doc/pst-solides3d-doc-grille-parallelepiped.tex

   1 \documentclass{article}
   2 \usepackage{pst-solides3d,pst-node,multido}
   3 \usepackage[latin1]{inputenc}
   4 \usepackage[T1]{fontenc}
   5 \usepackage[a4paper]{geometry}
   6 \usepackage[frenchle]{babel}
   7
   8
   9
  10 \date{03 octobre 2\,007}
  11 \author{JPV \& ML}
  12 \title{Utilisation de la \\
  13 grille et du parallélépipède}
  14
  15 \begin{document}
  16 \maketitle
  17 \psset{lightsrc=100 20 50}
  18 %\section{La \textsf{grille} et son paramètre : \textsf{base}}
  19 Par défaut la grille au pas de 1 est dessinée sur le plan horizontal $Oxy$, elle supporte les mêmes options que les solides.
  20 \begin{verbatim}
  21 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5](0,0,0)
  22 \end{verbatim}
  23 {\psset{unit=0.5,viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
  24 \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5)
  25 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw](0,0,0)
  26  \axesIIID(0,0,0)(4,5,3)
  27 \rput(0,-3){\textsf{action=draw}}
  28 \end{pspicture}
  29 \hfill
  30 \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5)
  31 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw*,fillcolor=yellow](0,0,0)
  32  \axesIIID(0,0,0)(4,5,3)
  33 \rput(0,-3){\textsf{action=draw*,fillcolor=yellow}}
  34 \end{pspicture}}
  35
  36 Dans le livre \textsc{géométrie} \textit{des cours complémentaires et enseignement secondaire court} de 1\,950 (éditeur Ligel), on trouve
  37 (page 459) la figure suivante, illustration du théorème :
  38 \begin{center}
  39  \psframebox[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=yellow!50]{%
  40  \begin{minipage}{0.8\linewidth}
  41  \textbf{Le nombre qui mesure le volume d'un parallélépipède rectangle est égal
  42  au produit des nombres qui mesurent ses trois dimensions.}
  43 \end{minipage}}
  44 \end{center}
  45 \begin{center}
  46 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
  47 \begin{pspicture}(-6,-1.5)(6,5.5)
  48 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
  49 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
  50 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
  51 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
  52 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
  53 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
  54 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,action=draw,linewidth=2\pslinewidth](0,0,c 2 div)
  55 \psPoint(2.5,-3,0){A}
  56 \psPoint(2.5,3,0){B}
  57 \psPoint(-2.5,-3,0){D}
  58 \psPoint(-2.5,3,0){C}
  59 \psPoint(2.5,-3,4){E}
  60 \psPoint(2.5,3,4){F}
  61 \psPoint(-2.5,3,4){G}
  62 \psPoint(-2.5,-3,4){H}
  63 \uput[d](A){A}\uput[d](B){B}
  64 \uput[dr](C){C}\uput[d](D){D}
  65 \uput[l](E){E}\uput[r](F){F}
  66 \uput[ur](G){G}\uput[u](H){H}
  67 \psPoint(2.5,-3,1){a}
  68 \psPoint(2.5,3,1){b}
  69 \psPoint(-2.5,-3,1){d}
  70 \psPoint(-2.5,3,1){c}
  71 \uput[l](a){$a$}\uput[r](b){$b$}
  72 \uput[r](c){$c$}\uput[l](d){$d$}
  73 \end{pspicture}
  74 \end{center}
  75 La démonstration donnée \textit{par une réunion de professeurs} est la suivante :
  76
  77 Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle. Choisissons une unité $u$ qui puisse être portée un nombre exact de fois
  78 sur chaque dimension ; soit, par exemple, 6~fois sur AB, 5~fois sur AD, 4~fois sur AE.
  79
  80 On a par \textit{hypothèse} :
  81 \[
  82 \mathrm{AB=6}\ ;\qquad \mathrm{AD=5}\ ;\qquad\mathrm{AE=3}.
