% % Usage : Mac % % Production : latex + dvips + distiller % \documentclass[17pt,landscape,dvips]{foils} % \usepackage[applemac]{inputenc} % \usepackage{amssymb} % \usepackage{mathtime,times} % si mathtime installé % % \usepackage{times,euler} % sinon % \usepackage[dvips]{graphicx,color} % % Usage : Linux, Windows % % Production : pdflatex % \documentclass[17pt,landscape]{foils} % \usepackage[latin1]{inputenc} % \usepackage{amssymb} % \usepackage{palatino,euler} % \usepackage[pdftex]{graphicx,color} \usepackage[colorlinks]{hyperref} \hypersetup{pdftitle={Introduction aux polynômes}, pdfsubject={Présentation des polynômes en PTSI}, pdfauthor={Jean-Michel Sarlat <jsarlat@planete.net>}, pdfkeywords={polynômes,construction}, pdfpagemode={FullScreen} } \def\prec{\Acrobatmenu{PrevPage}{\color{green}\Large$\blacktriangleleft$}} \def\suiv{\Acrobatmenu{NextPage}{\color{green}\Large$\blacktriangleright$}} \rightheader{\suiv} \leftheader{\prec} \title{Introduction aux polynômes} \author{Jean-Michel Sarlat} \date{8 février 2001} %===================================================================== % Ensembles fondamentaux \def\R{\mathbf{R}} \def\C{\mathbf{C}} \def\K{\mathbf{K}} \def\N{\mathbf{N}} \def\Q{\mathbf{Q}} \def\Z{\mathbf{Z}} % Symboles, notations \let\congru=\equiv \def\build#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0 pt#1}\limits_{#2}^{#3}}} \def\equiv#1{\build \sim_{#1}^{}} % symbole équivalent à en #1 \def\negli#1{\build \ll_{#1}^{}} % symbole négligeable en #1 \def\Sup#1{\build\hbox{Sup}_{#1}^{}} % symbole Sup \def\inf{\mathop{\rm Inf}\nolimits} % symbole Inf \def\sup{\mathop{\rm Sup}\nolimits} % symbole Sup \def\Inf#1{\build\hbox{Inf}_{#1}^{}} % symbole Inf \def\max#1{\build\hbox{Max}_{#1}^{}} % symbole Max \def\min#1{\build\hbox{Min}_{#1}^{}} % symbole Min \def\egaldef{\build{=}_{}^{\hbox{\scriptsize def}}} \def\egalipp{\build{=}_{}^{\hbox{\scriptsize IPP}}} \def\equivdef{\build{\iff}_{}^{\hbox{\scriptsize def}}} \def\abs#1{\vert #1 \vert} \def\val{\mathop{\rm{val}}\nolimits} \def\grad{\mathop{\vect{{\rm{grad}}}}\nolimits} \let\le\leqslant \let\ge\geqslant \let\leq\leqslant \let\geq\geqslant \begin{document} \maketitle \definecolor{gris}{rgb}{0.9,0.9,0.9} \definecolor{bleufonce}{rgb}{0,0,0.5} \color{bleufonce} %% ! La commande suivante n'est pas comprise par la package color %% avec pdflatex \pagecolor{gris} \foilhead{Les nombres à la base} \MyLogo{} On désigne par $\K$ l'un des ensembles $\R$ ou $\C$. $\K$ est muni de deux lois de compositions internes~: $+$ et $\times$; la richesse de leurs propriétés lui confère une structure de \textbf{corps commutatif}~: \begin{itemize} \item $(\K,+)$ est un \textbf{groupe commutatif}, ceci est la conséquence du fait que \begin{itemize} \item $+$ est associative. \item $+$ est commutative. \item $+$ admet un élément neutre~: $0$. \item Tout élément $x$ de $\K$ admet un symétrique~: $-x$. \end{itemize} \item $(\K^*,\times)$ est un groupe commutatif (Rappel~: $\K^*=\K\setminus\{0\}$ est l'ensemble des éléments de $\K$ qui ont un inverse). \item $\times$ est distributive à gauche et à droite par rapport à $+$, c'est-à-dire~: $$\forall (x,y,z)\in\K,\, x\times(y+z)=x\times y+x\times z\hbox{ et } (y+z)\times x =y\times x + z\times x$$ \end{itemize} \foilhead{Les nombres à la base (suite)} \begin{enumerate} \item Dans la pratique et lorsqu'il n'y a pas ambiguïté, on omet le signe $\times$. \item $\R$ et $\C$ ne sont pas les seuls ensembles ayant une structure de corps (ie. qui vérifient les propriétés énumérées ci-dessus), on vérifie sans peine que c'est aussi le cas pour $\Q$ mais que cela est faux pour $\Z$. On rencontrera dans la suite immédiate du cours sur les polynômes, un corps bien particulier qui entretient avec l'ensemble des polynômes le même rapport que $\Q$ avec $\Z$. \end{enumerate} \foilhead{Les suites nulles à partir d'un certain rang} On note $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},0,\ldots)$ une suite (infinie) d'éléments de $\K$ nuls à partir d'un certain rang. $n$ désigne un entier naturel tel que au delà du rang $n$ tous les termes sont nuls, ce qui ne signifie d'ailleurs pas que les termes $a_{i}$ ($i=0\ldots n$) sont tous non nuls.