doc/par-geode.tex

   1 \section {Les géodes et leurs duales}
   2
   3 \subsection{Présentation mathématique}
   4
   5 D'excellentes études sur les géodes et leurs duales sont disponibles
   6 sur les sites suivants~:
   7
   8 \centerline{\url{http://fr.wikipedia.org/wiki/G\%C3\%A9ode}}
   9
  10 Le paramétrage d'une géode est fidèle aux indications de la page :
  11
  12 \centerline{\url{http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/amch104.html}}
  13
  14 << \textit{On peut définir une géode à partir de deux paramètres : un
  15   numéro $N$ indiquant le type de polyèdre initial ($N = 3$ pour le
  16   tétraèdre, $N = 4$ pour l'octaèdre et $N = 5$ pour l'icosaèdre) et
  17   un nombre $n$ indiquant le nombre de divisions le long de l'arête.}
  18 >>
  19
  20 L'article \textit{Indexing the Sphere with the Hierarchical Triangular Mesh}
  21 décrit une méthode permettant d'obtenir une représentation des géodes :
  22
  23 \centerline{\url{http://research.microsoft.com/research/pubs/view.aspx?msr_tr_id=MSR-TR-2005-123}}
  24
  25 \subsection{Construction avec pst-solides3d}
  26
  27 Deux approches sont possibles pour construire une géode ou sa duale~:
  28 soit \textsl{via\/} \verb+\codejps+, soit en utilisant les objets de
  29 \verb+\psSolid+.
  30
  31 Pour une géode, les codes
  32 \begin{gbar}
  33 \begin{verbatim}
  34 \codejps{N n newgeode drawsolid**}
  35 \end{verbatim}
  36 \end{gbar}
  37 et
  38 \begin{gbar}
  39 \begin{verbatim}
  40 \psSolid[object=geode,ngrid=N n]
  41 \end{verbatim}
  42 \end{gbar}
  43 sont équivalents. Et pour sa duale, les codes
  44 Pour une géode, les codes
  45 \begin{gbar}
  46 \begin{verbatim}
  47 \codejps{N n newdualgeode drawsolid**}
  48 \end{verbatim}
  49 \end{gbar}
  50 et
  51 \begin{gbar}
  52 \begin{verbatim}
  53 \psSolid[object=geode,dualreg,ngrid=N n]
  54 \end{verbatim}
  55 \end{gbar}
  56 sont équivalents.
  57 \subsection{Quelques exemples de géodes et de duales}
  58 \begin{LTXexample}[pos=t]
  59 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
  60 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  61 \psframe(-3,-3)(3,3)
  62 \psSolid[object=geode,
  63    ngrid=5 0]
  64 %\codejps{5 0 newgeode drawsolid**}
  65 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  66 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=0}}}
  67 \end{pspicture}
  68 \hfill
  69 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  70 \psframe(-3,-3)(3,3)
  71 \psSolid[object=geode,
  72    dualreg,
  73    ngrid=5 0]
  74 %\codejps{5 0 newdualgeode drawsolid**}
  75 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  76 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=0}}}
  77 \end{pspicture}
  78 \end{LTXexample}
  79
  80 \begin{LTXexample}[pos=t]
  81 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
  82 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  83 \psframe(-3,-3)(3,3)
  84 \psSolid[object=geode,
  85    ngrid=5 1]
  86 %\codejps{5 1 newgeode drawsolid**}
  87 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  88 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=1}}}
  89 \end{pspicture}
  90 \hfill
  91 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  92 \psframe(-3,-3)(3,3)
  93 \psSolid[object=geode,
  94    dualreg,
  95    ngrid=5 1]
  96 %\codejps{5 1 newdualgeode drawsolid**}
  97 \psframe*(-2,-2.8)(2,-2.2)
  98 \rput(0,-2.5){\textcolor{white}{\textsf{N=5 n=1}}}
  99 \end{pspicture}
 100 \end{LTXexample}
 101
 102 \subsection{Les paramètres des géodes}
 103
 104 Le rayon de la sphère est fixé à 1, pour augmenter la taille des
 105 géodes on jouera sur l'un ou l'autre des deux paramètres suivants~:
 106 \begin{itemize}
 107   \item l'unité : \verb+\psset{unit=2}+
 108   \item la position de l'écran :
 109     \verb+viewpoint=50 -20 30,Decran=100+, si la distance de l'écran
 110     est deux fois plus grande que la distance
 111   à laquelle se trouve l'observateur l'échelle de la scène est multipliée par~2.
