\documentclass[a4paper,10pt]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% M O N P R É A M B U L E %% %% __________________________ %% %% %% %% BriCàMatH %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[latin1]{inputenc}% codage utf8, sous linux principalement \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp}% pour les maths \usepackage{array}% divers outils pour les tableaux \usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}% Figures géométriques dans le code LaTeX \usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante \usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules %\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main \usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables \usepackage{lmodern}% fonte modern \usepackage{mathrsfs}% fonte cursive : emploi \mathscr{TEXTE}, en majuscules %\usepackage{mathptmx}% fonte %\usepackage{mathpazo}% fonte \usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes \usepackage{ifthen}% pour faire des tests \usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX \usepackage{setspace}% pour spécifier l'interlignage \rmfamily% importantion des petites capitales grasses \DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête \usepackage[frenchb]{babel}% francisation \FrenchFootnotes% des notes de bas de pages conformes à la typo française \setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation % %################################################################################# %########################### MES COMMANDES ########################### %################################################################################# % % Pour avoir des lettres majuscules droites dans le mode math (par JCC sur f.c.t.tex) \DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{65} \DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{66} \DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{67} \DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{68} \DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{69} \DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{70} \DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{71} \DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{72} \DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{73} \DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{74} \DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{75} \DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{76} \DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{77} \DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{78} \DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{79} \DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{80} \DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{81} \DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{82} \DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{83} \DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{84} \DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{85} \DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{86} \DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{87} \DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{88} \DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{89} \DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{90} % % pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP % par JCC sur f.c.t.tex \def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}} \def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux} \def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi} \def\changecommapt#1.\changecommapt{#1} % % Teste si l'argument est un nombre % par JCC sur f.c.t.tex % Utilisation : \IFnombre{#1}{code si #1 est un nombre}{code si #1 n'est pas un nombre} % \decimalpart et \intergerpart contiennent les parties décimales et entières \makeatletter \newcount\integerpart \newcount\decimalpart \newcommand\IFnombre[3]{% \decimalpart=0 \afterassignment\defnext\integerpart=0#1\relax\@nil \expandafter\@dotorcomma\next\@nil \if\relax\@remain #2% \else #3 \fi } \def\defnext#1\@nil{\def\next{#1}}% \def\@dotorcomma{\@ifnextchar.