doc/doc-mp-geo.tex

   1 \documentclass[12pt]{article}
   2 \usepackage[latin1]{inputenc}
   3 \usepackage[T1]{fontenc}
   4 \usepackage[frenchb]{babel}
   5 \usepackage[pdftex,a4paper,margin=1.5cm,nohead]{geometry}
   6 \usepackage{graphicx}
   7 \graphicspath{{figuresdoc/}}
   8
   9 \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
  10
  11 \usepackage{calc,url,subfigure,amsmath}
  12 \usepackage{fourier,mflogo,manfnt,pifont,textcomp}
  13 \input{christ5}
  14 \pagestyle{empty}
  15
  16 \usepackage{tikz}
  17 \usetikzlibrary{shapes}
  18 \usetikzlibrary{topaths}
  19 \newsavebox{\dangerbox}
  20 \newlength{\marge}\setlength{\marge}{7.5mm}
  21
  22 \newenvironment{Danger}{%
  23   \begin{lrbox}{\dangerbox}
  24     \begin{minipage}{\linewidth-\marge}
  25 }
  26 {%
  27 \end{minipage}%
  28   \end{lrbox}
  29 \tikzstyle{mybox} = [draw=blue!20, fill=red!20, very thick,
  30     rectangle, rounded corners, inner sep=10pt]
  31 \par
  32 \begin{tikzpicture}
  33 \node [mybox] (box) {%
  34     \begin{minipage}[t!]{\linewidth-\marge}
  35         \usebox{\dangerbox}
  36     \end{minipage}
  37     };
  38 \end{tikzpicture}
  39 \par
  40 }
  41
  42 \definecolor{LightRed}{rgb}{1,0.8,0.8}
  43
  44 \title{\texttt{mp-geo}}
  45 \author{C.Poulain}
  46 \date{\today}
  47 \begin{document}
  48 \maketitle
  49 \begin{abstract}
  50 \texttt{mp-geo} est un paquet \MP\ permettant de représenter la
  51 Terre. Il est possible de la voir sous n'importe quel angle. La
  52 majorité des éléments présents réellement sont présents sur les
  53 représentations construites. Certaines projections planes sont
  54 également présentes.
  55 \end{abstract}
  56 \begin{figure}[ht]
  57   \centering
  58   \includegraphics[scale=0.8]{pagepresentation.png}
  59   \caption{Vue de l'Asie ($\theta=90$\degres; $\phi=20$\degres).}
  60   \label{Asie}
  61 \end{figure}
  62 \tableofcontents
  63 \newpage
  64 \begin{center}
  65 \begin{Danger}
  66     Avant toutes choses, ce package nécessite de modifier les limites de \MP. {\em A priori}\footnotemark, seule la variable \verb+main_memory_size+ est à changer.\footnotemark
  67 \end{Danger}
  68 \end{center}
  69 \footnotetext[1]{{\em A priori} car en cours d'élaboration, j'ai du
  70   également modifier \verb!buffer\_size! et \verb!path\_size!. J'ai
  71   même réussi à obtenir une erreur \texttt{independent variables : 33
  72     182 318} qui indique que l'on dépasse les limites internes de
  73   \MP.}
  74 \footnotetext[2]{Sous un environnement Debian Etch et Lenny, la démarche est la suivante :
  75     \begin{itemize}
  76     \item Sous \texttt{root}, éditer le fichier \texttt{95NonPath.cnf} se
  77       trouvant dans le répertoire \verb!/etc/texmf/texmf.d/!;
  78     \item rechercher la variable \verb!main\_memory\_size! et la mettre
  79       à \nombre{40000000};
  80     \item enfin toujours sous \texttt{root}, on effectue un
  81       rafraîchissement : \texttt{update-texmf} puis
  82       \texttt{fmtutil-sys --refresh}.
  83     \end{itemize}
  84     On doit être à l'aise avec cette valeur. ;-)
  85 }
  86 En effet, \texttt{mp-geo} est un package gourmand en
  87 ressources. \`A titre d'exemple, la création de l'image \ref{Asie} a duré environ 26 secondes\footnote{Les réponses données
  88   par la commande \texttt{time} sous Linux sont\\
  89   \verb!real    0m26.795s!\\
  90   \verb!user    0m26.590s!\\
  91   \verb!sys     0m0.116s!\\Tous les temps mesurés dans cette
  92   documentation l'ont été sur cette machine.}
  93 sur un AMD64-2800+ équipé de 512 Mo de RAM.