 112 \end{itemize}
 113
 114 \encadre{En jps, le paramétrage s'effectue pour
 115   la géode dans le \textbackslash{}codejps\{\textbf{N n newgeode}\} et
 116   pour sa duale dans \textbackslash{}codejps\{\textbf{N n
 117     newdualgeode}\}.}
 118
 119 \encadre{Avec \textbackslash{}psSolid, les paramètres $N$ et $n$ sont transmis
 120 via l'argument \texttt{ngrid}}
 121
 122 Les options de couleurs et de transparence sont bien sûr possibles avec les géodes.
 123
 124 \begin{LTXexample}[pos=t]
 125 \psset{unit=2}
 126 \psset{viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100,linewidth=2pt}
 127 \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
 128 \psframe*(-3,-3)(3,3)
 129 \codejps{
 130 /geode42{4 2 newdualgeode} def
 131 .7 setfillopacity
 132 orange
 133 /geodetransparente{
 134 geode42
 135 dup videsolid
 136 dup (orange) inputcolors
 137 dup [.1 .9] solidputhuecolors} def
 138 geodetransparente
 139 drawsolid**}
 140 \end{pspicture}
 141 \end{LTXexample}
 142
 143 \subsection{Conseils pour la construction `rapide' des géodes}
 144
 145 Le temps de calcul des géodes et de leurs duales dépend du nombre de
 146 divisions sur une arête (le deuxième paramètre $n$) et il devient
 147 rapidement très grand, ce qui est vraiment une gêne lorsqu'on est
 148 obligé d'attendre, plus ou moins patiemment, le résultat de la
 149 transformation \Cadre{dvips->ps2pdf}.
 150
 151 Comme pour tous les autres solides, il est possible de sauvegarder la
 152 structure calculée dans des fichiers externes, ce qui permettra un
 153 gain de temps appréciable si on doit faire des essais de couleurs ou
 154 de point de vue.
 155
 156 Il faut opérer en deux étapes :
 157
 158 \subsubsection {Sauvegarde en fichier \texttt{.dat} des paramètres de la géode}
 159
 160 \begin{verbatim}
 161 \documentclass{article}
 162 \usepackage{pst-solides3d}
 163 \begin{document}
 164 \codejps{
 165 4 4 newdualgeode
 166  dup {[.5 .6]} exec solidputhuecolors
 167 (geodedual44) writesolidfile
 168 }
 169 \end{document}
 170 \end{verbatim}
 171 \Cadre{LaTeX->dvips->GSview (Windows)ou gv (Linux)}
 172
 173 Cette dernière opération va créer 4 fichiers  :
 174 \begin{itemize}
 175   \item \texttt{geodedual44-couleurs.dat} -> les couleurs des faces ;
 176   \item \texttt{geodedual44-faces.dat} -> la liste des faces ;
 177   \item \texttt{geodedual44-sommets.dat} -> la liste des sommets ;
 178   \item \texttt{geodedual44-io.dat} -> le nombre de faces et de sommets.
 179 \end{itemize}
 180
 181 \encadre{Par défaut, sous Windows et Linux, la protection des fichiers
 182   du disque dur est activée et ne permet donc pas l'écriture sur le
 183   disque. Pour désactiver cette protection, tout au moins
 184   temporairement, voici les deux procédures correspondantes :
 185
 186 \begin{description}
 187
 188   \item[Linux : ] le conseil de Jean-Michel Sarlat : le plus
 189 simple est donc d'utiliser ghostscript directement, en console. Comme
 190 il n'y a rien à attendre comme image :
 191
 192 \$> gs  -dNOSAFER  lissatest.ps quit.ps
 193   \item[Windows : ] dans le menu \textsf{Options}, l'option \textsf{Protection des fichiers} ne doit pas être cochée.
 194 \end{description}}
 195
 196 \subsubsection {Lecture des données et dessin de la géode}
 197
 198 %% \begin{LTXexample}[pos=t]
 199 %% \psset{unit=2}
 200 %% \psset{lightsrc=10 0 10,viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
 201 %% \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
 202 %% \psframe(-2,-2)(2,2)
 203 %% \psSolid[object=datfile,file=geodedual44]
 204 %% \end{pspicture}
 205 %% \end{LTXexample}
 206
 207 L'avantage de cette méthode vous paraîtra plus évident en faisant la
 208 comparaison suivante : compilation de deux fichiers qui produisant le
 209 même résultat avec les deux méthodes en concurrence.
 210
 211 Le fichier \texttt{geode42\_direct.tex} fait le calcul du solide et
 212 son affichage. Le fichier \texttt{geode42\_precalcul.tex} utilise les
 213 fichiers \texttt{.dat} de données pré-calculées par
 214 \texttt{calc\_geode42.tex}. Ces trois fichiers sont inclus dans la documentation.
 215
 216 \subsection{D'autres exemples}
 217 Vous trouverez de nombreux autres exemples de géodes sur la page :
 218
 219 \centerline{\url{http://melusine.eu.org/lab/bpst/pst-solides3d/geodes}}
 220