{\@decimal}{\@comma}} \def\@comma{\@ifnextchar,{\@decimal}{\@endnumber}} \def\@decimal#1#2\@nil{% \afterassignment\defnext\decimalpart=0#2\@nil \expandafter\@endnumber\next\@nil } \def\@endnumber#1\@nil{\def\@remain{#1}} \makeatother % On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés \newcommand*{\setenumeratedefaut}{ \setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}} \setenumeratedefaut \let\oldenumerate=\enumerate \let\oldendenumerate=\endenumerate % %%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%% \newenvironment{Questions}{% \setenumerate{% itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus partopsep=0cm,% parsep=0pt,% leftmargin=*,% pas de marge gauche align=left,% alignement des numéros à gauche labelindent=0pt,% indentation du numéro widest=8),% largeur du numéro labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte \setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras \setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % %%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%% \newenvironment{SousQuestions}{% \setenumerate{ itemsep=3ptplus1ptminus2pt,% espacement vertical entre items topsep=4ptplus2ptminus4pt,% séparation avec avec le texte de l'item de hiérarchie plus haute, si celui ci existe partopsep=0pt,% parsep=3ptplus1ptminus2pt,% séparation entre les paragraphes au sein d'un item leftmargin=*,% align=left,% alignement des lettres à gauche widest=b),% largeur maxi du numéro labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % % Puces \newenvironment{Puces}[1][1cm]% {\begin{list}% {$\bullet$}% { \setlength{\leftmargin}{#1}% marge à gauche, par défaut=1cm \setlength{\itemsep}{3ptplus3ptminus2pt}% espacement entre item \setlength{\topsep}{0pt}% espacement entre le paragraphe précédent et le 1er item }}% {\end{list}} % % Affiche "Nom : Prénom : Classe :" \newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}} % % Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré \newcommand*{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}} % % Affiche la date en italique centré \newcommand*{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}} % % Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début \newcommand*{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}} % % Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables \newcommand*{\ligne}[5]{% %#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après \vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne \rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne \vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation \rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne \vspace*{#5}% on met l'espace final } % % Affiche éventuellement le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine) \newcommand*{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6pt plus 2pt minus 2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0pt}} % % Affiche éventuellement le texte puis une ligne fine \newcommand*{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4pt plus 2pt minus 2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}} % % Met en gras dans les formules math \newcommand*{\gras}[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}} % % Forme un angle \newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{#1}}} % % Forme un arc \makeatletter \newcount\r@pport \newdimen\r@ppord \newcount\kslant \newdimen\kslantd \newcommand*{\arc}[1]{\setbox0\hbox{$\m@th\displaystyle#1$}\kslant=\ht0 \divide\kslant by1000\multiply\kslant by\fontdimen1\textfont1 \divide\kslant by10000\kslantd=\kslant\fontdimen6\textfont1 \divide\kslantd by7750\kern\kslantd \r@ppord=\wd0\multiply\r@ppord by100\divide\r@ppord by\ht0 \multiply\r@ppord by300\advance\r@ppord by\ht0 \pspicture(0,0) \parabola[linewidth=.3pt]{-}(0,1.05\ht0)(.5\wd0,1.15\r@ppord) \endpspicture \kern-\kslantd\box0} \makeatother % % Met entre guillemets français \def\guill#1{\og{}#1\fg{}} %############################################################################################## %########################### MACROS POUR LES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE ########################### %############################################################################################## % % _______________________________________________________________________ %| | %| Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon | %|_______________________________________________________________________| \newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi} % % ______________________________________________ %| | %| La réciproque du théorème de Thalès | %| (les phrases de conclusion seulement) | %|______________________________________________| \newcommand*{\ThalesReciproquE}[5]{% %les rapports #1#2/#1#3 et #1#4/#1#5 sont égaux --> réciproque de Thalès On obtient l'égalité $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}$~, les points #1, #2, #3 et #1, #4, #5 sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \textbf{les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles}. } \makeatletter\newcommand*{\ThalesReciproque}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesReciproquE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesReciproquE}}\makeatother % _______________________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Thalès (les phrases préliminaires seulement) | %| un cas pour la 4ème et un cas pour la 3ème | %|_______________________________________________________________________| \newcommand*{\ThalesDirectTroiS}[5]{% %#1:centre homothétie #1#2#3:alignés, #1#4#5: alignés et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct Les droites (#2#3) et (#4#5) se coupent en #1, les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}=\MaFrac{#2#4}{#3#5}$% } \makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectTrois}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectTroiS}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectTroiS}}\makeatother \newcommand*{\ThalesDirectQuatrE}[5]{% %#1:centre homothétie #2 app [#1#3], #4 app [#1#5] et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct Dans le triangle #1#3#5, le point #2 appartient à [#1#3] et le point #4 appartient à [#1#5], les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}=\MaFrac{#2#4}{#3#5}$% } \makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectQuatre}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectQuatrE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectQuatrE}}\makeatother % _________________________________________________________________________________ %| | %| Le calcul d'un produit en croix, avec choix de la précision pour le résultat | %|_________________________________________________________________________________| % #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2) % % #3 x #4 % #2 = --------- = ResultatArrondi % #5 \newcommand*{\CalculProduitCroiX}[5][2]{% \FPeval{Resultat}{({#3}*{#4})/{#5}}% \FPclip{\Resultat}{\Resultat}% \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}% on arrondi à [#1] chiffres après la virgule \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}% \FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}% pour supprimer des zéros dans l'arrondi : 2.50 devient 2.5 $#2=\MaFrac{\nombrefr{#3}\times\nombrefr{#4}}{\nombrefr{#5}}\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}}$ } \makeatletter\newcommand*{\CalculProduitCroix}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculProduitCroiX}{\def\MaFrac{\frac}\CalculProduitCroiX}}\makeatother % _________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Thalès (les calculs seulement) | %|_________________________________________________________| % #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2) % % Calcule l'argument qui n'est pas un nombre dans l'égalité : % #2 #4 % ----- = ----- % #3 #5 % % #6 = unité [cm par exemple] \newcommand*{\CalculThalesDirecT}[6][2]{% \def\OPa{\nombrefr}\def\OPb{\nombrefr}\def\OPc{\nombrefr}\def\OPd{\nombrefr} \IFnombre{#2}% {\IFnombre{#3} {\IFnombre{#4} {\IFnombre{#5} {Erreur !}% tous sont des nombres --> erreur {\def\OPd{}\def\Cherche{#5}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#4}\def\DEN{#2}}%#5 n'est pas un nombre }% {\def\OPc{}\def\Cherche{#4}\def\NUMa{#2}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#3}}%#4 n'est pas un nombre }% {\def\OPb{}\def\Cherche{#3}\def\NUMa{#2}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#4}}%#3 n'est pas un nombre }% {\def\OPa{}\def\Cherche{#2}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#4}\def\DEN{#5}}%#2 n'est pas un nombre De l'égalité\hspace{1ex}$\MaFrac{\OPa{#2}}{\OPb{#3}}=\MaFrac{\OPc{#4}}{\OPd{#5}}$\hspace{1ex}on tire que\hspace{1ex}\CalculProduitCroiX[#1]{\Cherche}{\NUMa}{\NUMb}{\DEN}\textbf{#6}%on rajoute l'unité } \makeatletter\newcommand*{\CalculThalesDirect}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculThalesDirecT}{\def\MaFrac{\frac}\CalculThalesDirecT}}\makeatother % ______________________________________________________ %| | %| Macros utilisée dans les macros ci dessous | %| renvoie l'argument n°#1 | %|______________________________________________________| \newcommand*{\RectangleEn}[4]{% \ifthenelse{#1=1} {#2}% #1=2, renvoie #2 {\ifthenelse{#1=2} {#3}% #1=3, renvoie #3 {\ifthenelse{#1=3} {#4}% #1=4, renvoie #4 {??