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Source de 1sc_bary.tex

Fichier TeX
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[]{persopc}
\geometry{ hmargin=2cm , vmargin=1cm}
%\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\titre{Barycentre dans le plan}{$1$\up{ere}S}
\fcours{Géométrie du plan}

\section{Rappels}
\subsection{Vecteurs et géométrie élémentaire}
\subsubsection{Colinéarité de deux vecteurs}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{definition}
Dire que deux vecteurs non nuls $\vect{u}=\Vect{AB}$ et 
$\vect{v}=\Vect{CD}$ sont {\bf colinéaires} signifie qu'ils ont la 
même direction. Cela signifie que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont 
parallèles (donc éventuellement confondues).\\
Par convention le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur $\vect{u}$.
\end{definition}
                }
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} 
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.7} \end{center}}\\
\begin{theoreme}
	Dire que deux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires 
	équivaut à dire "Il existe un réel $k$ tel que 
	$\vect{u}=k\vect{v}$ ou il existe un réel $k'$ tel que 
	$\vect{v}=k'\vect{u}$
\end{theoreme}
\begin{theoreme} Parallélisme et alignement
\begin{itemize}
	\item  Dire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont {\bf parallèles} 
	équivaut à dire qu'il existe un réel $k$ non nul tel que 
	$\Vect{CD}=k\Vect{AB}$
		
	\item  $A$ et $B$ sont deux points distintcs. Dire que les points 
	$A,B,M$ sont alignés  équivaut à 
	dire qu'il existe un réel $k$ tel que $\Vect{AM}=k\Vect{AB}$. 
	($k=\frac{AM}{AB}$ si $M \in [AB)$ et $k=-\frac{AM}{AB}$ sinon)
\end{itemize}
Ainsi la droite $(AB)$ est l'ensemble de tous les points $M$ tels 
que $\Vect{AM}$ et $\Vect{AB}$ sont colinéaires donc~:\\
$M \in (AB)$ équivaut à "Il existe un réel $k$ tel que 
$\Vect{AM}=k\Vect{AB}$".
\end{theoreme}
\subsubsection{Vecteurs et droites}
\begin{definition}
	Un vecteur directeur d'un droite $d$ est un vecteur non nul dont la 
	direction est celle de $d$.
\end{definition}
\noindent Remarques~:
\begin{enumerate}
	\item  Si $A$ et $B$ sont deux points distincts et quelconques de $d$ 
	alors $\Vect{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.

	\item  Si $\vect{u}$ est un vecteur directeur de $d$ alors 
	$k\vect{u}$, avec $k$ réel non nul, est aussi un vecteur directeur 
	de $d$.

	\item  Deux vecteurs directeurs d'une droite $d$ sont colinéaires.
\end{enumerate}
\subsection{Vecteurs et géométrie analytique}
Dans cette section, un repère (cartésien) \rep du plan est fixé.
\subsubsection{Lien entre coordonnées d'un point et vecteur}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{definition}
Dire que le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère \rep 
 équivaut à dire que $\Vect{OM}=x\vect{i}+y\vect{j}$. On note 
$M(x;y)$, $x$ est l'abscisse et $y$ l'ordonnée.
\end{definition}
                }
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} 
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.8} \end{center}}\\
\subsubsection{Coordonnées de vecteurs}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{definition}
Dire que le vecteur $\vect{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère \rep 
 équivaut à dire que $\vect{u}=x\vect{i}+y\vect{j}$ ou encore que le 
point $M$ tel que $\Vect{OM}=\vect{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans 
le repère \rep. On note $\vect{u}(x;y)$.
\end{definition}
                }
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} 
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.9} \end{center}}\\
\begin{theoreme} Égalité de deux vecteurs \\
	Dire que les vecteurs $\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont 
	égaux signifie que leurs couples de coordonnées sont égaux~: $x=x'$ 
	et $y=y'$.
\end{theoreme}
\begin{theoreme}
	$\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont deux vecteurs quelconques et $k$ 
	est un réel quelconque.
\begin{itemize}
	\item  Le vecteur $\vect{u}+\vect{v}$ a pour coordonnées $(x+x';y+y')$

	\item  Le vecteur $k\vect{u}$ a pour coordonnées $(kx;ky)$.
\end{itemize}
\end{theoreme}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{theoreme} Coordonnées du vecteur $\Vect{AB}$ \\
	$A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont deux points quelconques.\\
	Le vecteur $\Vect{AB}$ a pour coordonnées $(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$.
\end{theoreme}
                }
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} 
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.10} \end{center}}\\

\subsubsection{Traduction analytique de la colinéarité}
\begin{theoreme}
	Dire que les vecteurs $\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont 
	colinéaires équivaut à dire que $xy'-x'y=0$.
\end{theoreme}
\noindent Conséquences~:
\begin{enumerate}
	\item  Si une droite $d$ a pour équation $y=mx+p$ alors 
	$\vect{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de $d$.

