\documentclass{article} \input MaquetteDS3eme.tex \usepackage{pst-all,multicol} \begin{document} \parskip0pt \titrage{Devoir Surveillé n°1 -- Enoncé}{3\ieme} \Exo{4} \Enonce{\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item\ldots/1,5 \item\ldots/0,5 \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item\ldots/1,5 \item\ldots/0,5 \end{enumerate} \end{enumerate}}{\begin{enumerate} \item On considère l'expression $D=(2x-3)^2+(2x-3)(5x+1)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression $D$. \item Calculer la valeur de l'expression $D$ lorsque $x=2$. \end{enumerate} \item On considère l'expression $E=(x+1)^2-(3x-2)(3x+2)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression $E$. \item Calculer la valeur de l'expression $E$ lorsque $x=1$. \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exo{3,5} \Enonce{\begin{enumerate} \item\ldots/1,5 \item\ldots/2 \end{enumerate}}{\begin{enumerate} \item On donne $$A=\frac13+\frac{14}3\div\frac{35}{12}$$ Calculer le nombre $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible. \item On donne $B=81\times10^{-5}\times14\times\left(10^2\right)^3$. \\Calculer le nombre $B$ et donner son écriture scientifique. \end{enumerate}} \Exo{3,5} \Enonce{\begin{enumerate} \item\ldots/1,5 \item\ldots/2 \end{enumerate}}{\compo{2}{304ds01tous}{1}{{\em La figure ci-contre, dessinée à main levée, ne respecte pas les longueurs. L'unité de longueur est le centimètre.} \par Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés ainsi que les points $A$, $D$ et $E$. Les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont perpendiculaires à la droite $(AE)$. $AB=2,5$, $BD=1,5$, $CE=4,5$. \begin{enumerate} \item Calculer $AD$. Justifier. \item Calculer les longueurs $AC$ et $AE$. Justifier. \end{enumerate} }} \Exo{7} \Enonce{\begin{enumerate} \item\ldots/1,5 \item\ldots/0,5 \item\ldots/2 \item\ldots/1 \item\ldots/1 \item\ldots/1 \end{enumerate} }{ $$\includegraphics{304ds01tous.1}$$ {\em La figure ci-dessus, dessinée à main levée, ne respecte pas les longueurs.} \par On donne $EF=4\,cm$ ; $FG=3\,cm$ ; $EG=5\,cm$ ; $AE=7\,cm$ ; $\widehat{DAB}=30\degres$ ; les points $A$, $E$ et $G$ sont alignés ; les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés ; la droite $(AB)$ est la hauteur issue de $A$ dans le triangle $AED$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $EFG$ est un triangle rectangle. \item En déduire que les droites $(FG)$ et $(AB)$ sont parallèles. \item Démontrer que $EB=5,6\,cm$ et $AB=4,2\,cm$. \item Construire aux insruments et en vraie grandeur la figure. \item Montrer par la calcul que $DB\approx2,4\,cm$. \item Calculer l'aire du triangle $AED$ à $1\,cm^2$ près. \end{enumerate}} \newpage \parskip0pt \titrage{Devoir Surveillé n°1 -- Corrigé}{3\ieme} \parskip12pt \setcounter{num}{0} \exo\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \par $\Eqalign{ D&=\psframebox[linestyle=dashed]{(2x-3)^2}+(2x-3)(5x+1)\rnode{A}{}\cr D&=\psframebox[linestyle=dashed]{(2x)^2-2\times2x\times3+3^2}+(2x\times5x+2x\times1-3\times5x-3\times1)\rnode{B}{}\cr D&=4x^2-12x+9+(10x^2+2x-15x-3)\cr D&=4x^2-12x+9+(10x^2-13x-3)\rnode{C}{}\cr D&=4x^2-12x+9+10x^2-13x-3\rnode{D}{}\cr D&=14x^2-25x+6\cr }$ \ncbar{->}{A}{B} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{150pt} $(a-b)^2=a^2-2\times a\times b+b^2$ \end{minipage} }} \ncbar{->}{C}{D} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{275pt} On peut supprimer une parenthèse précédée d'un signe + sans changer les signes de l'expression à l'intérieur de la parenthèse. \end{minipage} }} \item\subitem{}\par $\Eqalign{ D&=14x^2-25x+6\rnode{A}{}\cr D&=14\times2^2-25\times2+6\rnode{B}{}\cr D&=14\times4-50+6\rnode{C}{}\cr D&=56-50+6\cr D&=12\cr }$ \ncbar{->}{A}{B} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{200pt} On utilise la forme développée. \end{minipage} }} \ncbar{->}{B}{C} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{250pt} On respecte les règles de priorités de calculs. \end{minipage} }} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \par $\Eqalign{ E&=\psframebox[linestyle=dashed]{(x+1)^2}-\psframebox[linestyle=dashed]{(3x-2)(3x+2)}\rnode{A}{}\cr E&=\psframebox[linestyle=dashed]{x^2+2\times x\times 1+1^2}-\psframebox[linestyle=dashed]{\left((3x)^2-2^2\right)}\rnode{B}{}\cr E&=x^2+2x+1-(9x^2-4)\rnode{C}{}\cr \cr E&=x^2+2x+1-9x^2+4\rnode{D}{}\cr E&=-8x^2+2x+5\cr }$ \ncbar{->}{A}{B} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{250pt} $(a+b)^2=a^2+2\times a\times b+b^2$ et $(a-b)\times(a+b)=a^2-b^2$ \end{minipage} }} \ncbar{->}{B}{C} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{250pt} $(3x)^2=3x\times3x=3\times3\times x\times x=9x^2$ \end{minipage} }} \ncbar{->}{C}{D} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{300pt} On peut supprimer une parenthèse précédée d'un signe $-$ en changeant {\sc tous} les signes de l'expression à l'intérieur de la parenthèse. \end{minipage} }} \item\subitem{}\par \par $\Eqalign{ E&=-8x^2+2x+5\rnode{A}{}\cr E&=-8\times1^2+2\times1+5\rnode{B}{}\cr E&=-8\times1+2+5\rnode{C}{}\cr E&=-8+2+5\cr E&=-1\cr }$ \ncbar{->}{A}{B} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{200pt} On utilise la forme développée. \end{minipage} }} \ncbar{->}{B}{C} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{250pt} On respecte les règles de priorités de calculs. \end{minipage} }} \end{enumerate} \end{enumerate} \exo\begin{enumerate} \item\subitem{}\par \par $\Eqalign{ A&=\frac13+\frac{14}3\div\frac{35}{12}\rnode{A}{}\cr A&=\frac13+\frac{14}3\times\frac{12}{35}\rnode{B}{}\cr A&=\frac13+\frac{14\times12}{3\times35}\cr A&=\frac13+\frac{2\times7\times3\times4}{3\times7\times5}\cr A&=\frac13+\frac85\rnode{C}{}\cr A&=\frac5{15}+\frac{24}{15}\rnode{D}{}\cr A&=\frac{29}{15}\rnode{E}{}\cr }$ \ncbar{->}{A}{B} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{250pt} On respecte les règles de priorités de calculs : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. \end{minipage} }} \ncbar{->}{C}{D} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{300pt} Pour additionner 2 fractions, on doit réduire au même dénominateur. \end{minipage} }} \ncbar{->}{D}{E} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{350pt} Comme elles ont le même dénominateur, on peut ajouter les numérateurs et garder le dénominateur. \end{minipage} }} \item\subitem{}\par \par$\Eqalign{ B&=81\times10^{-5}\times14\times\left(10^2\right)^3\rnode{A}{}\cr B&=81\times14\times10^{-5}\times10^{2\times3}\rnode{B}{}\cr B&=1\,124\times10^{-5}\times10^6\rnode{C}{}\cr B&=1\,124\times10^{-5+6}\rnode{D}{}\cr B&=1\,124\times10^1\cr B&=11\,240\rnode{E}{}\cr B&=1,124\times10^4\rnode{F}{}\cr }$ \ncbar{->}{A}{B} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{150pt} $\left(10^a\right)^b=10^{a\times