe(-3,-3)(3,3)
 259 \psSolid[object=datfile,file=geodedual53,deactivatecolor]
 260 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
 261 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=3}}}
 262 \end{pspicture}
 263 \end{LTXexample}