\\[2mm] Exemples~: $(0,1,-1,0,2,0,0,0,\ldots)$, $(\pi,e,\sqrt2,0,\ldots)$ etc...\\[2mm] Dans le but d'alléger les écritures, une telle suite sera notée $A=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}$\footnote{où il faut comprendre que si $i\ge n$ alors $a_{i}=0$}. On définit alors trois lois de composition dans l'ensemble de ces suites. \foilhead{Addition} $$A+B=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}+\left\{(b_{i})_{i\in\N},m\right\} \egaldef\left\{(a_{i}+b_{i})_{i\in\N},\sup\{n,m\}\right\}$$ La quantité $\sup\{n,m\}$ apparaît ci-dessus puisque si $i$ est supérieur au plus grand des deux nombres $n$ et $m$ alors $a_{i}+b_{i}=0$, la suite ainsi définie est bien nulle à partir d'un certain rang. \foilhead{Multiplication par un scalaire} $$\lambda.A=\lambda. \left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}\egaldef \left\{(\lambda a_{i})_{i\in\N},n\right\}$$ $\lambda$ désigne ici un élément de $\K$, c'est un \textbf{scalaire} (c'est l'autre mot pour désigner un nombre qui, comme ici, intervient dans une multiplication externe). \foilhead{Produit} $$A\times B=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}\times\left\{(b_{i})_{i\in\N},m\right\} \egaldef\left\{\left((\sum_{k=0}^{k=i}a_{k}b_{i-k}\right)_{i\in\N},n+m\right\}$$ Si on y regarde de près, dès que $i>n+m$ la quantité $\sum_{k=0}^{k=i}a_{k}b_{i-k}$ est nulle puisque tous ses termes sont nuls (l'un des facteurs est \emph{nécessairement nul}). \foilhead{Suites particulières} Il y a deux suites particulières qui sont~: $$0\egaldef (0,0,0,0,0,\ldots)$$ $$1\egaldef (1,0,0,0,0,\ldots)$$ ce sont respectivement les éléments neutres pour l'addition et le produit.\\ On observe que l'application $\varphi:\lambda\longmapsto \lambda.1=(\lambda,0,\ldots)$ possède les propriétés suivantes~: $$\forall (\lambda,\mu)\in\K,\, \varphi(\lambda+\mu)=\varphi(\lambda)+\varphi(\mu)\hbox{ et }\varphi(\lambda\times \mu)=\varphi(\lambda)\times\varphi(\mu)$$ L'application $\varphi$ est injective, c'est un \textbf{morphisme} qui permet d'identifier le scalaire $\lambda$ et la suite $(\lambda, 0,\ldots)$. \foilhead{L'indéterminée} Parmi les suites qui ne peuvent pas être identifiées à un scalaire, il en est une particulière que l'on note $X$, que l'on nomme \textbf{l'indéterminée} et qui est telle que~: $$X=(0,1,0,0,0,\ldots)$$ On vérifie alors~: $$X^2\egaldef X\times X =(0,0,1,0,0,\ldots)$$ $$X^3\egaldef X\times X^2 =(0,0,0,1,0,\ldots)$$ et ainsi de suite ...\\ Pour être complet, en hommage à une telle régularité, on pose $X^0\egaldef(1,0,0,\ldots)=1$.\\ Ainsi, la suite $A=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},0,\ldots)=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}$ peut s'écrire~: $$A=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^2+\ldots+a_{n}X^n=\sum_{i=0}^{i=n}a_{i}X^i$$ \foilhead{L'indéterminée (suite)} Vous remarquerez que j'ai procédé à l'identification de $(a_{0},0,\ldots)=a_{0}.1$ avec $a_{0}$. Et voilà donc les polynômes tels qu'on les connaît ? Ce n'est pas sûr, l'indéterminée ne représente pas un nombre, elle est même définie comme un objet qui, dans le contexte de cette étude, est tout sauf un scalaire~! En fait $X$ peut être considérée comme un objet extérieur à un ensemble (ici $\K$) qu'on lui adjoint de façon à constituer un ensemble plus vaste (une \textbf{extension}) où les lois de compositions connues à la base se généralisent.