doc/par-prisme.tex

   1 \section {Le prisme}
   2
   3 Deux paramètres sont propres au prisme :
   4 \begin{itemize}
   5   \item La base du prisme peut-être définie librement par les
   6   coordonnées des sommets dans le plan $Oxy$. Attention, il est
   7   nécessaire que les quatres premiers sommets soient rangés dans le
   8   sens trigonométrique par rapport à l'isobarycentre des sommets de
   9   cette base ;
  10   \item la direction de l'axe du prime par les coordonnées du vecteur
  11   directeur.
  12 \end{itemize}
  13
  14 \subsubsection {Exemple 1 : prisme droit et prisme oblique à section
  15   polygonale}
  16
  17 \begin{center}
  18 \psset{unit=0.5}
  19 \psset{lightsrc=10 5 50,viewpoint=50 20 30 rtp2xyz,Decran=50}
  20 \begin{minipage}{5cm}
  21 \begin{pspicture*}(-4,-4)(6,9)
  22 \psframe(-4,-4)(6,9)
  23 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,action=draw]%
  24 \psSolid[object=prisme,h=6,base=0 1 -1 0 0 -2 1 -1 0 0]%
  25  \axesIIID(4,4,6)(4.5,4.5,8)
  26 \end{pspicture*}
  27
  28 \small\texttt{[base=\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=black]{\textcolor{white}{0 1 -1 0 0 -2 1 -1 0 0}},h=6]}
  29 \\
  30 \end{minipage}
  31 \hspace{2cm}
  32 \begin{minipage}{5cm}
  33 \begin{pspicture*}(-4,-4)(6,9)
  34 \psframe(-4,-4)(6,9)
  35 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,action=draw]%
  36 \psSolid[object=prisme,axe=0 1 2,h=8,base=0 -2 1 -1 0 0 0 1 -1 0]%
  37  \axesIIID(4,4,4)(4.5,4.5,8)
  38 \psPoint(0,4,8){V}
  39 \psPoint(0,4,0){Vy}
  40 \psPoint(0,0,8){Vz}
  41 \uput[l](Vz){8}
  42 \uput[ur](Vy){4}
  43 \psline[linecolor=blue]{->}(O)(V)
  44 \psline[linestyle=dashed](Vz)(V)(Vy)
  45 \end{pspicture*}
  46
  47 \small\texttt{[base=\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=black]{\textcolor{white}{0 -2 1 -1 0 0 0 1 -1 0}},}%
  48 \\
  49  \texttt{ axe=\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=black]{\textcolor{white}{0 4 8}},h=8]}
  50 \end{minipage}
  51 \end{center}
  52
  53 \subsubsection{Exemple 2 : prisme droit à section carrée arrondie}
  54
  55 \begin{minipage}{4cm}
  56 \psset{unit=0.5}
  57 \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=50}
  58 \begin{pspicture}(-5,-4)(3,9)
  59 %\psframe(-5,-4)(6,9)
  60 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,action=draw]%
  61 \psSolid[object=prisme,h=6,fillcolor=yellow,%
  62          base=%
  63            0 10 90 {/i exch def i cos 1 add i sin 1 add } for
  64            %
  65            90 10 180 {/i exch def i cos 1 sub i sin 1 add} for
  66            %
  67            180 10 270 {/i exch def i cos 1 sub i sin 1 sub} for
  68            %
  69            270 10 360 {/i exch def i cos 1 add i sin 1 sub} for
  70       ]%
  71  \axesIIID(4,4,6)(6,6,8)
  72 \end{pspicture}
  73 \end{minipage}
  74 \hfill
  75 \begin{minipage}{10cm}
  76 \small
  77 \begin{verbatim}
  78 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,action=draw]%
  79 \psSolid[
  80    object=prisme,h=6,fillcolor=yellow,%
  81    base=%
  82      0 10 90 {/i exch def i cos 1 add i sin 1 add } for
  83      %
  84      90 10 180 {/i exch def i cos 1 sub i sin 1 add} for
  85      %
  86      180 10 270 {/i exch def i cos 1 sub i sin 1 sub} for
  87      %
  88      270 10 360 {/i exch def i cos 1 add i sin 1 sub} for
  89    ]%
  90  \axesIIID(4,4,6)(6,6,8)
  91 \end{verbatim}
  92 \end{minipage}
  93 %\newpage
  94
  95 \subsubsection{Exemple 3 : prisme droit creux à section astroïdale}
  96
  97 \begin{minipage}{5.5cm}
  98 \psset{unit=0.5}
  99 \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=50}
 100 \begin{pspicture*}(-5,-4)(6,9)
 101 \psframe(-5,-4)(6,9)
 102 \defFunction{F}(t){3 t cos 3 exp mul}{3 t sin 3 exp mul}{}
