%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0 \documentclass{article} \usepackage{graphicx} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{french,amssymb,amstex,amsfonts} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{lastpage} %TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll} %TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst} %TCIDATA{Created=Mon Jul 17 17:46:12 2000} %TCIDATA{LastRevised=Tue Jul 18 17:27:14 2000} %TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">} %TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct %plan \newcommand{\se}{\geqslant} \newcommand{\ie}{\leqslant} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} \newcommand{\disf}{\displaystyle\frac} %numérotation des pages par rapport à la dernière \makeatletter \renewcommand{\@evenfoot}% {\hfill page {\thepage}/\pageref{LastPage} \hfill} \renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot} \makeatother %fin de la macro pour numéroter les pages \begin{document} \begin{center} {\LARGE ANNALES DE MATH\'{E}MATIQUES SERIE S\medskip} {\LARGE CENTRES \'{E}TRANGERS 2000\medskip} {\LARGE \'{E}NONCE} \textbf{EXERCICE 1 (4 points)\medskip} \end{center} Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes et 2 vertes. Dans la question 1) on tire au hasard et simultan\'{e}ment 3 boules de cette urne. Les r\'{e}ponses seront donn\'{e}s sous forme de fractions irr\'{e}ductibles. \begin{enumerate} \item Soit les \'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $A$ : \guillemotleft \ Les trois boules sont rouges \guillemotright\ \newline $B$ : \guillemotleft \ Les trois boules sont de la m\^{e}me couleur \guillemotright\ \newline $C$ : \guillemotleft\ Les trois boules sont chacune d'une couleur diff\'{e}rente \guillemotright \begin{enumerate} \item Calculer les probabilit\'{e}s $p\left( A\right) ,$ $p\left( B\right) $ et $p\left( C\right) $. \item On appelle $X$ la variable al\'{e}atoire qui \`{a} chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues. D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X$. Calculer $E\left( X\right) $. \end{enumerate} \item Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par $n$ boules rouges o\`{u} $n$ est un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2. L'urne contient donc $n+5$ boules, c'est \`{a} dire $n$ rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultan\'{e}ment deux boules de cette urne. Soit les \'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $D$ : \guillemotleft\ Tirer deux boules rouges \guillemotright\ \newline $E$ : \guillemotleft\ Tirer deux boules de la m\^{e}me couleur \guillemotright\ \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $D$ est% \[ p\left( D\right) =\frac{n\left( n-1\right) }{\left( n+5\right) \left( n+4\right) }% \] \item Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E$, $p\left( E\right) $ en fonction de $n$.\newline Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on \[ p\left( E\right) \geqslant\frac{1}{2}% \] \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 (5 points)} Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}. \end{center} Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $. On consid\`{e}re les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $i$ et $\left( -i\right) $. Soit $f$ l'application qui \`{a} tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte de $\left( -i\right) $ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ telle que \[ z^{\prime}=\frac{1+iz}{z+i}% \] \begin{enumerate} \item Quelle est l'image par l'application $f$ du point $O$ ? \item Quel est le point qui a pour image par l'application $f$ le point $C$ d'affixe $1+i$ ? \item Montrer que l'\'{e}quation \[ \frac{1+iz}{z+i}=z \] admet deux solutions que l'on d\'{e}terminera. \item V\'{e}rifier que% \[ z^{\prime}=\frac{i\left( z-i\right) }{z+i}% \] En d\'{e}duire \[ OM^{\prime}=\frac{AM}{BM}% \] et \[ \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right) =\left( \overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right) +\frac{\pi}{2}+2k\pi\text{ avec }k\in\mathbb{Z}% \] \item Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images par l'application $f$ situ\'{e}s sur un m\^{e}me cercle $\left( C\right) $ que l'on pr\'{e}cisera. \item Soit $M$ un point du cercle de diam\`{e}tre $\left[ AB\right] $ diff\'{e}rent de $A$ et $B.$ Montrer que son image $M^{\prime}$ est situ\'{e}e sur l'axe des abscisses. \end{enumerate} \begin{center} EXERCICE 2\\ Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialit\'{e} \end{center} \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Le plan $(P)$ est rapport\'{e} à un repère orthonormal direct $\ROD$.\\ Soit $A$ et $B$ dans ce plan d'affixes respectives $a = 1+i$ ; $b = - 4 - i$.