  94 \section{Introduction}
  95 Ce package est encore {\em en développement}. Par comparaison avec le
  96 package PStricks \verb!pst-geo!, \verb!mp-geo! comporte, dans l'état
  97 actuel, beaucoup moins de points de tracés\footnote{Les données
  98   proviennent de la page \url{ftp://ftp.blm.gov/pub/gis/wdbprg.zip}
  99   dont l'utilisation n'est pas simple. En effet, les programmes
 100   disponibles dans cette archive ne fonctionnent que sous DOS ! Eh
 101   oui, vous avez bien lu. Cependant, heureux utilisateur de Linux,
 102   \verb!dosbox! est venu à mon secours pour obtenir toutes ces
 103   précieuses données.}
 104 (surtout pour les lacs et rivières), certaines projections ne sont pas
 105 présentes, la présence des villes n'est pas implantée (seule la
 106 présence des capitales est disponible),\ldots
 107 \par Cependant, il peut apporter des satisfactions à l'utilisateur de
 108 \MP\ qui, à ma connaissance, ne dispose pas d'un tel package.
 109 \\Mais, à terme, il est vrai qu'il faudrait réussir (et avoir le temps
 110 surtout) à implémenter certaines particularités de \verb!pst-geo!. Et en
 111 parlant de ce package, je tiens à remercier Manuel {\sc Luque} pour l'aide
 112 et les encouragements qu'il a pu m'apporter durant l'élaboration de
 113 \texttt{mp-geo}.
 114 \begin{figure}[ht]
 115   \centering
 116   \includegraphics[scale=0.7]{grandslacs.png}
 117   \caption{Les grands lacs d'Amérique du Nord ($\theta=-105$\degres;
 118     $\phi=45$\degres)}
 119 \end{figure}
 120 \section{Fonctionnement}
 121 \subsection{Généralités et options}
 122 Ce package est {\em indépendant}, bien qu'il reprenne bon nombre d'éléments
 123 de \verb!geometriesyr16.mp!\footnote{Un autre de mes packages \MP\
 124   personnels, dédié, quant à lui, à la géométrie.} et plus
 125 particulièrement du package dédié à la géométrie spatiale
 126 \verb!donymodule.mp!. L'observateur est alors représenté par deux
 127 angles (en degrés) :
 128 \begin{itemize}
 129 \item un angle $\theta$ qui représente la longitude de l'observateur;
 130 \item un angle $\phi$ qui représente la latitude de l'observateur.
 131 \end{itemize}
 132 \par Les données initiales étaient dans un seul fichier. Elles ont été
 133 fragmentées en fichiers individuels \verb!.dat! afin de pouvoir
 134 les retrouver facilement et d'y avoir un accès plus facile. On dispose
 135 ainsi d'un fichier par pays ainsi que d'un fichier par continent (cela donne
 136 une meilleure visibilité au code source du package).
 137 \\On dispose d'un seul fichier pour toutes les îles\footnote{Ceci pose
 138   un problème d'accès direct à des pays comme Cuba ou l'Australie. Un
 139   autre souci à régler\ldots}. Enfin les lacs sont regroupés dans un
 140 seul fichier ainsi que pour les fleuves et rivières et les
 141 volcans\footnote{Ce sont les 813 volcans qui ont eu une éruption ces
 142   10\,000 dernières années.}.
 143 \\\`A noter que les lacs, les fleuves, les capitales et les volcans
 144 sont {\em optionnels}; leur affichage est fait par défaut sauf pour
 145 les capitales et volcans; mais l'utilisateur peut en décider
 146 autrement en changeant les paramètres \verb!lacs!, \verb!fleuves!,
 147 \verb!capitales! et \verb!volcans! à \verb!false!. Ceci peut être non
 148 négligeable lors de la mesure du temps de compilation. Par exemple, le temps de
 149 compilation de la figure \ding{172} a été de 37~s alors que pour la
 150 figure \ding{173}, la compilation a duré 27~s.
