\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} %\usepackage{pstricks} \usepackage[dvips]{epsfig} \usepackage{psfig} \usepackage{graphicx} %\usepackage[babel]{csquotes} \usepackage{multirow} \usepackage{pst-eucl} \lhead{\textit{Mathématiques}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} %----------------------------- début du document --------------------------------------------% \begin{document} \begin{center} {\LARGE \textbf{4\ieme\ - Activité : Pythagore, application et réciproque}}\\ %\small{\textit{la calculatrice est interdite}} \end{center} \vskip 0.5cm \noindent {\Large \textbf{Première activité : application de théorème de Pythagore}}\\ \noindent On donne les résultats suivants en rappelant que $a^2$ signifie $a\times a$ : \begin{center} \begin{tabular}{cc} $ \begin{array}{|*{11}{c|}} \hline a & 1 & 2 & 3 & 4 & {\bf 5} & 6 & 7 & 8 & {\bf 9} & {\bf 10} \\ \hline a^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & {\bf 25} & 36 & 49 & 64 & {\bf 81} & {\bf 100} \\ \hline \end{array} $ & $ \begin{array}{|*{11}{c|}} \hline a & 11 & 12 & {\bf 13} & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline a^2 & 121 & 144 & {\bf 169} & 196 & 225 & 256 & 289 & 324 & 361 & 400 \\ \hline \end{array} $ \\ \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate}[1.] \item Dans chacun des cas suivants, calculer la longueur inconnue :\\ \begin{center} \begin{tabular}{ccc} \begin{tabular}{lc} {\bf 1.} $ \left\{ \begin{array}{l} AC=3 \\ AB=4 \\ BC=x\\ \end{array} \right. $ & \psset{unit=0.75} \pspicture(0,+1.2)(2,3.2) %\psgrid \pstTriangle[PointSymbol=none](0,0){A}(2,0){C}(0,3){B} \pstRightAngle{C}{A}{B} \put(1.2,1.6){$x$} \endpspicture \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{lc} {\bf 2.} $ \left\{ \begin{array}{l} AC=6 \\ AB=8 \\ BC=x\\ \end{array} \right. $ & \psset{unit=0.75} \pspicture(0,+1.2)(2,3.2) %\psgrid \pstTriangle[PointSymbol=none](0,0){A}(2,0){C}(0,3){B} \pstRightAngle{C}{A}{B} \put(1.2,1.6){$x$} \endpspicture \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{lc} {\bf 3.} $ \left\{ \begin{array}{l} AC=4,8 \\ AB=1,4 \\ BC=x\\ \end{array} \right. $ & \psset{unit=0.75} \pspicture(0,1.2)(2,3.2) %\psgrid \pstTriangle[PointSymbol=none](0,1){A}(3.2,1){C}(0,2.5){B} \pstRightAngle{C}{A}{B} \put(1.4,2.1){$x$} \endpspicture \\ \end{tabular} \\ \end{tabular} \end{center} \vskip 1.5cm \begin{center} \begin{tabular}{ccc} \begin{tabular}{lc} {\bf 4.} $ \left\{ \begin{array}{l} AC=12 \\ AB=5 \\ BC=x\\ \end{array} \right. $ & \psset{unit=0.75} \pspicture(0,1.2)(2,3.2) %\psgrid \pstTriangle[PointSymbol=none](0,1){A}(3.2,1){C}(0,2.5){B} \pstRightAngle{C}{A}{B} \put(1.4,2.1){$x$} \endpspicture \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{lc} ~~~~~~{\bf 5.} $ \left\{ \begin{array}{l} AC=x \\ AB=40 \\ BC=41\\ \end{array} \right. $ & \psset{unit=0.75} \pspicture(0,+1.2)(2,3.2) %\psgrid \pstTriangle[PointSymbol=none](0,0){A}(2,0){C}(0,3){B} \pstRightAngle{C}{A}{B} \put(0.95,-0.4){$x$} \endpspicture \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{lc} {\bf 6.} $ \left\{ \begin{array}{l} AC=1 \\ AB=2 \\ BC=x\\ \end{array} \right. $ & \psset{unit=0.75} \pspicture(0,+1.2)(2,3.2) %\psgrid \pstTriangle[PointSymbol=none](0,0){A}(2,0){C}(0,3){B} \pstRightAngle{C}{A}{B} \put(1.2,1.6){$x$} \endpspicture \\ \end{tabular} \\ \end{tabular} \end{center} \vskip 1cm \item \'Enoncer une méthode pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres côtés dans chacun des cas suivants : \begin{enumerate}[(a)] \item \og on connaît la longueur des deux côtés de l'angle droit \fg ; \item \og on connaît la longueur d'un côté de l'angle droit et la longueur de l'hypoténuse \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \vskip 0.5cm \noindent {\Large \textbf{Deuxième activité : réciproque du théorème de Pythagore}}\\ \noindent {\bf Partie I} \begin{enumerate}[1.] \item Construire deux triangles quelconques dont les longueurs des côtés sont les mêmes. \item Mesurer les angles de ces deux triangles. \item Que peut-on dire des angles de ces triangles ? \end{enumerate} \vskip 0.5cm \noindent {\bf Partie II} \begin{multicols}{2} \noindent On considère un triangle comme ci-contre. \begin{enumerate}[1.] \item Vérifier à l'aide de la calculatrice que l'on a : $$ 7,5^2+10^2 = 12,5^2$$ \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? \'Enoncer une \textit{conjecture} qui ressort de cette étude. \end{enumerate} \columnbreak \begin{center} \psset{unit=0.5} \pspicture(-1,-1)(6,8) % \psgrid \rput{15}{\pstTriangle[PointSymbol=none](0,0){B}(7.5,0){A}(0,10){C}} \put(-3,5){10} \put(4,0.3){7,5} \put(3,5.3){12,5} \endpspicture \end{center} \end{multicols} \newpage %\vskip 0.5cm \noindent {\bf Partie III : justifions cette conjecture}\\ \begin{enumerate}[1.] \item Construire un triangle $MNP$ rectangle en $N$ avec $NP=10$~cm et $MN=7,5$~cm. \item Calculer la longueur du segment $[MP]$ à l'aide du théorème de Pythagore. \item Conclure quant à la nature du triangle $ABC$ de la partie II. \item \'Enoncer la propriété que nous venons de justifier. \end{enumerate} \vskip 0.5cm \noindent {\Large \textbf{Troisième activité : démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle}}\\ \noindent On donne un triangle $ABC$ avec : $AB=3$ ; $AC=4$ et $BC=4,99$.\\ \noindent Connaissant la propriété de Pythagore, comment peut-on démontrer que le triangle $ABC$ n'est pas un triangle rectangle ? \vskip 0.5cm \noindent {\Large \textbf{Quatrième activité : triangle rectangle et cercle circonscrit}}\\ \noindent On s'intéresse au cercle circonscrit à un triangle rectangle. On rappelle les définitions suivantes : \begin{multicols}{2} \begin{definition} On appelle médiatrice d'un segment l'axe de symétrie de ce segment. En particulier, la médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite $(d)$ perpendiculaire à la droite $(AB)$ et qui passe par le milieu $I$ de $[AB]$. \end{definition} \begin{center} \psset{unit=0.75} \pspicture(3.5,3.4) % \psgrid \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0}](0,0){A}(4,2){B} \pstLineAB{A}{B} \psset{PointSymbolB=none,PointNameB=none} \pstMediatorAB[PosAngle=-90,PointSymbol=+,nodesepA=-2,nodesepB=-1,CodeFig=true,CodeFigColor=black]{A}{B}{I}{M} \put(1.2,3){$(d)$} \endpspicture \end{center} \begin{definition} On appelle cercle circonscrit à un triangle $ABC$ le cercle passant par les trois sommets $A$, $B$ et $C$ du triangle $ABC$. Le centre $O$ du cercle circonscrit à un triangle est le point à l'intersection des trois médiatrices des côtés du triangle. \end{definition} \begin{center} \psset{unit=0.75} \pspicture(3.5,3.8) % \psgrid \pstTriangle[PointSymbol=none](0,0){A}(5,1){B}(1,3.5){C} \pstCircleABC[CodeFig=true,linecolor=black,CodeFigColor=black]{A}{B}{C}{O} \endpspicture \end{center} \end{multicols} \vskip 2cm \noindent \textbf{Questions.} \begin{enumerate}[1.] \item Construire un triangle $ABC$ rectangle en $B$. \item Construire le point $D$ tel que $ABCD$ soit un rectangle. \item Tracer les deux axes de symétrie $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$ du rectangle $ABCD$. \item Que peut-on dire sur le point d'intersection des axes $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$ ? \item En déduire une particularité que possède le cercle circonscrit à un triangle rectangle ? \end{enumerate} \end{document}