\documentclass{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{fourier} \usepackage[designi,pdftex,french]{web} % dvipsone, dvips or pdftex %\usepackage[pdftex]{graphicx} \usepackage{../webmacros} \title{Continuité des fonctions numériques} \author{Jean-Michel Sarlat} \subject{Continuite des fonctions numeriques} \keywords{LaTeX,hyperref,PDF,maths} %\university{\includegraphics[scale=.45]{logo.pdf}} \email{jm-sarlat@melusine.eu.org} \version{1.2} \copyrightyears{1999-2007} % % Insert some instruction on cover page % \renewcommand\optionalpagematter{\vfill \begin{center} \fcolorbox{blue}{webyellow}{ \begin{minipage}{.67\linewidth} \noindent\textcolor{red}{\textbf{Sommaire :}} Les définitions et théorèmes en rapport avec la continuité des fonctions numériques enseignée en \textbf{PTSI}. \end{minipage}} \end{center} } \parindent0pt \begin{document} \maketitle \tableofcontents %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Continuité en un point} %------------------------------------------------------------------------------------------ \begin{definition} Soit $a$ un réel et $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ de $\R$ contenant $a$. $f$ est \emph{continue} en $a$ si, et seulement si $f$ admet une limite en $a$, celle ci étant alors égale à $f(a)$. \end{definition} On définit de la même façon la continuité à droite et la continuité à gauche de $f$ en considérant la restriction de $f$ à des voisinages à droite ou à gauche de $a$. \textbf{Remarques} \begin{enumerate} \item Si $f$ est définie à droite et à gauche de $a$ alors elle est continue en $a$ si, et seulement si elle y est continue à gauche et à droite. \item Si $f$ n'est pas définie à droite (resp. à gauche ) de $a$, dire qu'elle est continue en $a$ c'est dire qu'elle y est continue à gauche (resp. à droite). \item Si $I$ est réduit à $a$, la continuité de $f$ en $a$ n'a pas d'intérêt, on peut convenir que $f$ est continue en $a$. \end{enumerate} \begin{theoreme} Soient $(u_{n})_{n\in I}$ une suite numérique et $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ de $\R$ telles que~: \begin{itemize} \item $(\forall n\in I,\enspace u_{n}\in I)$ et $(u_{n})$ converge vers $a\in I$. \item $f$ est continue en $a$. \end{itemize} Alors $(f(u_{n}))_{n\in I}$ converge vers $f(a)$ \end{theoreme} Démonstration~: déjà vue\footnote{Caractérisation séquentielle des limites}... sous une autre forme. Ce théorème est utile pour déterminer les limites des suites \emph{images} ou pour démontrer qu'une fonction n'est pas continue en un point. \newpage %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Prolongement par continuité} %------------------------------------------------------------------------------------------ \begin{definition} Soient $I$ un intervalle de $\R$, $a$ un élément de $I$ et $f$ une fonction numérique définie sur $I\setminus \{a\}$. Un \textbf{prolongement par continuité de $f$ en $a$} est une fonction $\tilde{f}$ définie sur $V\cup\{a\}$ telle que~: \begin{itemize} \item $\forall x\in I,\enspace \tilde{f}(x)=f(x)$. \item $\tilde{f}$ est continue en $a$. \end{itemize} \end{definition} \textbf{Remarque.} On peut définir un prolongement par continuité à gauche de $a$, à droite de $a$. \begin{theoreme} Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ (éventuellement voisinage à droite ou à gauche de $a$), sauf en $a$.\\ Si $\displaystyle\lim_{{}_{x\ne a}^{x\rightarrow a}}f(x)=l$ avec $l\in\R$ alors la fonction $\tilde{f}$ définie par~: $$\tilde{f}(x)=\sysl{f(x)&\hbox{ si }&x\in V\hfill\cr l&\hbox{ si }&x=a\hfill}$$ est un prolongement par continuité de $f$ en $a$. \end{theoreme} \textbf{Exemple.} Soit $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}x$ pour $x\in\R^*$.\\ On a~: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$ d'où~: $\displaystyle\tilde{f}(x)= \sysl{\displaystyle\frac{\sin x}{x}&\hbox{si}& x\ne 0\cr\cr 1&\hbox{si}&x=0}$ est définie sur $\R$ et continue en 0. \textbf{Unicité.} Il est facile de vérifier que lorsqu'une fonction admet un prolongement par continuité en un point, celui-ci est unique. Lorsqu'il n'y a pas de risque d'ambiguité, on désigne la fonction et son prolongement par une même lettre. \newpage %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Continuité sur un intervalle} %------------------------------------------------------------------------------------------ \begin{definition} Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. \textbf{$f$ est continue sur $I$} si, et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$.