 151 \begin{figure}[ht]
 152   \centering
 153   \subfigure[Figure
 154   \ding{172}]{\includegraphics[scale=0.7]{payscomplets.png}}\hfill\subfigure[Figure \ding{173}]{\includegraphics[scale=0.7]{paysnus.png}}
 155 \end{figure}
 156 Une autre option est celle de colorer uniformément ou pas les
 157 pays. Par défaut, cette option \verb!noncolore! est positionnée à
 158 \verb!false!\footnote{Le théorème des quatre couleurs n'est pas
 159   implanté.}. Si l'on modifie sa valeur, on obtient une image telle
 160 que la figure \ref{unicolore}.
 161 \begin{figure}[ht]
 162   \centering
 163   \includegraphics[scale=0.7]{mondenoncolore.png}
 164   \caption{Coloration uniforme ($\theta=105$\degres; $\phi=30$\degres).}
 165   \label{unicolore}
 166 \end{figure}
 167 \par Enfin, on dispose de l'option \verb!maillage! (positionnée par défaut à
 168 \verb!false!) qui permet l'affichage des méridiens et parallèles
 169 (Figure \ref{meridien}). En latitude, le pas est de 10\degres\ alors
 170 qu'en longitude, il est de 5\degres.
 171 \begin{figure}[ht]
 172   \centering
 173   \includegraphics[scale=0.7]{oceaniemeridien.png}
 174   \caption{Méridiens et parallèles ($\theta=120$\degres; $\phi=-20$\degres).}
 175   \label{meridien}
 176 \end{figure}
 177 \par Les données ont conservé leur présentation d'origine : elles
 178 sont sous la forme de points repérés en coordonnées sphériques par la
 179 latitude et la longitude; l'unité choisie étant la minute pour
 180 davantage de précision.\\Tous les fichiers sont regroupés dans un
 181 sous-répertoire \verb!data!. Par défaut, \verb!arborescence! (qui est
 182 un type \verb!string! de \MP) est réglé sur ce dossier\footnote{Pour
 183   un changement, ne pas oublier le \verb!/! au bout du chemin :\\
 184 \verb!
 185 arborescence:="../data/";
 186 !
 187 }.
 188 \subsection{Méthodes pour la représentation spatiale}
 189 Pour la représentation, le principe général est le suivant :
 190 \begin{itemize}
 191   \item on lit les fichiers un à un;
 192   \item pour chaque point lu, on teste s'il s'agit d'un point visible
 193     ou pas. S'il est visible, on l'affiche sinon on passe au suivant.
 194 \end{itemize}
 195 Le nombre de points étant assez conséquent, il faut impérativement le
 196 réduire. Pour cela, en fonction de la position de l'observateur, on
 197 détermine les latitudes minimale et maximale que l'observateur peut
 198 voir.
 199 \begin{figure}[ht]
 200   \centering
 201   \includegraphics{latminmax-1.pdf}
 202   \caption{Détermination des latitudes minimales et maximales de vision.}
 203 \end{figure}
 204 \par On a alors un premier test : {\em si la l'attitude du point lu est
 205   comprise entre les valeurs \ding{172} et \ding{173} alors on
 206   continue; sinon on passe au suivant.}
 207 \\Le deuxième test est, quant à lui, sur la visibilité (ou
 208 l'invisibilité) du point. Pour ce faire, on teste le produit scalaire
 209 des vecteurs $\vecteur{HP}$ et $\vecteur{HA}$ ($A$ étant la position
 210 de l'observateur). {\em S'il est positif alors le point est vu, s'il est
 211 négatif alors le point est invisible.}
 212 \begin{figure}[ht]
 213   \centering
 214   \includegraphics{vuoupasvu-1.pdf}
 215   \caption{Vu ou pas vu ?}
 216 \end{figure}
 217 \par La suite fût plus laborieuse : le remplissage des différents pays. Une
 218 première idée :
 219 \begin{itemize}
 220 \item tester chaque point des frontières;
 221 \item si le point est vu, on le garde sinon on passe au suivant.
