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Quatrième partie

On note $A$ l'ensemble des entiers $m$ non nuls tels qu'il existe deux entiers $u,v$ tels que $m=u^2+3v^2$.

On note $A'$ l'ensemble des nombres complexes $z$ non nuls tels qu'il existe deux entiers $u,v$ tels que $z=u+iv\sqrt{3}$ (on remarquera que $\vert z\vert^2=u^2+3v^2$).

On note $B$ l'ensemble des entiers $n$ non nuls tels qu'il existe deux entiers $r,s$ tels que $n=r^2+rs+s^2$.

1. Montrer que le produit de deux éléments de $A'$ appartient à $A'$, puis que le produit de deux éléments de $A$ appartient à $A$.
2. Montrer que si $p$ est en nombre premier élément de $A$, alors $p=3$ ou $3$ divise $p-1$.
3. Montrer que $A=B$ (on pourra notamment remarquer que $r^2+rs+s^2 =(r+s)^2-(r+s)s+s^2$).
4. Montrer que $4$ divise les éléments pairs de $A$ et que les quotients appartiennent à $A$, puis que tout élément de $A$ est produit d'un élément impair de $A$ par une puissance de $4$.
   1. Soit s'il en existe, un entier impair $m=u^2+3v^2$ tel que les entiers $u$ et $v$ soient premiers entre eux et qui admet un diviseur premier $p$ n'appartenant pas à $A$. Montrer qu'il existe alors un plus petit entier strictement positif $n_0$ tel que $n_0p$ appartienne à $A$. Montrer que $n_0$ est impair.
   2. Établir l'existence de deux entiers $u'$ et $v'$ inférieurs en valeur absolue à $\frac p2$ tels que $p$ divise $u'-u$ et $v'-v$. Montrer que $p$ divise l'entier non nul $u'^2+3v'^2$ et que $n_0<p$.
   3. Établir l'existence de deux entiers non nuls premiers entre eux $u_0$ et $v_0$ tels que $n_0p=y_0^2+3v_0^2$.
   4. Établir l'existence de deux entiers $u_1$ et $v_1$ inférieurs en valeur absolue à $\frac {n_0}2$ tels que $n_0$ divise $u_1-u_0$ et $v_1-v_0$. Montrer que $n_0$ divise l'entier non nul $u_1^2+3v_1^2$ que l'on notera $n_0n_1$.
   5. En déduire qu'un tel entier $m$ ne peut pas exister (on pourra considérer l'entier $n_0^2n_1p$).
5. Montrer que tout élément de $A$ s'écrit $m=C^2p_1...p_k$, où $C$ est un entier naturel non nul et les $p_i$ des nombres premiers distincts éléments de $A$.
   1. Soit $p$ un nombre premier tel que $3$ divise $p-1$ et $K$ l'ensemble des triplets $(x,y,z)$ où les entiers $x,y$ et $z$ sont strictement compris entre $0$ et $p$, et tels que $p$ divise ($xyz-1)$. Montrer que $K$ possède $(p-1)^2$ éléments, et que $3$ divise le nombre d'éléments de $K$ ne vérifiant pas $x=y=z$.
   2. En déduire qu'il existe en entier $x$ strictement compris entre $1$ et $p$ tel que $p$ divise $x^2+x+1$, puis que $p$ appartient à $A$. Décrire les éléments de $A$.
6. Soit $D$ l'ensemble des entiers $d$ tels qu'il existe un trio entier $(a,b,c)$ vérifiant $a+b+c=d$ et $abc\not=0$. Montrer, grâce à la question 5/ de la deuxième partie, que tout élément de $D$ possède un diviseur premier élément de $A$ Réciproquement, que peut-on dire d'un entier non nul admettant un diviseur premier élément de $A$ ?
7. En déduire les éléments de $D$ compris aux sens large entre $2001$ et $2010$.

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