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Source de cour_010.tex

Fichier TeX
\paragraphe {Un autre exemple corrigé}

On considère l'équation d'inconnue $y$~:
$$
   y' - 2x y = 2x
\leqno
   (E)
$$

La résolution de cette équation passe par 3~étapes~:

\item {$\bullet $} {\sl Résolution de l'équation homogène associée}

\item {} On a
$$
   y' - 2x y = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   y' = 2x y.
\leqno
   (E_0)
$$
Avec les notations du théorème précédent, on a $a (x) = 2x$, dont une
primitive est la fonction $A$ définie par $A (x) = x^2$.
Les solutions de $(E_0)$ sont donc toutes les fonctions $y$ ayant une
écriture du type 
$$
   \tresultat {$y = ke^{\left( x^2 \right) }$ où $k$ constante réelle quelconque}
$$
Cette expression donne la {\sl solution générale de $E_0$}.

\item {$\bullet $} {\sl Recherche d'une solution particulière de $(E)$}

\item {} On remarque que la fonction constante $y$ définie pour tout
$x$ par \dresultat {y (x) = -1} est une solution particulière de $(E)$.
En effet, on a alors $y' (x) = 0$ pour tout $x$, d'où
$$
   y' (x) - 2x y (x) = 0 -2x \times (-1) = 2x
$$
pour tout $x$.
(En général dans les exercices, des indications sont données dans le
texte pour vous permettre de trouver une telle solution particulière.)

\item {$\bullet $} {\sl Conclusion~: solution générale de $(E)$}

\item {} On peut alors conclure~: l'équation $(E)$ admet une infinité de solutions~: toutes les
fonctions $y$ ayant une écriture du type
$$
   \tresultat {$y (x) = -1 + k e^{\left( x^2 \right) }$ où $k$ est une constante
   réelle quelconque}
$$

Si maintenant on impose à la solution de vérifier une condition
initiale donnée, alors on sait qu'il existe une et une seule
solution. Il faudra alors déterminer la seule valeur de la constante
$k$ possible.

Par exemple, si la solution $f$ doit vérifier l'équation $(E)$,
mais aussi la condition $f (0) = 0$, on sera amener à une quatrième
étape~:

\item {$\bullet $} {\sl solution de $(E)$ vérifiant la condition
initiale donnée}

\item {} Comme la fonction $f$ est solution de l'équation
différentielle $(E)$, on sait que $f$ est définie par une expression du
type $f (x) = -1 + k e^{\left( x^2 \right) }$ pour une certaine valeur
de la constante $k$. Sachant que $f (0) = 0$, il vient la relation $0
= -1 + k e^0$, d'où la seule valeur possible pour la constante~:
$k=1$. Finalement la fonction $f$ cherchée est la fonction \mresultat
{f (x) = -1 + e^{(x^2)}}