\documentclass[10pt]{article} \usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage[upright]{fourier} \usepackage{ amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra} \usepackage[dvips,final]{graphicx} \usepackage{pst-all,pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl} \usepackage[xcas]{tablor} % des couleurs \newrgbcolor{0.9white}{.9 .9 .9} \definecolor{0.8white}{rgb}{.8,.8,.8} \definecolor{0.2white}{rgb}{.2,.2,.2} \definecolor{0.4white}{rgb}{.4,.4,.4} \definecolor{0.6white}{rgb}{.6,.6,.6} % style des sections \usepackage{sectsty} \sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}} \subsectionfont{\sffamily\color{0.4white}} \renewcommand\thesection{\Roman{section} -} \renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. } \subsubsectionfont{\sffamily\color{0.6white}} \renewcommand\thesubsubsection{\roman{subsection}. } % quelques macros %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles \newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}} \newcommand{\ie}{\leqslant} % inferieur ou egal \newcommand{\se}{\geqslant} \newcommand{\Ouv}[1][O]{\DecalV[.8pt]{#1;\ve{u},\ve{v}}\xspace} \newcommand\N{\mathbb{N}} \newcommand\R{\mathbb{R}} \newcommand{\DecalV}[2][2pt]{% \raisebox{#1}{% $\left(\raisebox{-#1}{\ensuremath{#2}}\right)$}} \DeclareRobustCommand{\ve}[1]{% \overrightarrow{\rule{0em}{1.8ex} #1 \rule{0.15em}{0ex}}} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \pagestyle{empty} \parindent0pt %% commandes pgiac \newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{% \color[HTML]{8B7500}$\rightarrow$} \newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{% \color[HTML]{1E90FF}} \newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{% \begin{center} \includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1} \end{center}} % titre \title{\LaTeX{}, \texttt{XCAS},\texttt{ pgiac} et \texttt{tablor}~:\\ comment corriger un exercice de Bac sans effort...} \begin{document} \maketitle \section{Pondichery avril 2008} {\color{0.6white} \footnotesize \noindent \textbf{Partie A : un mod\`ele discret}\\ Soit $u_{n}$ le nombre, exprim\'e en millions, de foyers poss\'edant un t\'el\'eviseur \`a \'ecran plat l'ann\'ee $n$.\\ On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \geqslant 0,$ \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\] \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 20] par \[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\] \begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de $f$ sur [0 ; 20]. \item En d\'eduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$. \item On donne en \textbf{annexe} la courbe repr\'esentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal.\\ Repr\'esenter, sur l'axe des abscisses, \`a l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$. \end{enumerate} \item Montrer par r\'ecurrence que pour tout $n \in \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et d\'eterminer sa limite. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B : un mod\`ele continu}\\ Soit $g(x)$ le nombre, exprim\'e en millions, de tels foyers l'ann\'ee $x$.\\ On pose $x = 0$ en 2005, $g(0) = 1$ et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'\'equation diff\'erentielle \[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y)\] \begin{enumerate} \item On consid\`ere une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle : \[(\text{E}_{1})\quad : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\] \item R\'esoudre l'\'equation (E$_{1}$) et en d\'eduire les solutions de l'\'equation (E). \end{enumerate} \item Montrer que $g$ est d\'efinie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$. \item \'Etudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$. \item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpr\'eter le r\'esultat. \item En quelle ann\'ee le nombre de foyers poss\'edant un tel \'equipement d\'epassera-t-il $5$~millions ? \end{enumerate} } \normalsize \noindent \textbf{Partie A : un mod\`ele discret}\\ \begin{enumerate} \item On définit $f$ %@Commande-1 {\MarqueCommandeGiac{1} \verb| f:=x->(20-x)*x/10;|} \begin{verbatim} (x)->(20-x)*x/10 \end{verbatim} On calcule sa dérivée : %@Commande-2 {\MarqueCommandeGiac{2} \verb| simplifier(deriver(f(x)));|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ -\left(\frac{1}{5} \times x\right)+2 \]}} On étudie son signe~: %@Commande-3 {\MarqueCommandeGiac{3} \verb| resoudre(deriver(f(x))>0)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ [x<10] \]}} On calcule les valeurs particulières~: %@Commande-4 {\MarqueCommandeGiac{4} \verb| f(0),f(10),f(20);|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 0,10,0 \]}} \begin{enumerate} \item On dresse son tableau de variation \begin{center} \begin{TV} TV([0,20],[],"f","x",(20-x)*x/10,1,\tv); \end{TV} \end{center} \item Par lecture du tableau de variations on obtient que sur $[0\pv 20]$ le minimum de $f$ est 0 et le maximum 10. \item %@Commande-5 {\MarqueCommandeGiac{5} \verb| graphe_suite(f(x),x=[1,-3,23],5);|} \InscriptionFigureGiac{CorrBac-01.eps} \item On a $0\ie u_0\ie u_1\ie 10$. On peut donc supposer qu'il existe au moins un entier naturel $k$ tel que \[0\ie u_k\ie u_{k+1}\ie 10\] Or $f$ est croissante sur $[0\pv 10]$ donc $f(0)\ie f(u_k)\ie f(u_{k+1})\ie f(10)$ et donc \[1\ie u_{k+1}\ie u_{k+2}\ie 10\] On a donc prouvé la propriété par récurrence. \item La suite est croissante et majorée donc convergente. La suite est définie par la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue sur et à valeur dans $[0\pv 10]$ : elle converge donc vers un point fixe de $f$. %@Commande-6 {\MarqueCommandeGiac{6} \verb| resoudre(f(x)=x)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ [10,0] \]}} Or $u_0=1$ donc $u_n\se 1$ pour tout entier naturel $n$~:~la limite ne peut pas être 0. C'est donc 10. \end{enumerate} \end{enumerate} \noindent \textbf{Partie B : un mod\`ele continu}\\ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $z'=\left(\frac{1}{y}\right)'=-\frac{y'}{y^2}=-\frac{1}{20}\frac{1}{y}(10-y)=-\left(\frac{1}{2y}-\frac{1}{20}\right)=-\frac{1}{2}z+\frac{1}{20}$ \item %@Commande-7 {\MarqueCommandeGiac{7} \verb| g:=1/desolve([z'=-z/2+1/20,z(0)=1],z)[0]|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\frac{(9+e^{\frac{1}{2} \times x})\frac{1}{10}}{e^{\frac{1}{2} \times x}}\right)^{-1} \]}} %@Commande-8 {\MarqueCommandeGiac{8} \verb| g:=unapply(g,x)|} \begin{verbatim} (x)->1/((9+exp(1/2*x))*1/10/exp(1/2*x)) \end{verbatim} %@Commande-9 {\MarqueCommandeGiac{9} \verb| simplifier(g(x))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{10e^{\frac{1}{2} \times x}}{(e^{\frac{1}{2} \times x}+9)} \]}} \end{enumerate} \item %@Commande-10 {\MarqueCommandeGiac{10} \verb| simplifier(g(x)-10/(9*exp(-x/2)+1))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}} \item %@Commande-11 {\MarqueCommandeGiac{11} \verb| d:=factoriser(deriver(g(x)))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{45e^{\frac{1}{2} \times x}}{\left(e^{\frac{1}{2} \times x}+9\right)^{2}} \]}} %@Commande-12 {\MarqueCommandeGiac{12} \verb| g(0)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 1 \]}} \item %@Commande-13 {\MarqueCommandeGiac{13} \verb| limite(g(x),x=+infinity)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 10 \]}} $\mathcal{C}_g$ admet donc une asymptote d'équation $y=10$ au voisinage de $+\infty$. \begin{center} \begin{TV} TV([0,+infinity],[],"g","x",10/(9*exp(-x/2)+1),1,\tv) \end{TV} \end{center} \item %@Commande-14 {\MarqueCommandeGiac{14} \verb| resoudre(g(x)>=5)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ [x\geq (2\ln\left(9\right))] \]}} %@Commande-15 {\MarqueCommandeGiac{15} \verb| evalf(resoudre(g(x)>=5)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ [x\geq 4.394449] \]}} \end{enumerate} \section{Amérique du Sud novembre 2007} {\color{0.6white} {\footnotesize Le plan $\mathcal{P}$ est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal direct \Ouv.\\ \emph{On fera une figure qui sera compl\'et\'ee au fur et \`a mesure.}\\ Soit $f$ l'application qui \`a tout point $M$ de P d'affixe non nulle $z$ associe le point $M'$ d'affixe : \[ z'= \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right).\] \begin{enumerate} \item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - \text{i}$. D\'eterminer l'affixe du point E$'$, image de E par $f$ \item D\'eterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'= M$. \item On note A et B les points d'affixes respectives $1$ et $-1$.\\ Soit $M$ un point distinct des points O, A et B. \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ diff\'erent de $0,~ 1$ et $-1$, on a : \[\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1} \right)^2.