  83 \]
  84 \textit{Je dis que l'on a aussi :}
  85 \[
  86 V=6\times 5\times 4
  87 \]
  88 En effet, par les points de division de EA, menons des plans parallèles aux bases. \textit{Nous déterminons
  89 ainsi quatre parallélépipèdes égaux entre eux, comme ayant des bases égales et même hauteur}.
  90
  91 Soit ABCD$abcd$ un de ces volumes partiels. Sa base est un rectangle qui peut être divisé en
  92 \[
  93 6\times5\textrm{ carrés-unité.}
  94 \]
  95 Sur chacun de ces carrés on peut construire \textbf{un cube qui est, par définition, l'unité de volume.}
  96
  97 Dans un parallélépipède partiel l'unité est contenue :
  98 \[
  99 6\times5\textrm{ fois}
 100 \]
 101 Dans le parallélépipède donné elle est donc contenue :
 102 \[
 103 6\times5\times4\textrm{ fois}
 104 \]
 105 Et on a bien :
 106 \[
 107 V=6\times 5\times 4
 108 \]
 109 Ce dessin est construit en 6 étapes :
 110 \begin{enumerate}
 111   \item On place le parallélépipède qui est à la base du parallélépipède étudié :
 112      \begin{verbatim}
 113 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1](0,0,c 2 div)
 114     \end{verbatim}
 115   en lui adjoignant, éventuellement, les options de couleur et d'éclairage :
 116      \begin{verbatim}
 117   [fillcolor=yellow]
 118     \end{verbatim}
 119 \begin{center}
 120 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
 121 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,2)
 122 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
 123 \end{pspicture}
 124 \end{center}
 125   \item Ensuite, on dessine les quadrillages :
 126   \begin{itemize}
 127     \item sur la face supérieure du parallélépipède ``\textit{socle}'' ;
 128     \begin{verbatim}
 129 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
 130     \end{verbatim}
 131 \begin{center}
 132 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
 133 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,2)
 134 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
 135 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
 136 \end{pspicture}
 137 \end{center}
 138     \item sur les faces latérales visibles de ce même parallélépipède :
 139      \begin{verbatim}
 140 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
 141 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
 142     \end{verbatim}
 143 \begin{center}
 144 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
 145 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,4)
 146 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
 147 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
 148 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
 149 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
 150 \end{pspicture}
 151 \end{center}
 152     \item sur la face supérieure du parallélépipède étudié.
 153     \begin{verbatim}
 154 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
 155     \end{verbatim}
 156 \begin{center}
 157 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
 158 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
 159 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
 160 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
 161 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
 162 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
 163 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
 164 \end{pspicture}
 165 \end{center}
 166   \end{itemize}
 167 \item on dessine le cube unité :
 168     \begin{verbatim}
 169 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
 170     \end{verbatim}
 171 \begin{center}
 172 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
 173 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
 174 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
 175 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
 176 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
 177 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
 178 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
 179 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
 180 \end{pspicture}
 181 \end{center}
 182   \item on complète le dessin par le parallélépipède étudié, dessiné avec un trait plus épais :
 183     \begin{verbatim}
 184 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,%
 185          linewidth=2\pslinewidth,%
 186          action=draw](0,0,c 2 div)
 187     \end{verbatim}
 188 \begin{center}
 189 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
 190 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
 191 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
 192 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
 193 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
 194 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
 195 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
 196 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
 197 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,linewidth=2\pslinewidth,action=draw](0,0,c 2 div)
 198 \end{pspicture}
 199 \end{center}
 200   \item Les étapes suivantes consistent à annoter le schéma :
 201     \begin{verbatim}
 202 \psPoint(2.5,-3,0){A}
 203 \psPoint(2.5,3,0){B}
 204 \uput[d](A){A}\uput[d](B){B}
 205 etc.
 206     \end{verbatim}
 207 \end{enumerate}
 208 \end{document}