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Source de equ1_005.tex

Fichier TeX
%% format               (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex)
%% fichiers de macro    basejpv.tex
%% sujet                equation differentielle d'ordre 1
%% date                 12-11-97
%% auteur               jp vignault 

\exo{Coefficients constants --- Trouver le bon polynôme}

Les questions {\bf 2.} et {\bf 3.} sont indépendantes de la question
{\bf 1.}

\itemnum On considère l'équation différentielle
$$
   y' (x) - y (x) = x^2 - x - 1
\leqno
   (E)
$$
dans laquelle $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur
$\rset$, et de fonction dérivée $y'$.

\itemitemalph Déterminer une solution particulière de l'équation $(E)$
sous forme d'un polynôme.

\itemitemalph Déterminer la solution générale de l'équation $(E)$.

\itemitemalph Quelle est la solution de $(E)$ vérifiant la condition
$y (0) = 1$~?

\itemnum Soit $f$, la fonction numérique définie sur $\rset$ par
$$
   f (x) = e^x - x^2 - x.
$$

\itemitemalph Déterminer $f'$ et $f''$, les dérivées premières et
seconde de la fonction $f$. En déduire le tableau de variation de
$f'$. (On précisera les limites de $f'$ en $-\infty$ et en $+\infty$.)

\itemitemalph Déduire de la question précédente que l'équation $f' (x)
= 0$ admet deux solutions dont l'une est inférieure à $\ln 2$ et dont
l'autre, notée $x_0$, est supérieure à $\ln 2$.

\itemitemalph Montrer que $f (x_0) = -x_0^2 + x_0 + 1$.

\itemitemalph Construire, dans un repère orthonormé (unité~: 2~cm ou
2~grands carreaux), la courbe $C$ et la droite $D$ d'équations
respectives
$$
   y = e^x
       \qquad {\rm et} \qquad
   y = 2x + 1.
$$

\itemitemalph Déduire du {\bf 2.}{\sl a\/}) que $C$ et $D$ ont deux
       points communs

\itemitemalph Quelle est la plus petite des solutions de l'équation
$f' (x) = 0~?$

\itemitemalph Montrer qu'une valeur approchée à $0, 01$ prés de
$x_0$ est $\alpha = 1, 25$.

\itemitemalphnum Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$
et en $-\infty$.

\itemitemalph \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\itemitemalph Tracer, sur un second graphique (muni d'un repère
orthonormal de même unité que précédemment)~:

\itemitem{} $\bullet$ la parabole $P$ d'équation $y = -x^2 - x$

\itemitem{} $\bullet$ la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $f$.
(On prendra pour valeur approchée de $f (x_0)$ une valeur approchée de
$f (\alpha)$ à $0, 1$~près).



\finexo