\\ Soit $f$ la transformation du plan $(P)$ qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que $\vect{OM^{\prime}} = 2 \vect{AM} + \vect{BM}$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Exprimer $z^{\prime}$ en fonction de $z$. \item[\textbf{b.}] Montrer que $f$ admet un seul point invariant $\Omega $ dont on donnera l'affixe. En d\'{e}duire que $f$ est une homoth\'{e}tie dont on pr\'{e}cisera le centre et le rapport. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] On se place dans le cas où les coordonn\'{e}s $x$ et $y$ de $M$ sont des entiers naturels avec $1 \ie x \ie 8$ et $1 \ie y \ie 8$.\\[0.3cm] Les coordonn\'{e}es $(x^{\prime},y^{\prime})$ de $M^{\prime}$ sont alors : $$x^{\prime} = 3x + 2\quad \mbox{et} \quad y^{\prime} = 3y - 1.$$ \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On appelle $G$ et $H$ les ensembles des valeurs prises par respectivement $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$.\\ \'Ecrire la liste compl\`{e}te des éléments de $G$ et $H$. \item[\textbf{b.}] Montrer que $x'-y'$ est un multiple de $3$ \item[\textbf{c.}] Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité.\\[0.3cm] On se propose de déterminer tous les couples $(x',y')$ de $G \times H$ tels que $m ={ x'}^2 -{y'}^2$ soit un multiple non nul de $60$. \item[\textbf{d.}] Montrer que dans ces conditions, le nombre $x'-y'$ est un multiple de $6$. Le nombre $x'-y'$ peut-il être un multiple de $30$ ? \item[\textbf{e.}] En déduire que si ${x'}^2 - {y'}^2$ est un multiple non nul de $60$, $x'+y'$ est un multiple de $10$ et utiliser cette condition pour trouver tous les couples $(x',y')$ qui conviennent.\\[0.3cm] En déduire les couples $(x,y)$ correspondants aux couples $(x',y')$ trouvés. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBL\`{E}ME (11 points)} \end{center} \textbf{I) Pr\'{e}liminaires} \begin{enumerate} \item \'{E}tudier le sens de variation de la fonction $g$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par% \[ g\left( t\right) =e^{t}-t-1 \] Quel est le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left] -\infty,+\infty\right[ $ ? \item En d\'{e}duire les in\'{e}galit\'{e}s suivantes : \begin{enumerate} \item Pour tout r\'{e}el $t$ :% \[ e^{t}\geqslant t+1 \]% \[ e^{t}>t \] et% \[ -te^{t}>-1 \] \item Pour tout r\'{e}el $t>-1$ :% \[ \ln\left( 1+t\right) \leqslant t \] \end{enumerate} \item En d\'{e}duire que pour tout r\'{e}el $x$ :% \[ \ln\left( 1-xe^{-x}\right) \leqslant-xe^{-x}% \] \end{enumerate} \textbf{II) \'{E}tude d'une fonction} On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par% \[ f\left( x\right) =x^{2}-2\ln\left( e^{x}-x\right) \] \begin{enumerate} \item Montrer que% \[ f\left( x\right) =x^{2}-2x-2\ln\left( 1-xe^{-x}\right) \] Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?\newline On admettra que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est $+\infty$. \item Calculer $f^{\prime}\left( x\right) $ et montrer que% \[ f^{\prime}\left( x\right) =\frac{2\left( x-1\right) \left( e^{x}% -x-1\right) }{e^{x}-x}% \] Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \item Dans un rep\`{e}re orthonormal (unit\'{e} 3 cm), on consid\`{e}re la parabole $\left( P\right) $ d'\'{e}quation% \[ y=x^{2}-2x \] et $\left( C\right) $ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f$. Montrer que $\left( C\right) $ et $\left( P\right) $ sont asymptotes en $+\infty$. \'{E}tudier les positions relatives des courbes $\left( C\right) $ et $\left( P\right) $. \item Donner une \'{e}quation de chacune des tangentes $D$ et $D^{\prime}$ respectivement aux courbes $\left( P\right) $ et $\left( C\right) $ au point d'abscisse 0. \item Tracer dans un m\^{e}me rep\`{e}re les courbes $\left( C\right) $ et $\left( P\right) $ et leurs tangentes $D$ et $D^{\prime}$. \end{enumerate} \textbf{III) \'{E}tude d'une int\'{e}grale} \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. On pose :% \[ u_{n}=\int_{0}^{n}xe^{-x}dx \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la suite $u$ de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}$ est croissante. \item Calculer $u_{n}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \item D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( u_{n}\right) $. \end{enumerate} \item L'aire du domaine (en unit\'{e}s d'aire) limit\'{e} par les droites d'\'{e}quation $x=0$ et $x=n$, la parabole $\left( P\right) $ et la courbe $\left( C\right) $ est d\'{e}finie par% \[ I_{n}=-2\int_{0}^{n}\ln\left( 1-xe^{x}\right) dx \] \begin{enumerate} \item Montrer en utilisant la question 3) des pr\'{e}liminaires que% \[ I_{n}\geqslant2u_{n}% \] \item On admet que la suite $\left( I_{n}\right) $ a pour limite $l$. Montrer que $l\geqslant2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}