\\ Ou encore~: \begin{center} $f$ est continue sur $I$ $\iff$ $\displaystyle\forall a\in I,\enspace \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ \end{center} \end{definition} \textbf{Notation~: } $\mathcal{C}(I,\R)$ ou encore $\mathcal{C}(I)$ est l'ensemble des fonctions continues sur $I$. \begin{proposition} Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ alors sa restriction à tout intervalle contenu dans $I$ est continue. \end{proposition} \newpage \textbf{Exemples} \begin{itemize} \item Une fonction polynôme est continue sur $\R$. \item Une fonction rationnelle est continue sur les intervalles de son ensemble de définition. \item Les fonctions $\sin$, $\cos$ sont continues sur $\R$. \item La fonction $\tan$ est continue sur les intervalles de la forme $$]-\frac\pi2+n\pi,\frac\pi2+n\pi[\hbox{ où }n\in\Z$$ \item La fonction $\ln$ est continue sur $]0,+\infty[$. \item La fonction exponentielle est continue sur $\R$. \item La fonction valeur absolue est continue sur $\R$. \end{itemize} \newpage %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Opérations sur les fonctions continues} %------------------------------------------------------------------------------------------ \begin{proposition} Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\R$ et $\lambda$ un réel. Alors~: \begin{enumerate} \item $f_{+}$, $f_{-}$ sont continues sur $I$. \item $f+g$ est continue sur $I$. \item $\lambda f$ est continue sur $I$. \item $f\times g$ est continue sur $I$. \item $\sup(f,g)$ et $\inf(f,g)$ sont continues sur $I$. \end{enumerate} \end{proposition} $\left(\mathcal{C}(I),+,\times\right)$ est une structure d'anneau commutatif.\\ $\left(\mathcal{C}(I),+,.\right)$ est une structure d'espace vectoriel sur $\R$.\\ $\left(\mathcal{C}(I),+,\times,.\right)$ est une structure d'algèbre réelle. \begin{proposition} Soit $f$ une fonction définie, continue et ne s'annulant pas sur un intervalle~$I$. \begin{center} $\displaystyle\frac1{f}$ est définie et continue sur $I$ \end{center} \end{proposition} \begin{proposition} Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$ tels que~: \begin{itemize} \item $f$ continue sur $I$ et $f(I)\subset J$ \item $g$ continue sur $J$ \end{itemize} Alors $g\circ f$ est continue sur $I$. \end{proposition} \newpage %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Théorème des valeurs intermédiaires} %------------------------------------------------------------------------------------------ \begin{theoreme} L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. \end{theoreme} Ce théorème, fondamental pour ce cours, est \textbf{admis}, il peut aussi s'énoncer~: \begin{theoreme}[Valeurs intermédiaires] Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de $\R$, si $\alpha$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe $c\in[a,b]$ tel que~: $$f(c)=\alpha$$ \end{theoreme} Ce théorème permet de prouver l'existence de solutions à l'équation $f(x)=\alpha$ et justifie la réso\-lution de cette équation par la méthode de \textbf{dichotomie}. \begin{corollaire} Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de $\R$ et si $f(a)f(b)\le 0$ alors il existe $c\in[a,b]$ tel que~: $$f(c)=0$$ \end{corollaire} Il existe un théorème plus précis encore que les précédents~: \begin{theoreme} L'image d'un segment\footnote{Un segment de $\R$ est un intervalle fermé et borné de $\R$ (ie. du type $[a,b]$).} par une fonction continue est un segment. \end{theoreme} Ce théorème exprime le fait que si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe alors deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que~: $$f([a,b])=[\alpha,\beta]$$ Donc~: \begin{corollaire} Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ de $\R$ alors $f$ est bornée sur ce segment et les bornes sont atteintes. C'est à dire~: $$\exists(c,d)\in[a,b]^2,\enspace f(c)=\Sup{x\in[a,b]}f(x),\enspace f(d)=\Inf{x\in[a,b]}f(x)$$ \end{corollaire} \textbf{Remarque.} Les {\em réciproques} des théorèmes précédents sont fausses, on peut citer des fonctions définies sur un intervalle (segment) $I$ telles que l'image de $I$ est un intervalle (un segment) sans que la fonction soit continue sur $I$.\\ Il existe toutefois un cas où l'on peut énoncer une réciproque~: \begin{theoreme} Si $f$ est une fonction numérique définie et \underbar{monotone} sur un intervalle $I$ de $\R$ et si $f(I)$ est un intervalle alors $f$ est continue sur $I$. \end{theoreme} \newpage %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Théorème de l'application réciproque} %------------------------------------------------------------------------------------------ \begin{theoreme} Soit $f$ une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle $I$. $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ et son application réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$. \end{theoreme} Ce théorème est un classique, il permet d'introduire la notion suivante. \begin{definition} Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$. $f$ est un \hypertarget{homeomorphisme}{}\textbf{homéo\-morphisme de $I$ et $J$} si, et seulement si~: \begin{center} ($f$ est bijective de $I$ sur $J$) et ($f$ continue sur $I$, $f^{-1}$ continue sur $J$) \end{center} \end{definition} \begin{theoreme} Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$ et $f$ une fonction numérique.\\ Si $f$ est bijective de $I$ sur $J$ et continue sur $I$ alors $f$ est strictement monotone sur $I$ et est un homéomorphisme de $I$ sur $J$. \end{theoreme} \begin{corollaire} Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$ et $f$ une bijection de $I$ sur $J$. \begin{center} ($f$ strictement monotone sur $I$) $\iff$ ($f$ continue sur $I$) \end{center} \end{corollaire} \end{document}