%disposition standard pour les textes de devoirs \documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{french,amssymb,amstex,amsfonts} %\topmargin-4,5cm %\headheight1cm %\headsep1cm %\topskip1cm %\footskip-1,5cm %\oddsidemargin-1,5cm %\evensidemargin2cm \textwidth19cm \textheight27cm \pagestyle{empty}%à supprimer au cas où le texte comporte plusieurs pages %\footnotesize : à préciser si réduction de - 2pt par rapport à la taille %demandée nécessaire \newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels \newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(0,\vec{i},\vec{j}\right)$}}%repère orthon.oij \newcommand{\RCO}{\mbox{$\left(0,\vec{u},\vec{v}\right)$}}%repère orthon.ouv \begin{document} \geometry{hmargin=1cm,vmargin=-0.5cm} \textsl{Classe de TS 3/4}%indiquer la classe \hfill \textsl{\large{Exercices de Mathématiques : coniques}} %préciser DEVOIR OU INTERROGATION ECRITE(sans préciser le numéro) \hfill \textsl{Année scolaire 1997-1998}\\[1cm]%indiquer l'année scolaire %\begin{center} %à remettre le xx/xx/199x%date à indiquer %ou du xx/xx/199x %\end{center} \framebox{EXERCICE 1}\\ \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Deux cercles $\left(C\right)$ et $\left(C'\right)$ sont tangents %%@ extérieurement en I. Une droite $D$ est tangente à $\left(C\right)$ en H et ne rencontre pas %%@ $\left(C'\right)$. Soit $h$ l'homothétie de centre I qui transforme $\left(C\right)$ en %%@ $\left(C'\right)$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Construire l'image $h$(H) de H par $h$. \item[\textbf{b.}] On donne : le cercle $\left(C'\right)$, la droite $D$ et le point H de %%@ $D$.\\ Construire le cercle $\left(C\right)$ tangent extérieurement à $\left(C'\right)$ et %%@ tangent à $D$ en H. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Quel est l'ensemble des centre O des cercles $\left(C\right)$ tangents %%@ extérieurement à $\left(C'\right)$ et à la droite $D$ en H, lorsque le point H décrit %%@ $D$~?\\[0,5cm] \end{enumerate} \framebox{EXERCICE 2}\\[0,5cm] Le plan $\left(\mathcal{P}\right)$ est rapporté au repère %%@ orthonormal \ROD.\\ Soit $\left(\mathcal{C}\right)$ la courbe d'équation : $$ x^2-%%@ 3y^2+8x+12y+16=0 .$$ \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Démontrer que $\left(\mathcal{C}\right)$ est une conique dont on précisera %%@ les éléments caractéristiques : centre, foyers et directrices associées, etc ... Tracer %%@ $\left(\mathcal{C}\right)$. \item[\textbf{2.}] Soit $\left(D\right)$ la droite d'équation $y-3=0$. On désigne par %%@ $d$(M,$D$) la distance du point M à la droite $\left(D\right)$.\\ Soit P le point de %%@ coordonnées (-4,6) ; $d$(M,P) désigne la distance de M à P.\\ Quel est l'ensemble des points M %%@ du plan $\left(\mathcal{P}\right)$ tels que $d$(M,P)=2 $d$(M,$D$)~?\\[0,5cm] \end{enumerate} \framebox{EXERCICE 3}\\[0,5cm] Soit $\alpha$ un réel de l'intervalle $]0,\pi[$. On considère %%@ l'équation d'inconnue complexe $z$ : $$ (E)\qquad z^2\sin^2 \alpha - 4z\sin \alpha + 4 + %%@ \cos^2 \alpha = 0.$$ \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Résoudre $(E)$. \item[\textbf{2.}] On désigne par M$^\prime$ et M$^{\prime\prime}$ les images des racines $z'$ %%@ et $z''$ de l'équation $(E)$ dans un repère orthonormal direct \RCO~du plan complexe.\\ %%@ Montrer que, lorsque $\alpha$ varie, l'ensemble des points M$^\prime$ et M$^{\prime\prime}$ %%@ est une branche d'hyperbole $\left(\mathcal{H}\right)$.\\ Préciser les éléments %%@ caractéristiques de $\left(\mathcal{H}\right)$ et dessiner la branche d'hyperbole en %%@ question.\\[0,5cm] \end{enumerate} \framebox{EXERCICE 4}\\[0,5cm] Dans un plan rapporté à un repère orthonormal \ROD, (unité 2 %%@ cm), on considère la famille de courbes (\textsl{$C_m$}) d'équation : $$ 2mx^2-8mx-(m-%%@ 1)y^2+12m-2=0,$$ $m$ étant un paramètre réel. \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] \'Etudier les cas particuliers $m=0$, $m=1$ et %%@ $m=\displaystyle\frac{1}{2}$. \item[\textbf{2.}] On suppose désormais que $m\in \R-\{\displaystyle\frac{1}{2}, 0, 1\}$.\\ %%@ \'Etudier suivant les valeurs de $m$ la nature de (\textsl{$C_m$}). Donner dans chaque cas les %%@ éléments caractéristiques de (\textsl{$C_m$}). \item[\textbf{3.}] Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle : \begin{enumerate} \item[$\bullet$] (\textsl{$C_m$}) est un cercle~? \item[$\bullet$] (\textsl{$C_m$}) est une hyperbole équilatère ($a=b$ dans l'équation %%@ réduite)~? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}