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Source de equ1_022.tex

Fichier TeX
\exo {Méthode de la \og variation de la constante\fg }

Le but de l'exercice est la résolution de l'équation différentielle
$$
   x (x^2 + 1) y' - 2y = x^3 (x-1)^2 e^{-x},
\leqno
   (E)
$$$y$ représente une fonction de la variable réelle $x$, dérivable
sur l'intervalle $]0, +\infty [$ et où $y'$ est la fonction dérivée de
$y$.

\itemitemalphnum Déterminer les trois nombres réels $a$, $b$ et $c$
tels que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0, +\infty [$~:
$$
   {2 \over x (x^2 + 1)} = {a \over x} + {bx + x \over x^2 + 1}.
$$

\itemitemalph En déduire une primitive sur l'intervalle $]0, +\infty
[$ de la fonction 
$$
   x \mapsto {2 \over x (x^2 + 1)}.
$$

\itemnum Résoudre sur l'intervalle $]0, +\infty [$ l'équation
différentielle
$$
   x (x^2 + 1) y' - 2y = 0.
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum On se propose de déterminer une fonction $g$ dérivable sur
l'intervalle $]0, +\infty [$ telle que la fonction $h$ définie par
$$
   h (x) = {x^2 \over x^2+1} g (x)
$$
soit une solution particulière de l'équation $(E)$.

\itemitemalph Montrer que, pour qu'il en soit ainsi, on doit avoir
$$
   g' (x) = (x-1)^2 e^{-x}.
$$

\itemitemalph Déterminer les nombres réels $\alpha $, $\beta $ et
$\gamma $ tels que la fonction $x \mapsto (\alpha x^2 + \beta x +
\gamma )$ soit une primitive sur l'intervalle $]0, +\infty [$ de la
fonction 
$$
   x \mapsto (x-1)^2 e^{-x}.
$$

\itemitemalph En déduire une solution particulière de l'équation $(E)$
puis la solution générale de l'équation $(E)$.



\finexo