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\hypersetup{pdftitle={Introduction aux polynômes},
pdfsubject={Présentation des polynômes en PTSI},
pdfauthor={Jean-Michel Sarlat <jsarlat@planete.net>},
pdfkeywords={polynômes,construction},
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\title{Introduction aux polynômes}
\author{Jean-Michel Sarlat}
\date{8 février 2001}
\def\R{\mathbf{R}}
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\let\ge\geqslant
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\begin{document}
\maketitle
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\pagecolor{gris}
\foilhead{Les nombres à la base}
\MyLogo{}
On désigne par $\K$ l'un des ensembles $\R$ ou $\C$.
$\K$ est muni de deux lois de compositions internes~: $+$ et $\times$;
la richesse de leurs propriétés lui confère une structure
de \textbf{corps commutatif}~:
\begin{itemize}
\item $(\K,+)$ est un \textbf{groupe commutatif}, ceci est la
conséquence du fait que
\begin{itemize}
\item $+$ est associative.
\item $+$ est commutative.
\item $+$ admet un élément neutre~: $0$.
\item Tout élément $x$ de $\K$ admet un symétrique~: $-x$.
\end{itemize}
\item $(\K^*,\times)$ est un groupe commutatif (Rappel~:
$\K^*=\K\setminus\{0\}$ est l'ensemble des éléments de $\K$ qui ont
un inverse).
\item $\times$ est distributive à gauche et à droite par rapport
à $+$, c'est-à-dire~:
$$\forall (x,y,z)\in\K,\, x\times(y+z)=x\times y+x\times z\hbox{ et }
(y+z)\times x =y\times x + z\times x$$
\end{itemize}
\foilhead{Les nombres à la base (suite)}
\begin{enumerate}
\item Dans la pratique et lorsqu'il n'y a pas ambiguïté, on omet le signe
$\times$.
\item $\R$ et $\C$ ne sont pas les seuls ensembles ayant une
structure de corps (ie. qui vérifient les propriétés énumérées
ci-dessus), on vérifie sans peine que c'est aussi le cas pour $\Q$
mais que cela est faux pour $\Z$. On rencontrera dans la suite
immédiate du cours sur les polynômes, un corps bien particulier qui
entretient avec l'ensemble des polynômes le même rapport que $\Q$
avec $\Z$.
\end{enumerate}
\foilhead{Les suites nulles à partir d'un certain rang}
On note $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},0,\ldots)$ une suite
(infinie) d'éléments de $\K$ nuls à partir d'un certain rang. $n$ désigne un
entier naturel tel que au delà du rang $n$ tous les termes sont nuls,
ce qui ne signifie d'ailleurs pas que les termes $a_{i}$ ($i=0\ldots n$)
sont tous non nuls.\\[2mm]
Exemples~: $(0,1,-1,0,2,0,0,0,\ldots)$, $(\pi,e,\sqrt2,0,\ldots)$
etc...\\[2mm]
Dans le but d'alléger les écritures, une telle suite sera notée
$A=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}$\footnote{où il faut comprendre
que si $i\ge n$ alors $a_{i}=0$}.
On définit alors trois lois de composition dans l'ensemble de ces suites.
\foilhead{Addition}
$$A+B=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}+\left\{(b_{i})_{i\in\N},m\right\}
\egaldef\left\{(a_{i}+b_{i})_{i\in\N},\sup\{n,m\}\right\}$$
La quantité $\sup\{n,m\}$ apparaît ci-dessus puisque si $i$ est
supérieur au plus grand des deux nombres $n$ et $m$ alors
$a_{i}+b_{i}=0$, la suite ainsi définie est bien nulle à partir d'un
certain rang.
\foilhead{Multiplication par un scalaire}
$$\lambda.A=\lambda. \left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}\egaldef
\left\{(\lambda a_{i})_{i\in\N},n\right\}$$
$\lambda$ désigne ici un élément de $\K$, c'est un \textbf{scalaire} (c'est
l'autre mot pour désigner un nombre qui, comme ici, intervient dans
une multiplication externe).
\foilhead{Produit}
$$A\times B=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}\times\left\{(b_{i})_{i\in\N},m\right\}
\egaldef\left\{\left((\sum_{k=0}^{k=i}a_{k}b_{i-k}\right)_{i\in\N},n+m\right\}$$
Si on y regarde de près, dès que $i>n+m$
la quantité $\sum_{k=0}^{k=i}a_{k}b_{i-k}$ est nulle puisque
tous ses termes sont nuls (l'un des facteurs est
\emph{nécessairement nul}).
\foilhead{Suites particulières}
Il y a deux suites particulières qui sont~:
$$0\egaldef (0,0,0,0,0,\ldots)$$
$$1\egaldef (1,0,0,0,0,\ldots)$$
ce sont respectivement les éléments neutres pour l'addition et le
produit.\\
On observe que l'application $\varphi:\lambda\longmapsto
\lambda.1=(\lambda,0,\ldots)$ possède les propriétés suivantes~:
$$\forall (\lambda,\mu)\in\K,\,
\varphi(\lambda+\mu)=\varphi(\lambda)+\varphi(\mu)\hbox{ et
}\varphi(\lambda\times \mu)=\varphi(\lambda)\times\varphi(\mu)$$
L'application $\varphi$ est injective, c'est un \textbf{morphisme} qui
permet d'identifier le scalaire $\lambda$ et la suite $(\lambda,
0,\ldots)$.