\\[1mm] Puisque les scalaires et l'indéterminée suffisent pour écrire les suites nulles à partir d'un certain rang, on note $\K[X]$ leur ensemble\footnote{Peut-être certains d'entre-vous se demandaient-ils pourquoi on tardait à nommer cet ensemble, qu'ils soit récompensés d'avoir été patients !}, on les nomme \textbf{polynômes} et on dit qu'ils sont à coefficients dans $\K$. \foilhead{TEST} Pour vérifier que ce qui précède vous éclaire sur des pratiques antérieures et pour en dégager l'aspect \textbf{formel}, donner un sens aux écritures~: $\R[i]$, $\Q[\sqrt2]$, $\C[x\mapsto x]$. \foilhead{L'anneau des polynômes} On montre que l'ensemble $\K[X]$ muni des deux lois de composition internes~: $+$ et $\times$ possède une structure d'anneau\footnote{ En réalité quand on considère la troisième loi (externe), la structure de $\K[X]$ est plus riche, mais ceci correspond à un cours à venir.}~: \begin{itemize} \item $(\K[X],+)$ est un groupe commutatif \item $\times$ est associative et commutative. \item $\times$ possède un élément neutre~: $1$ \item $\times$ est distributive par rapport à $+$. \end{itemize} $\K[X]$ n'est pas un corps~: tous les polynômes non nuls n'ont pas nécessairement un inverse. \foilhead{Les caractéristiques d'un polynôme} La notation générale d'un polynôme est $\displaystyle P=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}X^k$. Les nombres $a_{k}$ sont les \textbf{coefficients} de $P$, ce sont des éléments de $\K$ et ils sont nuls à partir d'un certain rang. \begin{itemize} \item Un polynôme est le polynôme nul ssi tous ses coefficients sont nuls. \item Deux polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefficients. \item Le \textbf{degré} du polynôme $\displaystyle P = \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}X^k$ (noté $\deg P$ ) est, si le polynôme est non nul, le plus grand indice $n$ tel que $a_{n}\ne 0$, sinon il est égal à $-\infty$ (convention). \item La \textbf{valuation} du polynôme $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}X^k$ (notée $\val P$) est, si le polynôme est non nul, le plus petit indice $m$ tel que $a_{m}\ne 0$, sinon elle est égale à $+\infty$ (convention). \end{itemize} \foilhead{Les caractéristiques d'un polynôme (suite)} \begin{itemize} \item Le \textbf{coefficient dominant} d'un polynôme non nul est le coefficient dont l'indice est égal au degré du polynôme. \item Un polynôme est \textbf{unitaire} ou \textbf{normalisé} si, et seulement si son coefficient dominant est égal à~$1$. \end{itemize} Le degré et la valuation vérifient les propriétés suivantes pour tous polynômes $P$ et~$Q$~: $$\deg(P+Q)\le \sup\{\deg P,\deg Q\}$$ $$\deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q$$ $$\deg(\lambda.P)=\deg P\hbox{ si }\lambda\ne0$$ $$\val(P+Q)\ge \inf\{\val P,\val Q\}$$ $$\val(P\times Q)=\val P+\val Q$$ $$\val(\lambda.P)=\val P\hbox{ si }\lambda\ne0$$ \foilhead{Exemple} $P=-X^3+X^2+2X^5+X^4$. $P$ est non nul, son degré est $5$, sa valuation $2$ et son coefficient dominant est $2$.\\[2mm] Pour éviter toute erreur de lecture on développe un polynôme suivant les puissances croissantes ou les puissances décroissantes. \foilhead{La suite du cours} Elle va se développer suivant le plan suivant~: \begin{enumerate} \item Divisibilité \item Fonction polynôme \item Polynôme dérivé \item Formule de Taylor \item Zéros d'un polynôme \item Polynômes scindés \item Relations entre racines et coefficients \end{enumerate} \rightheader{} \end{document}