\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \setlength{\parindent}{0mm} \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{4\ieme 1}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \begin{document} \centerline{\LARGE Triangle rectangle : propriété réciproque de Pythagore} \vskip 1.5cm Le théorème de Pythagore admet une propriété réciproque.\\ \begin{center} \shadowbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} \textbf{\'Enoncé de la propriété :} dans un triangle, si la longueur du plus grand côté au carré est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et son hypoténuse est le côté le plus grand.\\ \textbf{Autrement dit : } si $ABC$ est un triangle, si $[BC]$ est le côté le plus grand de $ABC$ et si $BC^2=BA^2+AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. \end{minipage} } \end{center} Voici comment appliquer cette propriété pour démontrer qu'un triangle est rectangle.\\ \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \pspicture(8,4.2) \pstGeonode[PointSymbol=x,PosAngle={-135,-45}](0,0){B}(8,0){C} \pstMiddleAB[PointSymbol=none,PointName=none]{B}{C}{I} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=90]{I}{C}{A}{80} \pspolygon(A)(B)(C) \put(7,2){$3$~cm} \put(2.8,2.25){$4$~cm} \put(4,-0.5){$5$~cm} \endpspicture \end{center} \textbf{Exemple.}\\ \begin{center} \shadowbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \textbf{Côté le plus grand :} $[BC]$.\\ Calcul : $BC^2=5^2=25$.\\ \columnbreak \textbf{Côtés de l'angle droit :} $[AB]$ et $[AC]$.\\ Calcul : $AB^2+AC^2=4^2+3^2=16+9=25$.\\ \end{multicols} Donc, $BC^2=BA^2+AC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. \end{minipage} } \end{center} \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, démontrer en utilisant l'exemple ci-dessus que le triangle donné est rectangle en précisant le sommet de l'angle droit.\\ \textit{Toutes les longueurs sont exprimées en } cm. \textit{Il n'est pas demandé de faire une figure en vraies grandeurs, mais il est conseillé de faire un schéma.} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item $ABC$ avec $AB=10$ ; $AC=6$ et $BC=8$. \item $DEF$ avec $DE=17$ ; $DF=15$ et $EF=8$. \item $TRI$ avec $TR=80$ ; $TI=82$ et $RI=18$. \item $ANP$ avec $AN=96$ ; $AP=247$ et $NP=265$. \item $TGV$ avec $TG=505$ ; $TV=217$ et $GV=456$. \item $STU$ avec $ST=424$ ; $SU=224$ et $TU=360$. \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \newpage À l'aide du théorème de Pythagore, si on connaît les trois longueurs d'un triangle, on peut démontrer que ce triangle n'est pas rectangle.\\ \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \pspicture(8,4.2) \rput{5}{ \pstGeonode[PointSymbol=x,PosAngle={-135,-45,90}](0,0){B}(8,0){C}(6,3){A} \pspolygon(A)(B)(C) \put(7,2){$3$~cm} \put(2.4,2.25){$3,8$~cm} \put(4,-0.5){$5$~cm} } \endpspicture \end{center} \vskip 1.5cm \textbf{Exemple.} On considère le triangle $ABC$ avec $BC=5$, $BA=3$ et $CA=3,8$. Démontrons que $ABC$ n'est pas rectangle. \begin{center} \shadowbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \textbf{Côté le plus grand :} $[BC]$.\\ Calcul : $BC^2=5^2=25$.\\ \columnbreak \textbf{Côtés de l'angle droit :} $[AB]$ et $[AC]$.\\ Calcul : $AB^2+AC^2=3,8^2+3^2=14,44+9=23,44$.\\ \end{multicols} Comme $25\neq 23,44$ on en déduit que $BC^2\neq BA^2+AC^2$.\\ Si $ABC$ était rectangle alors on aurait $BC^2=BA^2+AC^2$. Or $BC^2\neq BA^2+AC^2$, donc $ABC$ n'est pas rectangle. \end{minipage} } \end{center} \vskip 2.5cm \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, démontrer en utilisant l'exemple ci-dessus que le triangle donné n'est rectangle.\\ \textit{Toutes les longueurs sont exprimées en } cm. \textit{Il n'est pas demandé de faire une figure en vraies grandeurs, mais il est conseillé de faire un schéma.} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item $SKP$ avec $SK=761$ ; $SP=40$ et $KP=760$. \item $TAZ$ avec $TA=17$ ; $TZ=18$ et $AZ=8$. \item $TGI$ avec $TG=80$ ; $TI=82$ et $GI=15$. \item $PRE$ avec $PR=100$ ; $PE=250$ et $RE=150$. \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \vskip 2.5cm \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, justifier si le triangle est ou non rectangle. Si le triangle est rectangle, préciser le sommet de l'angle droit. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item $SKI$ avec $SK=125$ ; $SI=325$ et $KI=300$. \item $ZOR$ avec $ZO=26$ ; $ZR=10$ et $OR=25$. \item $RGP$ avec $RG=19$ ; $RP=20$ et $GP=29$. \item $TVX$ avec $TV=29$ ; $TX=21$ et $VX=20$. \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \end{document}