	\item  Si le vecteur $\vect{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de $d$ 
	alors $m$ est le coefficient directeur de $d$.
\end{enumerate}
\subsubsection{Norme d'un vecteur dans un repère orthonormal}
Ici le repère \rep est orthonormal.
\begin{theoreme}
	$\vect{u}(x;y)$ est un vecteur quelconque, alors 
	$\Vert \vect{u} \Vert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.\\
	$A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont deux points 
	quelconques, la distance $AB$ est donnée par $AB=\sqrt 
	{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$
\end{theoreme}
\section{Barycentre de deux points}
\subsection{Approche}
\exo{}
Activité $1$ page $236$ du manuel.
\subsection{Définition}
\begin{definition}
	Un couple du type $(A,\alpha)$, où $A$ est un point et $\alpha$ un 
	réel quelconque, est appelé un point pondéré. On dit aussi que $A$ est 
	affecté du coefficient ou du poids $\alpha$.
\end{definition}

\begin{propriete}
	$A$ et $B$ sont deux points quelconques, $\alpha$ et $\beta$ deux 
	réels tels que $\alpha+\beta \not= 0$.\\
	Il existe un unique point $G$ du plan tel que~:
	$$
	\alpha \myvec{GA} +\beta \myvec{GB}=\vec{0}
	$$
\end{propriete}
\begin{preuve}
\vspace{10em}
\end{preuve}
\begin{definition}
	$(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$ sont deux points pondérés tels que 
	$\alpha +\beta \not= 0$. On appelle {\bf barycentre} de 
	$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ l'unique point $G$ tel que 
	$$
	\alpha \myvec{GA} +\beta \myvec{GB}=\vec{0}
	$$
\end{definition}
\noindent {\bf Remarques}~:\\
\begin{itemize}
	\item  Ainsi, dire que $G$ est le {\bf barycentre} de 
	$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ signifie deux choses~:
	$$
	\alpha +\beta \not= 0 {\textnormal{ et }} \alpha \Vect{GA} +\beta 
	\Vect{GB}=\vect{0}
	$$

	\item  D'après la preuve précédente, le barycentre n'existe pas 
	lorsque $\alpha +\beta \not= 0 $ et $A \not= B$.
\end{itemize}
%========================================================================
\exo{}
\begin{enumerate}
	\item  Démontrez, lorsque $A \not= B$, que le barycentre de 
	$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ est sur la droite $(AB)$. 

	\item  Réciproquement, démontrez que tout point $M$ de la droite 
	$(AB)$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ avec $\alpha$ 
	et $\beta$ convenablement choisis.

	\item  Résumez ce qui a été démontré en une seule phrase.
\end{enumerate}
%========================================================================
\noindent {\bf Remarque}~: Retenez surtout de l'exo précédent, que 
deux points pondérés et leur barycentre sont alignés$\ldots$
\subsection{Homogénéité du barycentre}
\begin{propriete}
	Si $G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$  alors $G$ 
	est aussi le barycentre de $(A,k\alpha)$, $(B,k\beta)$ lorsque $k$ est 
	une constante réelle non nulle. Autrement dit, le barycentre est invariant si 
	on change les coefficients par des coefficients proportionnels.
\end{propriete}	
\begin{preuve}
\vspace{5em}
\end{preuve}
\begin{definition}
	Lorsque les points $A$ et $B$ sont affectés du même coefficient 
	$\alpha$, non nul, le barycentre de $G$ de $(A,\alpha)$, $(B,\alpha)$  
	est appelé {\bf l'isobarycentre} de $A$ et $B$.\\
	Il est donc, d'après ce qui précède, le barycentre de $(A,1), (B,1)$ 
	et c'est le seul point $G$ tel $\Vect{GA}+\Vect{GB}=\vect{0}$.
\end{definition}
%==============================================================================
\exo{}
Prouvez, lorsque $A \not= B$, que l'isobarycentre de $A$ et $B$ n'est pas un point 
quelconque$\ldots$
%==============================================================================

\subsection{Réduction vectorielle}
\begin{theoreme}
	$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$.\\ 
	Alors {\bf pour tout point} {$\mathbf M$}, {$\mathbf \alpha 
	\Vect{MA}+ \beta \Vect{MB}=(\alpha+\beta) \Vect{MG}$} 
\end{theoreme}
\begin{preuve}
\vspace{5em}
\end{preuve}
\section{Barycentre de trois points}
Les définitions et résultats de la section précédente s'étendent sans 
difficulté au cas d'un système de trois points pondérés.
\subsection{Extension des théorèmes et propriétés précédentes}
\begin{theoreme}
	$A$, $B$, $C$ sont trois points et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ trois 
	réels tels que $\alpha+\beta+\gamma \not= 0$.\\
	Il existe un unique point $G$ du plan tel que~:
	$$
	\alpha \Vect{GA} +\beta \Vect{GB}+\gamma \Vect{GC}=\vect{0}
	$$
	Ce point est appelé le {\bf barycentre} des points pondérés $(A,\alpha)$, 
	$(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.
\end{theoreme}

