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Troisième partie

On note $j$ le nombre complexe $e^{\frac{2i\pi}3}$, c'est à dire $-\frac 12 +i\frac {\sqrt{3}}2$.

Pour tout trio $T=(a,b,c)$ on note $\widehat{T}=(a,c,b),\, S(T)=a+b+c$ et $z(T)=a+bj+cj^2$.

1. Calculer le module de $z(T)$ en fonction de $S(T)$. Peut-on avoir $z(T)=0$ ? Calculer le cosinus et le sinus d'un argument $\theta$ de $z(T)$ en fonction de $a,b$ et $c$.
2. Soit $z_0$ un nombre complexe non nul. Déterminer les trios $T=(a,b,c)$ tels que $z(T)=z_0$.
3. Étant donnés deux trios $T_1$ et $T_2$, montrer qu'il existe un unique trio, noté $T_1*T_2$, vérifiant $S(T_1*T_2)=S(T_1)S(T_2)$ et $z(T_1*T_2)=z(T_1)z(T_2)$. Calculer $T_1*T_2$ en fonction de $T_1$ et $T_2$. Que peut-on dire d'un argument de $z(T_1*T_2)$ ? Que peut-on dire d'un argument de $z(T_1*\widehat{T_1})$ ?
4. si $T_1$ et $T_2$ sont réduits, en est-il de même de $T_1*T_2$ ? Si $T_1$ et $T_2$ sont entiers, en est-il de même de $T_1*T_2$ ? Si $T_1$ et $T_2$ sont primitifs, en est-il de même de $T_1*T_2$ ?
5. Comparer les trios $T_1*T_2$ et $T_2*T_1,\ (T_1*T_2)*T_3$ et $(T_1*T_2)*T_3,\ T_1$ et $T_1*(1,0,0)$.
6. Étant donnés les trios $T_1$ et $T_2$, résoudre l'équation $T_1*T=T_2$ où le trio $T$ est l'inconnue.
7. Étant donné un trio $T$, on définit une suite de trios $(T_n)$ par $T_0=(1,0,0)$ et $T_{n+1}=T*T_n$. Calculer $S(T_n)$. Étant donné un entier $p$, résoudre l'équation $T_p=T_0$ où le trio $T$ est l'inconnue.