 103 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,action=draw]%
 104 \psSolid[object=prismecreux,h=8,fillcolor=red!50,
 105        resolution=36,
 106        base=0 350 {F} CourbeR2+
 107       ]%
 108 \end{pspicture*}
 109 \end{minipage}
 110 \hfill
 111 \begin{minipage}{9cm}
 112 \small
 113 \begin{verbatim}
 114 \defFunction{F}(t)
 115    {3 t cos 3 exp mul}{3 t sin 3 exp mul}{}
 116 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,action=draw]%
 117 \psSolid[object=prismecreux,h=8,fillcolor=red!50,
 118        resolution=36,
 119        base=0 350 {F} CourbeR2+
 120       ]%
 121 \end{verbatim}
 122 \end{minipage}
 123
 124 \subsubsection{Exemple 4 : prisme à section elliptique}
 125
 126 \begin{minipage}{5cm}
 127 \psset{unit=0.5}
 128 \psset{lightsrc=10 20 30,viewpoint=50 20 25 rtp2xyz,Decran=50}
 129 \begin{pspicture}(-6,-3)(4,10)
 130 %\psframe(-6,-3)(6,8)
 131 \defFunction{F}(t){t cos 4 mul}{t sin 2 mul}{}
 132 \psSolid[object=grille,base=-6 6 -4 4,action=draw]%
 133 \psSolid[object=prisme,h=8,fillcolor=green!20,%
 134        base=0 350 {F} CourbeR2+]%
 135 \defFunction{F}(t){t cos 4 mul}{t sin 2 mul}{8}
 136 \psSolid[object=courbe,
 137    r=0,
 138    function=F,range=0 360,
 139    linewidth=2\pslinewidth,
 140    linecolor=green]
 141 %% \makeatletter
 142 %% \parametricplot[linecolor=green,linewidth=2\pslinewidth]{0}{360}{%
 143 %%    \tx@optionssolides
 144 %%     SolidesDict begin
 145 %%     4 t cos  mul
 146 %%     2 t sin mul
 147 %%     8 % z
 148 %%    3dto2d cm_1 exch cm_1 exch
 149 %%    end}
 150 %% \makeatother
 151 \axesIIID(6,4,8)(8,6,10)
 152 \end{pspicture}
 153 \end{minipage}
 154 \hfill
 155 \begin{minipage}{9cm}
 156 \small
 157 \begin{verbatim}
 158 \defFunction{F}(t){t cos 4 mul}{t sin 2 mul}{}
 159 \psSolid[object=grille,base=-6 6 -4 4,action=draw]%
 160 \psSolid[object=prisme,h=8,fillcolor=green!20,%
 161        base=0 350 {F} CourbeR2+]%
 162 \defFunction{F}(t){t cos 4 mul}{t sin 2 mul}{8}
 163 \psSolid[object=courbe,
 164    r=0,
 165    function=F,range=0 360,
 166    linewidth=2\pslinewidth,
 167    linecolor=green]
 168 \end{verbatim}
 169 \end{minipage}
 170 %\newpage
 171
 172 \subsubsection{Exemple 5 : une gouttière, section semi-circulaire à plat}
 173
 174 \begin{minipage}{6cm}
 175 \psset{unit=0.5}
 176 \psset{lightsrc=10 20 30,viewpoint=50 30 25 rtp2xyz,Decran=50}
 177 \begin{pspicture}(-8,-5)(6,10)
 178 %\psframe(-6,-3)(6,8)
 179 \defFunction[algebraic]{F}(t)
 180    {3*cos(t)}{3*sin(t)}{}
 181 \defFunction[algebraic]{G}(t)
 182    {2.5*cos(t)}{2.5*sin(t)}{}
 183 \psSolid[object=grille,
 184   base=-6 6 -6 6,action=draw]%
 185 \psSolid[object=prisme,h=12,
 186    fillcolor=blue!30,RotX=-90,
 187    resolution=19,
 188    base=0 pi {F} CourbeR2+
 189         pi 0 {G} CourbeR2+
 190       ](0,-6,3)
 191 \axesIIID(6,6,2)(8,8,8)
 192 \end{pspicture}
 193 \end{minipage}
 194 \hfill
 195 \begin{minipage}{6cm}
 196 \small
 197 \begin{verbatim}
 198 \defFunction[algebraic]{F}(t)
 199    {3*cos(t)}{3*sin(t)}{}
 200 \defFunction[algebraic]{G}(t)
 201    {2.5*cos(t)}{2.5*sin(t)}{}
 202 \psSolid[object=grille,
 203   base=-6 6 -6 6,action=draw]%
 204 \psSolid[object=prisme,h=12,
 205    fillcolor=blue!30,RotX=-90,
 206    resolution=19,
 207    base=0 pi {F} CourbeR2+
 208         pi 0 {G} CourbeR2+
 209       ](0,-6,3)
 210 \axesIIID(6,6,2)(8,8,10)
 211 \end{verbatim}
 212 \end{minipage}
 213
 214 On dessine d'abord la face extérieure (demi-cercle de rayon 3~cm), en
 215 tournant dans le sens trigonométrique~: \texttt{0 pi {F} CourbeR2+}
 216
 217 Puis la face intérieure (demi-cercle de rayon 2{,}5~cm), en tournant
 218 cette fois dans le sens inverse du sens trigonométrique :