}% #1 est autre chose, renvoie ?? }% }% } % ___________________________________________________ %| | %| La réciproque du théorème de Pythagore | %| la conclusion sans calculs préliminaires | %|___________________________________________________| \newcommand*{\PythagoreReciproque}[4][2]{% % [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu) On obtient l'égalité % \ifthenelse{#1=1}{${#3#4}^2={#2#3}^2+{#2#4}^2$}{\null}% \ifthenelse{#1=2}{${#2#4}^2={#3#2}^2+{#3#4}^2$}{\null}% \ifthenelse{#1=3}{${#2#3}^2={#4#2}^2+{#4#3}^2$}{\null}% , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle #2#3#4 est rectangle en \RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}.% } % __________________________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Pythagore (les phrases préliminaires seulement) | %| * pour ne pas écrire l'égalité de Pythagore | %|__________________________________________________________________________| \newcommand*{\PythagoreDirecT}[4][2]{% % [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu) Le triangle #2#3#4 est rectangle en \RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}, donc d'après le théorème de Pythagore% \ifthenelse{\AvecEq=1}% {\ifthenelse{#1=1}% { : ${#3#4}^2={#2#3}^2+{#2#4}^2$}% {\ifthenelse{#1=2}% { : ${#2#4}^2={#3#2}^2+{#3#4}^2$}% {\ifthenelse{#1=3}% { : ${#2#3}^2={#4#2}^2+{#4#3}^2$}% { : ??}% }% }% }% {}% } \makeatletter\newcommand*{\PythagoreDirect}{\@ifstar{\def\AvecEq{0}\PythagoreDirecT}{\def\AvecEq{1}\PythagoreDirecT}}\makeatother % ___________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Pythagore complet (avec calculs) | %|___________________________________________________________| \newcommand*{\CalculPythagoreDirect}[9][2]{ % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2 : position de la lettre où est l'angle droit (1 ; 3 ou 5) % A4B6C8 : ABC : sommets % 468 : longueurs dont celle que l'on cherche est vide ou vaut un . % #9 : unité Dans le triangle #3#5#7 rectangle en \RectangleEn{#2}{#3}{#5}{#7}, d'après le théorème de Pythagore :\smallskip \ifthenelse{\equal{#2}{1}}% alors A est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (hypo) {\CalculHypo[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>} } } } {\ifthenelse{\equal{#2}{3}}% alors B est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (hypo) {\CalculHypo[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>} } } } {\ifthenelse{\equal{#2}{5}}% alors C est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (hypo) {\CalculHypo[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}%le côté cherché est AC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>} } } } {L'argument \no2 doit valoir 1 ; 3 ou 5 !} } } } \newcommand*{\CalculHypo}[7][2]{% % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=hypoténuse 4=longueur BC 6=longeur CA % #7 : unité (par exemple cm) \FPmul{\BCcarre}{#4}{#4} \FPmul{\ACcarre}{#6}{#6} \FPadd{\SommeCarre}{\BCcarre}{\ACcarre} \FPclip{\BCcarre}{\BCcarre} \FPclip{\ACcarre}{\ACcarre} \FProot{\Resultat}{\SommeCarre}{2} \FPclip{\SommeCarre}{\SommeCarre} \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1} \FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi} \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi} $\begin{aligned} {#2#3}^2&={#5#2}^2+{#5#3}^2\\ {#2#3}^2&={\nombrefr{#4}}^2+{\nombrefr{#6}}^2\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\BCcarre}+\nombrefr{\ACcarre}\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\SommeCarre}\\ {#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\SommeCarre}}\\ {#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}} \end{aligned}$ } \newcommand*{\CalculCote}[7][2]{% % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=côté à calculer 4=longueur BC 6=longeur AC % #7 : unité (par exemple cm) \FPmul{\BCcarre}{#4}{#4} \FPmul{\ACcarre}{#6}{#6} \FPsub{\Difference}{\BCcarre}{\ACcarre} \FPifpos{\Difference}\FPset{\Signe}{0}\else\FPset{\Signe}{1}\fi \FPabs{\Difference}{\Difference} \FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre} \FProot{\Resultat}{\Difference}{2} \FPclip{\Difference}{\Difference} \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi} \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi} \FPifzero{\Signe} \def\CoteGauche{#3#5}\FPset{NbrGauche}{#4}% #4>#6, l'hypoténuse est donc BC \def\CoteDroit{#2#5}\FPset{NbrDroit}{#6} \FPset{CarreAv}{BCcarre}\FPset{CarreAp}{ACcarre} \else \def\CoteGauche{#2#5}\FPset{NbrGauche}{#6}%#6>#4, l'hypoténuse est donc AC \def\CoteDroit{#3#5}\FPset{NbrDroit}{#4} \FPset{CarreAv}{ACcarre}\FPset{CarreAp}{BCcarre} \fi $\begin{aligned} {\CoteGauche}^2&={#2#3}^2+{\CoteDroit}^2\\ \nombrefr{\NbrGauche}^2&={#2#3}^2+\nombrefr{\NbrDroit}^2\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\NbrGauche}^2-\nombrefr{\NbrDroit}^2\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\CarreAv}-\nombrefr{\CarreAp}\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\Difference}\\ {#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\ {#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}} \end{aligned}$ } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%% F I N D U P R É A M B U L E %%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \author{BriCàMatH} \title{Devoir surveillé 3ème : Trigonométrie et autres} \date{12/12/2007} \begin{document} \titre{Devoir surveillé \no4} \DoubleLigne{\ladate{3\ieme F -- Le mercredi 12/12/2007}} \ladate{\textbf{Calculatrice autorisée -- Pas de prêt ni d'échange de calculatrice !}} \exo{Exercice 1.} \begin{minipage}{10cm} La figure ci-contre n'est pas représentée en vraie grandeur et n'est pas à reproduire. Dans cette figure : \begin{Puces} \item $(\mathscr{C})$ est un cercle de centre O, et dont [AB] est un dimètre tel que $AB=9\text{ cm}$ \item H est un point de $(\mathscr{C})$ tel que $AH=7\text{ cm}$ \item C est le point de la demi droite [BH) tel que $\Angle{CAH}=60\degres$ \end{Puces} \end{minipage} \begin{minipage}{7.5cm} \psset{unit=0.85cm,algebraic=true} \begin{pspicture*}(0.5,0.5)(9,4.5) \pscircle(7,2.5){1.8} \pspolygon(1,1)(8,1)(6,4)(1,1) \psline(6,4)(6,1) \pscustom{\parametricplot{-2.601173153319209}{-1.5707963267948966}{0.8*cos(t)+6|0.8*sin(t)+4}} \rput[tl](5.36,3.15){{\footnotesize 60\degres}} \rput[tl]{-56}(7.04,2.96){{\footnotesize 9 cm}} \rput[tl]{90}(5.7,2){{\footnotesize 7 cm}} \rput[bl](5.76,0.66){H} \rput[bl](8.1,0.75){B} \rput[bl](5.84,4.14){A} \rput[bl](0.64,0.9){C} \psdots[dotsize=2pt](7,2.5) \rput[bl](6.6,2.3){O} \rput[bl](8,4){$(\mathscr{C})$} \end{pspicture*} \end{minipage} \begin{Questions} \item Montrer que le triangle BAH est rectangle. \item Calculer la longueur BH. On donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers ($b$ étant le plus petit possible), ainsi que la valeur approchée au millimètre. \item Calculer la valeur approchée au degrés de l'angle \Angle{ABH}. \item En utilisant les valeurs données en bas de cette page\footnote{$\sin 30\degres=\cos 60\degres=\frac{1}{2}\qquad\sin45\degres=\cos45\degres=\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad\sin60\degres=\cos30\degres=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad\tan 30\degres=\frac{\sqrt{3}}{3}\qquad\tan 45\degres=1\qquad\tan 60\degres=\sqrt{3}$}, calculer la valeur exacte de la longueur CH. Donner également la valeur approchée au millimètre. \item Calculer au $\text{cm}^2$ près, l'aire du triangle ABC. \end{Questions} \exo{Exercice 2.} La figure représente la vue en coupe d'une voie de funiculaire\footnote{Voie ferrée équipée d'une crémaillère pour permettre à un train (que l'on appelle funiculaire) de gravir de fortes pentes.}.\par A est la gare de départ, et B la gare d'arrivée. La voie [AB] est rectiligne, et mesure 840 mètres de long. \begin{center} \psset{unit=1.0cm} \begin{pspicture*}(1.36,0.58)(9.58,3.44) \psline[linewidth=0.5pt](6.49,1.28)(6.2,1.28)(6.2,1) \psline[linewidth=0.5pt](9,1.28)(8.72,1.28)(8.72,1) \pspolygon(2,1)(9,1)(9,3)(2,1) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](6.49,2.28)(6.49,1) \rput[bl](1.5,0.9){A} \rput[bl](9.2,0.8){V} \rput[bl](9.08,3.12){B} \rput[bl](6.34,2.42){G} \rput[bl](6.4,0.64){H} \end{pspicture*} \end{center} L'altitude de la gare de départ A est \nombre{1254} m, et celle de B est \nombre{1616} m. \begin{Questions} \item% \begin{SousQuestions} \item Calculer la hauteur BV. \item On donne $AG=600\text{ m}$ : la gare intermédiaire G est donc située à 600 mètres de la gare de départ A\par Calculer au mètre près la hauteur GH et en déduire l'altitude, au mètre près de la gare intermédiaire G. \item Calculer au degré près l'angle \Angle{BAV} que fait la voie de funiculaire avec l'horizontale. \end{SousQuestions} \item À la descente, le funiculaire effectue le trajet à la vitesse constante de 14 km/h, sans faire d'arrêt à la gare intermédiaire G.