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1 <p>Composition d&#8217;un jeu avec <span class="math">\(p+1\)</span> symboles par carte (<span class="math">\(p=7\)</span> pour le cas qui nous int&#233;resse), <span class="math">\(p\)</span> &#233;tant un nombre premier.</p>
2 <p><strong>Ingr&#233;dients</strong> : <span class="math">\(1+p+p^2\)</span> symboles distincts deux &#224; deux, r&#233;partis de la fa&#231;on suivante:</p>
3 <ul>
4 <li><p>1 symbole <span class="math">\(a\)</span>,</p></li>
5 <li><p><span class="math">\(p\)</span> symboles <span class="math">\(b_i\)</span> avec <span class="math">\(0\leqslant i\leqslant p-1\)</span>,</p></li>
6 <li><p><span class="math">\(p^2\)</span> symboles <span class="math">\(c_{i,j}\)</span> avec <span class="math">\(0\leqslant i,j\leqslant p-1\)</span>.</p></li>
7 </ul>
8 <p>Ce qui pr&#233;c&#232;de n&#8217;est qu&#8217;une fa&#231;on de <em>ranger</em> les symboles pour mieux les redistribuer ensuite, ils ne sont pas de natures diff&#233;rentes.</p>
9 <p><strong>Les cartes</strong> : on peut en obtenir jusqu&#8217;&#224; <span class="math">\(1+p+p^2\)</span>, autant qu&#8217;il y a de symboles...</p>
10 <ul>
11 <li><p>1 carte <span class="math">\(A=\{a, b_0, \dots b_{p-1}\}\)</span>,</p></li>
12 <li><p><span class="math">\(p\)</span> cartes <span class="math">\(B_i\)</span> (<span class="math">\(0\leqslant i\leqslant p-1\)</span>) telles que <div class="math">\[B_i=\{a,c_{i,0},\dots,c_{i,p-1}\},\]</div></p></li>
13 <li><p><span class="math">\(p^2\)</span> cartes <span class="math">\(C_{i,j}\)</span> (<span class="math">\(0\leqslant i,j\leqslant p-1\)</span>) telles que: <div class="math">\[C_{i,j}=\{b_i,c_{o,j},c_{1,i+j},c_{2,i+2j},\dots,c_{p-1,(p-1)i+j}\},\]</div> l&#8217;indexation est &#224; consid&#233;rer dans <span class="math">\(\mathbb{Z}_p\)</span>.</p></li>
14 </ul>
15 <p><strong>Questions en suspens</strong> :</p>
16 <ol>
17 <li><p>Si <span class="math">\(p=7\)</span> alors <span class="math">\(p^2+p+1=57\)</span>, pourquoi le jeu se limite-t-il &#224; <span class="math">\(55\)</span> cartes ? (Une explication est avanc&#233;e dans les commentaires sur l&#8217;article <a href="http://images.math.cnrs.fr/spip.php?page=forum&amp;id_article=927">Dobble et la g&#233;om&#233;trie finie</a>.)</p></li>
18 <li><p>Si <span class="math">\(p\)</span> n&#8217;est pas premier (utilis&#233; pour d&#233;montrer que les cartes <span class="math">\(C_{i,j}\)</span> ont un symbole et un seul en commun), le probl&#232;me a-t-il une solution ? Si oui, laquelle ?</p></li>
19 </ol>

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