\] \end{enumerate} } } \begin{enumerate} \item %@Commande-16 {\MarqueCommandeGiac{16} \verb| complex_variables:=1|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 1 \]}} %@Commande-17 {\MarqueCommandeGiac{17} \verb| f(z):=(z+1/z)/2 |} \begin{verbatim} (z)->(z+1/z)/2 \end{verbatim} %@Commande-18 {\MarqueCommandeGiac{18} \verb| evalc(f(-i))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}} \item %@Commande-19 {\MarqueCommandeGiac{19} \verb| resoudre(f(z)=z,z)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ [-1,1] \]}} \item %@Commande-20 {\MarqueCommandeGiac{20} \verb| factoriser(simplifier((f(z)+1)/(f(z)-1)))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\left(z+1\right)^{2}}{\left(z-1\right)^{2}} \]}} \end{enumerate} \section{Polynésie septembre 2007} {\color{0.6white} {\footnotesize \noindent \textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire} Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par \[g(x)= 2\text{e}^x - x - 2.\] \begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en $+\infty$. \item \'Etudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau de variations. \item On admet que l'\'equation $g(x)= 0$ a exactement deux solutions r\'eelles. \begin{enumerate} \item V\'erifier que $0$ est l'une de ces solutions. \item L'autre solution est appel\'ee $\alpha$. Montrer que $-1,6 \leqslant \alpha \leqslant -1,5$. \end{enumerate} \item D\'eterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du r\'eel $x$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \noindent \textbf{Partie B : \'Etude de la fonction principale}\\ Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en $+\infty$. \item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.\\ \'Etudier le sens de variation de $f$. \item Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$, o\`u $\alpha$ est d\'efini dans la partie B.\\ En d\'eduire un encadrement de $f(\alpha)$. (On rappelle que $-1,6 \leqslant \alpha \leqslant -1,5$.) \item \'Etablir le tableau de variations de $f$. \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), repr\'esentative de $f$ dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique 2 cm). \end{enumerate} }} \noindent \textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire} \begin{enumerate} \item %@Commande-21 {\MarqueCommandeGiac{21} \verb| g(x):=2*exp(x)-x-2|} \begin{verbatim} (x)->2*exp(x)-x-2 \end{verbatim} %@Commande-22 {\MarqueCommandeGiac{22} \verb| limite(g(x),x=+infinity); limite(g(x),x=-infinity); |} {\MarqueLaTeXGiac{\[ +\infty ,+\infty \]}} \item %@Commande-23 {\MarqueCommandeGiac{23} \verb| deriver(g(x))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 2e^{x}-1 \]}} %@Commande-24 {\MarqueCommandeGiac{24} \verb| resoudre(deriver(g(x))>0)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ [x>(\ln\left(\frac{1}{2}\right))] \]}} \begin{center} \begin{TV} TV([-infinity,+infinity],[],"g","x",2*exp(x)-x-2,1,\tv) \end{TV} \end{center} \item \begin{enumerate} \item %@Commande-25 {\MarqueCommandeGiac{25} \verb| g(0)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}} %@Commande-26 {\MarqueCommandeGiac{26} \verb| fsolve(g(x)=0,x=-2)|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ -1.593624 \]}} \begin{center} \begin{TVI} TVI([-infinity,+infinity],[],"g","x",2*exp(x)-x-2,0,0,\tv) \end{TVI} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \noindent \textbf{Partie B : \'Etude de la fonction principale}\\ \begin{enumerate} \item %@Commande-27 {\MarqueCommandeGiac{27} \verb| f(x):=exp(2*x)-(x+1)*exp(x)|} \begin{verbatim} (x)->exp(2*x)-(x+1)*exp(x) \end{verbatim} %@Commande-28 {\MarqueCommandeGiac{28} \verb| limite(f(x),x=+infinity); limite(f(x),x=-infinity); |} {\MarqueLaTeXGiac{\[ +\infty ,0 \]}} \item %@Commande-29 {\MarqueCommandeGiac{29} \verb| deriver(f(x))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ e^{2x}2+-\left(e^{x}\right)-\left((x+1)e^{x}\right) \]}} %@Commande-30 {\MarqueCommandeGiac{30} \verb| simplifier(deriver(f(x))/exp(x))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ -x+2e^{x}-2 \]}} \item %@Commande-31 {\MarqueCommandeGiac{31} \verb| f(fsolve(g(x)=0,x=-2))|} {\MarqueLaTeXGiac{\[ 0.161903 \]}} \item \begin{center} \begin{TVapp} TVapp([-infinity,+infinity],[],"f","x",exp(2*x)-(x+1)*exp(x),1,\tv) \end{TVapp} \end{center} \item %@Commande-32 {\MarqueCommandeGiac{32} \verb| graphe(f(x),x=-4..1)|} \InscriptionFigureGiac{CorrBac-02.eps} \end{enumerate} \end{document}