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Première partie

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points de coordonnées $(a,b,c)$ où $(a,b,c)$ est un trio.

On note $\Gamma$ l'ensemble des points de coordonnées $(a,b,c)$ où $(a,b,c)$ est un trio réduit.

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x+y+z=1$.

1. Existe-t-il des trios $(a,b,c)$ tels que $a+b+c=0$ ?
2. Montrer que $\mathcal{C}$ est une réunion de droites passant par $O$ et privées de ce point.
3. Montrer que $\Gamma$ est l'intersection d'un plan et d'une sphère de centre $O$. Quelle est la nature géométrique de $\Gamma$ ?
4. Donner la nature géométrique de $\mathcal{C}$ et l'illustrer d'un croquis.
5. Soit $L$ un point fixé de $\Gamma$. Montrer que le volume $V$ du tétraèdre $OLL'L''$, où $L'$ et $L''$ sont deux points distincts de $\Gamma$ et différents de $L$, est maximal lorsque les arêtes issues de $O$ sont deux à deux orthogonales et déterminer alors les coordonnées de $L'$ et $L''$ en fonction de celles de $L$.
6. Montrer que le produit $abc$ admet un maximum et un minimum lorsque le point de coordonnées $(a,b,c)$ décrit $\Gamma$. Préciser les trios réduits réalisant ces extremums.