 219 \texttt{pi 0 {G} CourbeR2+}
 220
 221 On fait tourner le solide de $-90^{\mathrm{o}}$ en le plaçant au point $(0,-6,3)$.
 222
 223 \textdbend{} Comme on a utilisé l'option \verb+algebraic+ pour la
 224 définition des fontions $F$ et $G$, les fonctions $\sin $ et $\cos $
 225 utilisées fonctionnent en radian.
 226
 227 \subsubsection{Le paramètre \texttt {decal}}
 228
 229 Nous avons écrit plus haut qu'il était nécessaire que les quatres
 230 premiers sommets soient rangés dans le sens trigonométrique par
 231 rapport à l'isobarycentre des sommets de cette base. En fait, c'est la
 232 règle du comportement par défaut car la règle véritable est celle-ci~:
 233 Si la base comporte $n+1$ sommets $(s_0, s_1, s_2, \dots , s_{n-1},
 234 s_n)$, et si $G$ est l'isobarycentre des sommets, alors $(s_0, s_1)$
 235 d'une part, et $(s_{n-1}, s_n)$ d'autre part, doivent être rangés dans
 236 le sens trigonométrique par rapport à $G$.
 237
 238 Cette règle induit des contraintes sur le codage de la base du prisme,
 239 rendant parfois ce dernier inesthétique. C'est pourquoi nous avons
 240 introduit l'argument \texttt{[decal]} (valeur par défaut$=-2$) qui
 241 permet de considérer la liste des sommets de la base comme une file
 242 circulaire que l'on décalera au besoin.
 243
 244 Un exemple~: comportement par défaut avec $decal=-2$~:\par
 245 \begin{minipage}{6cm}
 246 \psset{unit=0.5}
 247 \psset{lightsrc=10 20 30,viewpoint=50 80 35 rtp2xyz,Decran=50}
 248 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,7)
 249 \psframe(-7,-3)(6,6)
 250 \defFunction{F}(t){t cos 3 mul}{t sin 3 mul}{}
 251 \psSolid[object=prisme,h=8,
 252       fillcolor=yellow,RotX=-90,
 253       num=0 1 2 3 4 5 6,
 254       show=0 1 2 3 4 5 6,
 255       resolution=7,
 256       base=0 180 {F} CourbeR2+
 257       ](0,-10,0)
 258 \end{pspicture}
 259 \end{minipage}
 260 \hfill
 261 \begin{minipage}{8cm}
 262 \small
 263 \begin{verbatim}
 264 \defFunction{F}(t){t cos 3 mul}{t sin 3 mul}{}
 265 \psSolid[object=prisme,h=8,
 266       fillcolor=yellow,RotX=-90,
 267       num=0 1 2 3 4 5 6,
 268       show=0 1 2 3 4 5 6,
 269       resolution=7,
 270       base=0 180 {F} CourbeR2+
 271       ](0,-10,0)
 272 \end{verbatim}
 273 \end{minipage}
 274
 275 On voit que le sommet d'indice~$0$ n'est pas là où on s'attendrait à
 276 le trouver.
 277
 278 Recommençons, mais cette fois-ci en supprimant le décalage~:\par
 279 \begin{minipage}{6cm}
 280 \psset{unit=0.5}
 281 \psset{lightsrc=10 20 30,viewpoint=50 80 35 rtp2xyz,Decran=50}
 282 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,7)
 283 \psframe(-7,-3)(6,6)
 284 \defFunction{F}(t){t cos 3 mul}{t sin 3 mul}{}
 285 \psSolid[object=prisme,h=8,
 286       fillcolor=yellow,RotX=-90,
 287       decal=0,
 288       num=0 1 2 3 4 5 6,
 289       show=0 1 2 3 4 5 6,
 290       resolution=7,
 291       base=0 180 {F} CourbeR2+
 292       ](0,-10,0)
 293 \end{pspicture}
 294 \end{minipage}
 295 \hfill
 296 \begin{minipage}{8cm}
 297 \small
 298 \begin{verbatim}
 299 \defFunction{F}(t){t cos 3 mul}{t sin 3 mul}{}
 300 \psSolid[object=prisme,h=8,
 301       fillcolor=yellow,RotX=-90,
 302       decal=0,
 303       num=0 1 2 3 4 5 6,
 304       show=0 1 2 3 4 5 6,
 305       resolution=7,
 306       base=0 180 {F} CourbeR2+
 307       ](0,-10,0)
 308 \end{verbatim}
 309 \end{minipage}
 310