\foilhead{L'indéterminée}
Parmi les suites qui ne peuvent pas être identifiées à un scalaire,
il en est une particulière que l'on note $X$, que l'on nomme
\textbf{l'indéterminée} et qui est telle que~:
$$X=(0,1,0,0,0,\ldots)$$
On vérifie alors~:
$$X^2\egaldef X\times X =(0,0,1,0,0,\ldots)$$
$$X^3\egaldef X\times X^2 =(0,0,0,1,0,\ldots)$$
et ainsi de suite ...\\
Pour être complet, en hommage à une telle régularité, on pose
$X^0\egaldef(1,0,0,\ldots)=1$.\\
Ainsi, la suite
$A=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},0,\ldots)=\left\{(a_{i})_{i\in\N},n\right\}$
peut s'écrire~:
$$A=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^2+\ldots+a_{n}X^n=\sum_{i=0}^{i=n}a_{i}X^i$$
\foilhead{L'indéterminée (suite)}
Vous remarquerez que j'ai procédé à l'identification de
$(a_{0},0,\ldots)=a_{0}.1$ avec $a_{0}$.
Et voilà donc les polynômes tels
qu'on les connaît ? Ce n'est pas sûr, l'indéterminée ne représente pas un
nombre, elle est même définie comme un objet qui, dans le contexte
de cette étude, est tout sauf un scalaire~! En fait $X$ peut être
considérée comme un objet extérieur à un ensemble (ici $\K$) qu'on lui adjoint de façon à
constituer un ensemble plus vaste (une \textbf{extension}) où les
lois de compositions connues à la base se généralisent.\\[1mm]
Puisque les scalaires et l'indéterminée suffisent pour écrire les
suites nulles à partir d'un certain rang, on note $\K[X]$
leur ensemble\footnote{Peut-être certains d'entre-vous se demandaient-ils
pourquoi on tardait à nommer cet ensemble, qu'ils soit récompensés
d'avoir été patients !}, on les nomme \textbf{polynômes} et on dit
qu'ils sont à coefficients dans $\K$.
\foilhead{TEST}
Pour vérifier que ce qui précède vous éclaire sur des
pratiques antérieures et pour en dégager l'aspect \textbf{formel}, donner
un sens aux écritures~:
$\R[i]$, $\Q[\sqrt2]$, $\C[x\mapsto x]$.
\foilhead{L'anneau des polynômes}
On montre que l'ensemble $\K[X]$ muni des deux lois de composition
internes~: $+$ et $\times$ possède une structure d'anneau\footnote{
En réalité quand on considère la troisième loi (externe), la
structure de $\K[X]$ est plus riche, mais ceci correspond à un cours à
venir.}~:
\begin{itemize}
\item $(\K[X],+)$ est un groupe commutatif
\item $\times$ est associative et commutative.
\item $\times$ possède un élément neutre~: $1$
\item $\times$ est distributive par rapport à $+$.
\end{itemize}
$\K[X]$ n'est pas un corps~: tous les polynômes non nuls n'ont pas
nécessairement un inverse.
\foilhead{Les caractéristiques d'un polynôme}
La notation générale d'un polynôme est
$\displaystyle P=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}X^k$. Les nombres $a_{k}$ sont les
\textbf{coefficients} de $P$, ce sont des éléments de $\K$ et ils sont
nuls à partir d'un certain rang.
\begin{itemize}
\item Un polynôme est le polynôme nul ssi tous ses coefficients sont
nuls.
\item Deux polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefficients.
\item Le \textbf{degré} du polynôme $\displaystyle P =
\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}X^k$ (noté $\deg P$ ) est, si le
polynôme est non nul, le plus grand indice $n$ tel que $a_{n}\ne 0$,
sinon il est égal à $-\infty$ (convention).
\item La \textbf{valuation} du polynôme $\displaystyle
\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}X^k$ (notée $\val P$) est, si le polynôme
est non nul, le plus petit indice $m$ tel que $a_{m}\ne 0$,
sinon elle est égale à $+\infty$ (convention).
\end{itemize}
\foilhead{Les caractéristiques d'un polynôme (suite)}
\begin{itemize}
\item Le \textbf{coefficient dominant} d'un polynôme non nul est le
coefficient dont l'indice est égal au degré du polynôme.
\item Un polynôme est \textbf{unitaire} ou \textbf{normalisé} si,
et seulement si son coefficient dominant est égal à~$1$.
\end{itemize}
Le degré et la valuation vérifient les propriétés suivantes pour tous
polynômes $P$ et~$Q$~:
$$\deg(P+Q)\le \sup\{\deg P,\deg Q\}$$
$$\deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q$$
$$\deg(\lambda.P)=\deg P\hbox{ si }\lambda\ne0$$
$$\val(P+Q)\ge \inf\{\val P,\val Q\}$$
$$\val(P\times Q)=\val P+\val Q$$
$$\val(\lambda.P)=\val P\hbox{ si }\lambda\ne0$$
\foilhead{Exemple} $P=-X^3+X^2+2X^5+X^4$. $P$ est non nul, son degré
est $5$, sa valuation $2$ et son coefficient dominant est $2$.\\[2mm]
Pour éviter toute erreur de lecture on développe un polynôme suivant
les puissances croissantes ou les puissances décroissantes.
\foilhead{La suite du cours}
Elle va se développer suivant le plan suivant~:
\begin{enumerate}
\item Divisibilité
\item Fonction polynôme
\item Polynôme dérivé
\item Formule de Taylor
\item Zéros d'un polynôme
\item Polynômes scindés
\item Relations entre racines et coefficients
\end{enumerate}
\rightheader{}
\end{document}
