%disposition standard pour les textes de devoirs \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{french,amssymb,amstex,amsfonts} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{lastpage} \textwidth18cm \textheight25.5cm \newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels \newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels \newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes \newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct \newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon \newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI) \newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}}%base des vecteurs du %%@ %plan \newcommand{\se}{\geqslant} \newcommand{\ie}{\leqslant} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} \newcounter{num} \newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}\framebox{EXERCICE~\thenum~}} \newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}} \newcommand{\disf}{\displaystyle\frac} % Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT) \def\figTR#1{} % Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes % suivantes jusqu'à la section 4 \usepackage[dvips]{epsfig} % == Figure en taille fixee par l'utilisateur \def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}} \def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}} % == Figure en taille reelle \def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}} \def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}} %numérotation des pages par rapport à la dernière \makeatletter \renewcommand{\@evenfoot}% {\hfill page {\thepage}/\pageref{LastPage} \hfill} \renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot} \makeatother %fin de la macro pour numéroter les pages \begin{document} \definecolor{gris}{gray}{0.8} \geometry{margin=1cm} \noindent \fcolorbox{black}{gris}{ \makebox[17,6cm][s]{ \textsl{Classe de TS 2 spé}\hfill \textsl{\large{MATH\'EMATIQUES : exercices de révision }}\hfill %(préciser) \textsl{Année scolaire 1998-1999}}}\\%indiquer l'année scolaire \begin{center} %à remettre le xx/xx/199x %date à indiquer %du xx/xx/199x(xx heure) \end{center} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Montrer que si deux nombres sont premiers entre eux, il en est de même de leur somme et de leur produit. \item[\textbf{2.}] Résoudre dans $\N^2$ le système $\displaystyle \left\lbrace \begin{array}{l} x+y=56\\ \textrm{ppcm}(x,y) = 105 \end{array} \right.$ \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de $210$. \item[\textbf{2.}] Déterminer les couples $(x,y)$ d'entiers naturels non nuls tels que $\displaystyle \left\lbrace \begin{array}{l} \textrm{ppcm}(x,y) = 210 \ \textrm{pgcd}(x,y)\\ y-x=\textrm{pgcd}(x,y) \end{array} \right.$ \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 1997.\\ En déduire l'ensemble des couples $(x,y)$ de $\N^2$ vérifiant :\quad $x^2-y^2 = 1997.$ \item[\textbf{2.}] Résoudre dans $\N^2$ l'équation $x^2-y^2 = p$, où $p$ est un entier naturel premier. \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Montrer que pour tout entier $k$, les nombres $5k-2$ et $2k-1$ sont premiers entre eux. \item[\textbf{2.}] Soit un entier $k$. Montrer que le pgcd de $5k+3$ et $2k-1$ est celui de $k+5$ et $11$.\\ En déduire, suivant les valeurs de $k$, le ppcm de $5k+3$ et $2k-1$. \end{enumerate} \exo\\ [0,2cm] Quelles sont les valeurs possibles du pgcd des entiers $x$ et $y$ solutions de l'équation $7x-4y=9$ ?\\ Donner toutes les solutions de pgcd maximum.\\[0,5cm] \exo \\[0,2cm] Déterminer tous les entiers naturels non nuls $x$ tels que, en divisant $x$ par $42$ et $63$, on obtient le même reste $13$.\\[0,5cm] \exo \\[0,5cm] Déterminer les couples $(a,b)$ d'entiers naturels non nuls tels que pgcd$(a,b)$ + ppcm$(a,b) = b+9$.\\[0,5cm] \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Montrer que pour tout entier $n$, le pgcd de $2n+8$ et $3n+15$ divise $6$. \item[\textbf{2.}] Déterminer tous les entiers $n$ tels que pgcd$(2n+8\, , \, 3n+15) = 6$. \end{enumerate} \noindent \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Quel est le plus petit entier naturel non nul pour lequel $A=x^2-2x+2$ est divisible par $17$ ? \item[\textbf{2.}] Montrer alors que $A$ est divisible par $17$ si et seulement si $(x-5)(x+3)$ est divisible par $17$.\\ En déduire alors les entiers naturels non nuls $x$ pour lesquels $A$ est divisible par $17$. \end{enumerate} \end{document}