\begin{propriete}
	$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$  alors $G$ 
	est aussi le barycentre de $(A,k\alpha)$, $(B,k\beta)$  et $(C,k\gamma) $$k$ est 
	une constante non nulle. Autrement dit le barycentre est invariant si 
	on change les poids par des poids proportionnels.
\end{propriete}

\begin{definition}
	Lorsque les points $A$, $B$ et $C$ sont affectés du même coefficient 
	$\alpha$, non nul, le barycentre  $G$ de $(A,\alpha)$, $(B,\alpha)$, $(C,\gamma)$ 
	est appelé {\bf l'isobarycentre} de $A$, $B$ et $C$.
\end{definition}
D'après la propriété précédente l'isobarycentre de $A$, $B$ et $C$ 
est aussi l'isobarycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et c'est le seul point 
$G$ tel  $\Vect{GA} + \Vect{GB}+ \Vect{GC}=\vect{0}$. 
%==============================================================================
\exo{}
Prouvez, lorsque $ABC$ est un triangle que l'isobarycentre de 
$A,B,C$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
%==============================================================================

\begin{theoreme} Réduction vectorielle. \\
	$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.\\ 
	Alors {\bf pour tout point} {$\mathbf M$}, {$\mathbf \alpha 
	\Vect{MA}+ \beta \Vect{MB}+\gamma \Vect{MC}=(\alpha+\beta+\gamma) \Vect{MG}$} 
\end{theoreme}
\subsubsection{Règle d'associativité}
\begin{theoreme}
$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.\\
Supposons que $\alpha+\beta \not=0$ et notons $H$ le barycentre de 
$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$.\\
Alors $G$ est le barycentre de $(H, \alpha+\beta)$ , $(C,\gamma)$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
\vspace{10em}
\end{preuve}
\noindent {\bf Remarque}: \\
Cette propriété est quelques fois appelée règle d'associativité, elle 
dit que dans la recherche du barycentre de trois points, on peut 
remplacer certains d'entre eux par leur barycentre $H$ (sous réserve 
d'existence), affecté de la somme non nulle de leurs coefficients.
\section{Barycentre de $n$ points}
\noindent On généralise (les preuves sont identiques), les résultats établis 
pour deux ou trois points.\\[1em]
$A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ sont $n$ points et
	$a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$  $n$ réels tels que 
	$a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}\not= 0$.
	\begin{itemize}
		\item  Il existe un unique point $G$ tel que~:
	$$
	a_{1}\Vect{GA_{1}}+a_{2}\Vect{GA_{2}}+\ldots+a_{n}\Vect{GA_{n}}=\vect{0}.
	$$ 
	Le point $G$ est appelé le barycentre des $n$ points pondérés 
	$(A_{1},a_{1}), (A_{2},a_{2}),\ldots ,(A_{n},a_{n})$.
	
		\item Pour tout point $M$,
         $$
         a_{1}\Vect{MA_{1}}+a_{2}\Vect{MA_{2}}+\ldots +a_{n}\Vect{MA_{n}}=
         (a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n})\Vect{MG}
         $$
	
		\item  Pour tout réel $k$, non nul, les points pondérés  
$(A_{1},a_{1}), (A_{2},a_{2}),\ldots ,(A_{n},a_{n})$, et les points \\
$(A_{1},ka_{1}), (A_{2},ka_{2}),\ldots ,(A_{n},ka_{n})$ ont le même 
barycentre. Autrement dit, on ne change pas la barycentre en changeant 
les coefficients par des coefficients proportionnels.
	
		\item  Dans le cas où $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}\not=0$, $G$ 
est appelé l'isobarycentre des $n$ points $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$.
	
		\item  Règle d'associativité~:\\
		Pour trouver le barycentre $G$, de $n$ points, lorsque $n \geq 3$, on peut 
		remplacer $p$ points, pris parmi les $n$ points, par leur barycentre 
		(s'il existe) affecté de la somme non nulle de leurs coefficients.
	\end{itemize}
\subsection{Coordonnées du barycentre}
\begin{theoreme}
Dans un repère \rep du plan, le barycentre de $n$ points pondérés a 
pour abscisse (resp. ordonnée) la moyenne pondérée, par les 
coefficients des points, des abscisses (resp. ordonnées) de ces 
points. Ainsi~: (avec des notations évidentes)
$$ x_{G}=\frac{a_{1}x_{A_{1}}+a_{2}x_{A_{2}}+\ldots+a_{n}x_{A_{n}}}{a_{1}+a_{2}
+\ldots + a_{n}}$$ 
$$
y_{G}=\frac{a_{1}y_{A_{1}}+a_{2}y_{A_{2}}+\ldots+a_{n}y_{A_{n}}}{a_{1}+a_{2}
+\ldots + a_{n}}  
$$

\end{theoreme}
\end{document}