\documentclass{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{t1enc} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{mesCommandes} \usepackage{modif-article} \newif \ifnote \notefalse \begin{document} \leftline{\bfseries Département de Mathématiques et Informatique \hfill Année~1999-2000} \noindent \hrulefill \leftline{I.U.P. N.T.I.E. \hfill Analyse -- Algèbre -- Arithmétique -- Probabilités} \centerline{\bfseries \large Compléments de cours sur l'arithmétique de~$\RR[X]$ et~$\CC[X]$} \noindent \hrulefill Voici le complément de cours promis destiné à résumer les résultats abordés dans les exercices~$13$ et~$14$ de la première feuille de T.D. Dans tout ce qui suit,~$K = \RR$ ou~$\CC$ et on s'intéresse à l'arithmétique de l'anneau~$K[X]$. \vspace{1em} Comme pour l'anneau des entiers~$\ZZ$ tout repose sur le fait que~$K[X]$ est muni d'une division euclidienne, le rôle de la valeur absolue des entiers étant tenu par la fonction degré~: si~$F \in \RR[X]$ s'écrit~: $$ F(X) = a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0 \qquad\qquad \text{avec~$a_n \not = 0$}, $$ on dit que~$F$ est de degré~$n$~; l'entier~$n$ s'appelle le degré de~$F$ et on le note~$\deg(F)$. Il convient de remarquer que~: $$ \forall F, G \in K[X], \qquad \deg(FG) = \deg(F) + \deg(G) \quad \text{et} \quad \deg(F + G) \leq \max\{\deg(F), \deg(G)\} $$ \begin{theo}[Division Euclidienne] \'Etant donnés deux polynômes~$(F, G) \in K[X] \times K[X] \setminus \{0\}$, il existe un couple~$(Q, R) \in \RR[X] \times \RR[X]$ tel que~: $$ F = GQ + R \qquad\qquad \text{avec~:} \quad \deg(R) < \deg(G) $$ De plus, ce couple est unique. \end{theo} Exactement comme nous avons fait découler une théorie de la divisibilité dans~$\ZZ$ de la division euclidienne, il est possible d'étudier la divisibilité de~$K[X]$ gr’ce à la division euclidienne précédente. Dès lors, on peut introduire les notions de~$\pgcd$ et de~$\ppcm$ de deux et plusieurs polynômes. L'algorithme d'Euclide fonctionne de nouveau etc... Un excellent exercice consiste à reprendre le cours sur les entiers et de l'adapter à l'anneau des polynômes\footnote{\`A mon avis, l'un des moyens les plus efficaces pour apprendre et comprendre le cours sur l'arithmétique de~$\ZZ$ consiste à rédiger celui qui correspond pour les polynômes. Je vous conseille vivement de l'écrire et de me poser toutes les questions que vous voulez sur les éventuels points obscurs qui demeurent.}. La seule différence intervient à la fin du cours quand les nombres premiers de~$\ZZ$ sont introduits. En effet dans le cadre des polynômes, il est possible de caractériser les polynômes premiers qui traditionnellement sont plutôt qualifiés {\bfseries d'irréductibles}. \begin{defi} Un polynôme~$F \in K[X]$ est dit {\bfseries inversible} dans~$K[X]$ s'il existe~$G \in K[X]$ tel que~$FG = 1$. Un polynôme~$F \in K[X]$ est dit {\bfseries irréductible} dans~$K[X]$ si et seulement s'il est non nul non inversible et si~: $$ F = PQ \qquad \Longrightarrow \qquad \text{$P$ ou~$Q$ est inversible dans~$K[X]$} $$ \end{defi} Nous avons montré dans l'exercice~$14$ que~: \begin{prop} Les inversibles de~$K[X]$ sont les polynômes constants non nuls, à savoir~$K^*$. \end{prop} Afin de déterminer les irréductibles de~$\CC[X]$ et~$\RR[X]$, il nous a fallu admettre le théorème de d'Alembert~: \begin{theo}[de d'Alembert] Tout polynôme non constant de~$\CC[X]$ admet une racine dans~$\CC$. \end{theo} De ce théorème, on peut déduire (cf. exercice~$14$) les caractérisations suivantes~: \begin{prop} Les polynômes irréductibles de~$\CC[X]$ sont les polynômes de degré~$1$, c'est-à-dire de la forme $aX + b$ où~$(a, b) \in \CC^* \times \CC$. \end{prop} \begin{prop} Les polynômes irréductibles de~$\RR[X]$ sont les polynômes de degré~$1$ ---~c'est-à-dire de la forme $aX + b$ où~$(a, b) \in \RR^* \times \RR$~--- ou ceux de degré~$2$ sans racines dans~$\RR$ ---~c'est-à-dire de la forme~$aX^2 + b X + c$ avec~$(a,b,c) \in \RR^* \times \RR^2$ et~$b^2 - 4ac < 0$~---. \end{prop} Enfin, comme dans les entiers, nous avons le résultat fondamental suivant~: \begin{theo} Tout polynôme~$F \in K[X]$ admet une décomposition en irréductibles~: il existe~$F_1, \ldots, F_r$ des irréductibles de~$K[X]$ deux-à-deux distincts et~$\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ des entiers naturels non nuls tels que~: $$ F = F_1^{\alpha_1} \cdots F_r^{\alpha_r} $$ De plus, cette décomposition est unique à l'ordre près. \end{theo} Par conséquent, tout polynôme (non constant) de~$\CC[X]$ est produit de polynômes de degré~$1$ et tout polynôme (non constant) de~$\RR[X]$ est produit de polynômes de degré~$1$ ou~$2$. \end{document}