\par Quelle sera la durée exacte (en minutes et secondes) du trajet entre les gares B et A? \end{Questions} \exo{Exercice 3.} On donne l'expression litérale $E=(3x-1)^2-16$ \begin{Questions} \item Développer et réduire E. \item Factoriser E. \item Calculer la valeur de E lorsque $x=\sqrt{5}$, et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{5}$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. \end{Questions} \exo{Exercice 4.} \begin{Questions} \item $\alpha$ est un angle aigu tel que $\cos\alpha=\dfrac{3}{4}$\par Calculer la valeur exacte de $\sin\alpha$, puis en déduire la valeur exacte de $\tan\alpha$. \item Démontrer que si $x$ est un angle aigu alors, $(\sin x+1)^2+(\cos x-1)^2=3+2(\sin x-\cos x)$ \end{Questions} \pagebreak \DoubleLigne{\titre{Correction du devoir surveillé \no4}} \exo{Exercice 1.} \begin{Questions} \item H appartient au cercle de diamètre [AB] donc \textbf{le triangle ABH est rectabgle en H}. \item \PythagoreDirect*[3]ABH :\par $\begin{aligned} AB^2&=AH^2+HB^2\\ 9^2&=7^2+HB^2\\ HB^2&=81-49\\ HB^2&=32\\ HB&=\sqrt{32}=\sqrt{16}\sqrt{2}=\gras{4\sqrt{2}\text{ cm}\approx5,7\text{ cm}} \end{aligned}$ \item Dans le triangle ABH rectangle en H : $\sin\Angle{ABH}=\dfrac{AH}{AB}\qquad\sin\Angle{ABH}=\dfrac{7}{9}$\qquad et donc\hspace{2ex}$\gras{\Angle{ABH}\approx51\degres}$. \item Dans le triangle ACH rectangle en H : $\tan\Angle{CAH}=\dfrac{CH}{AH}\qquad\tan60\degres=\dfrac{CH}{7}\qquad \gras{CH=7\sqrt{3}\text{ cm}\approx12,1\text{ cm}}$ \item $\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{(CH+HB)\times AH}{2}=\dfrac{(7\sqrt{3}+4\sqrt{2})\times7}{2}\approx\gras{62\text{ cm}^2}$ \end{Questions} \exo{Exercice 2.} \begin{Questions} \item% \begin{SousQuestions} \item BV est la différence entre les altitudes de A et de B, donc : $BV=\nombre{1616}-\nombre{1254}=\gras{362\text{ m}}$ \item Comme (GH) et (BV) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (AV), elles sont parallèles. \ThalesDirectTrois*{A}{G}{B}{H}{V} ce qui donne $\dfrac{600}{840}=\dfrac{AH}{AV}=\dfrac{GH}{362}$ \CalculThalesDirect*[0]{600}{840}{GH}{362}{m}\par On en déduit aisément que l'altitude de G est $\nombre{1254}+259\approx\gras{\nombre{1513}\text{ m}}$ \item Dans le triangle ABV rectangle en V : $\sin\Angle{BAV}=\dfrac{BV}{AB}\qquad\sin\Angle{BAV}=\dfrac{362}{840}\qquad\gras{\Angle{BAV}\approx26\degres}$ \end{SousQuestions} \item De la formule $v=\dfrac{d}{t}$, on tire que $t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{0,840}{14}=0,06\text{ h}=3,6\text{ min}=\gras{3\text{ min } 36\text{ s}}$ \end{Questions} \exo{Exercice 3.} \begin{multicols}{3} \begin{Questions} \item% $ E=(3x-1)^2-16\\ E=9x^2-6x+1-16\\ E=\gras{9x^2-6x-15} $\columnbreak \item% $ E=(3x-1)^2-16\\ E=(3x-1)^2-4^2\\ E=[(3x-1)-4][(3x-1)+4]\\ E=(3x-1-4)(3x-1+4)\\ E=\gras{(3x-5)(3x+3)} $\columnbreak \item% $ E=9\left( \sqrt{5} \right)^2-6\sqrt{3}-15\\ E=9\times5-6\sqrt{5}-15\\ E=\gras{30-6\sqrt{5}} $ \end{Questions} \end{multicols} \exo{Exercice 4.} \begin{Questions} \item% \begin{multicols}{2} De la relation $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, on a :\par $\begin{aligned} \sin^2\alpha+\left( \dfrac{3}{4} \right)^2&=1\\ \sin^2\alpha&=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}\\ \sin\alpha&=\sqrt{\dfrac{7}{16}}=\gras{\dfrac{\sqrt{7}}{4}} \end{aligned}$\columnbreak De la relation $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, on a :\par $\begin{aligned} \tan\alpha&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{4}}{\dfrac{3}{4}}\\ \tan\alpha&=\dfrac{\sqrt{7}}{\cancel{4}}\times\dfrac{\cancel{4}}{3}=\gras{\dfrac{\sqrt{7}}{3}} \end{aligned}$ \end{multicols} \item% $ (\sin x+1)^2+(\cos x-1)^2=\sin^2 x+2\sin x+1+\cos^2 x-2\cos x+1\\ (\sin x+1)^2+(\cos x-1)^2=\overbrace{\underbrace{\sin^2 x+\cos^2 x}_1+1+1}^3+2\sin x-2\cos x\\ (\sin x+1)^2+(\cos x-1)^2=\gras{3+2(\sin x-\cos x)} $ \end{Questions} \end{document}