b}$ \end{minipage} }} \ncbar{->}{C}{D} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{150pt} $10^a\times10^b=10^{a+b}$ \end{minipage} }} \ncbar{->}{E}{F} \naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{400pt} {\em L'écriture scientifique} d'un nombre décimal est la seule écriture de ce nombre sous la forme $a\times10^p$ où $a$ est un nombre décimal possédant un seul chiffre différent de 0 avant la virgule. \end{minipage} }} \end{enumerate} \newpage \exo \begin{enumerate} \item Dans le triangle $ABD$, rectangle en $D$, le théorème de Pythagore permet d'écrire\par $\Eqalign{ AB^2&=AD^2+DB^2\rnode{A}{}\kern1cm\rnode{B}{\psshadowbox{\begin{minipage}{300pt}On commence toujours par l'hypoténuse du triangle rectangle. \end{minipage}} } \cr 2,5^2&=AD^2+1,5^2\cr 6,25&=AD^2+2,25\cr AD^2&=6,25-2,25\cr AD^2&=4\cr AD&=2\,cm\cr }$ \ncline{->}{B}{A} \item Dans le triangle $ACE$, on a : \begin{itemize} \item $D$ est un point de la droite $(AE)$ ; \item $B$ est un point de la droite $(AC)$ ; \item les droites $(DB)$ et $(CE)$ étant toutes deux perpendiculaires à la droite $(AE)$, elles sont donc parallèles. \end{itemize} Le théorème de Thalès permet d'écrire : $$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}\mbox{ ou }\frac2{AE}=\frac{2,5}{AC}=\frac{1,5}{4,5}$$ \begin{multicols}{2} On utilise $$\Eqalign{ \frac2{AE}&=\frac{1,5}{4,5}\cr AE&=\frac{4,5\times2}{1,5}\cr AE&=6\,cm\cr }$$ \par On utilise $$\Eqalign{ \frac{2,5}{AC}&=\frac{1,5}{4,5}\cr AC&=\frac{4,5\times2,5}{1,5}\cr AC&=7,5\,cm\cr }$$ \end{multicols} \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item Dans le triangle $EFG$, on a \par $\left. \begin{array}{l} EG^2=5^2=25\\ EF^2+FG^2=4^2+3^2=16+9=25\\ \end{array}\right\}EG^2=EF^2+FG^2$ \par Comme $EG^2=EF^2+FG^2$ alors le triangle $EFG$ est rectangle en $F$. \item Comme les droites $(FG)$ et $(AB)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(BE)$ alors les droites $(FG)$ et $(AB)$ sont parallèles. \item Dans le triangle $ABE$ : \begin{itemize} \item $F$ est un point de la droite $(BE)$ ; \item $G$ est un point de la droite $(EA)$ ; \item les droites $(FG)$ et $(AB)$ sont parallèles. \end{itemize} Le théorème de Thalès permet d'écrire : $$\frac{EA}{EG}=\frac{EB}{EF}=\frac{AB}{FG}\mbox{ ou }\frac75=\frac{EB}4=\frac{AB}3$$ \begin{multicols}{2} On utilise $$\Eqalign{ \frac{EB}4&=\frac75\cr EB&=\frac{7\times4}{5}\cr EB&=5,6\,cm\cr }$$ \par On utilise $$\Eqalign{ \frac{AB}3&=\frac75\cr AB&=\frac{7\times3}{5}\cr AB&=4,2\,cm\cr }$$ \end{multicols} \item $$\includegraphics{\jobname.1}$$ \item Dans le triangle $ADB$, rectangle en $B$, on a $$\Eqalign{ \cos\widehat{DAB}&=\frac{AB}{AD}\cr \cos30&=\frac{4,2}{AD}\cr AD&=\frac{4,2}{\cos30}\cr }$$ Dans le triangle $ADB$, on a $$\Eqalign{ \widehat{ADB}+\widehat{DBA}+\widehat{BAD}&=180\cr \widehat{ADB}+90+30&=180\cr \widehat{ADB}+120&=180\cr \widehat{ADB}&=180-120\cr \widehat{ADB}&=60\cr }$$ Dans le triangle $ADB$ rectangle en $D$, on a : $$\Eqalign{ \cos\widehat{ADB}&=\frac{DB}{DA}\cr \cos60&=\frac{DB}{\frac{4,2}{\cos30}}\cr DB&=\frac{4,2}{\cos30}\times\cos60\cr DB&\approx2,4\,cm\cr }$$ \item $$\Eqalign{ {\cal A}_{AED}&=\frac{AD\times AB}2\cr {\cal A}_{AED}&\approx\frac{(5,6+2,4)\times4,2}2\cr {\cal A}_{AED}&\approx\frac{8\times4,2}2\cr {\cal A}_{AED}&\approx17\,cm^2\cr }$$ \end{enumerate} \end{document}