 222 \end{itemize}
 223 Je peux vous dire que certains pays deviennent alors très anguleux !
 224 \par La deuxième idée, qui est celle retenue, n'est pas très
 225 orthodoxe, je dois bien le dire ! Mais elle fonctionne :)
 226 \begin{itemize}
 227 \item tester chaque point des frontières;
 228 \item si le point est vu, on le garde sinon on le remplace par {\em un
 229   point dont les coordonnées cartésiennes sont les doubles de celle du
 230   point étudié.}
 231 \end{itemize}
 232 Pourquoi ? Afin de faire sortir tous les points invisibles du cercle
 233 de vision. Ainsi, après le remplissage, on {\em clippe} le tout dans
 234 le cercle de vision. Et le tour est joué !
 235 \begin{figure}[ht]
 236   \centering
 237   \includegraphics[scale=0.3]{exemplemanuel-1.pdf}
 238   \caption{Méthode pour remplir correctement les pays.}
 239 \end{figure}
 240 \subsection{Dernières remarques}
 241 \begin{center}
 242 \begin{Danger}
 243   Cette section n'est valable que pour la représentation spatiale.
 244 \end{Danger}
 245 \end{center}
 246 On peut régler la distance au centre de la sphère et la
 247 distance à l'écran en modifiant les valeurs de la macro
 248 \verb!Initialisation!. Cependant, je crois que les valeurs par défaut
 249 (respectivement égales à 5 et 750) sont correctes pour obtenir des
 250 images satisfaisantes. Ce n'est qu'une opinion personnelle :) Une
 251 explication un peu plus persuasive : \MP\ n'est pas le meilleur
 252 lorsqu'il s'agit de faire des calculs; en changeant ces valeurs, le
 253 résultat peut alors devenir très déroutant\ldots
 254 \\On peut également régler le rayon de la sphère terrestre en
 255 changeant le paramètre \verb!rayon! qui doit rester inférieur à la
 256 distance au centre de la sphère.
 257 \par Voici pour finir une dernière image et son code source :
 258 \begin{verbatim}
 259 input mp-geo;
 260
 261 fleuves:=false;
 262 lacs:=false;
 263 capitales:=false;
 264 Mappemonde(0,-90);
 265
 266 end
 267 \end{verbatim}
 268 \begin{figure}[ht]
 269   \centering
 270   \includegraphics[scale=0.7]{polesud}
 271   \caption{L'immensité du pôle sud ($\theta=0$; $\phi=90$\degres).}
 272 \end{figure}
 273 Ooops ! une petite dernière\ldots\footnote{Ne cherchez pas après les
 274   fonctionnalités pour la transparence, elles ne sont pas implémentées
 275   dans le package; elles ne sont valables que dans des cas
 276   particuliers\ldots}
 277 \begin{figure}[ht]
 278   \centering
 279   \includegraphics{globetransparent.png}
 280   \caption{Un peu de transparence.}
 281 \end{figure}
 282 \section{Projections planes}
 283 Ces projections permettent de représenter la Terre sur une surface
 284 plane. Quelques projections sont mises en places afin d'avoir la
 285 possibilité de produire des cartes.
 286 \par En plus des options \verb!lacs!, \verb!fleuves!, \verb!capitales!,
 287 \verb!noncolore! et \verb!maillage!, on dispose de l'option
 288 \verb!projection!\footnote{Qui est un type \verb!string! de \MP} qui
 289 peut prendre les valeurs \verb!mercator!, \verb!coniqueh!,
 290 \verb!coniqueb!, \verb!cylindrique!, \verb!simple!\footnote{Si un point de la sphère terrestre est représentée
 291   par ses coordonnées géographiques $(\phi;\lambda)$ en degrés alors les
 292   formules de projection sont
 293 \[\left\{\begin{array}{l}
 294 x=\lambda-\lambda_0\\
 295 y=\phi-\phi_0\\
 296 \end{array}
 297 \right.\]
 298 où $(\phi_0;\lambda_0)$ sont les coordonnées géographiques du centre
 299 de la future projection.} et \verb!bonne! (la valeur par défaut
 300 étant \verb!non!). La syntaxe utilisée sera donc
 301 \begin{verbatim}
 302 projection:="mercator"
 303 \end{verbatim}
 304 Cependant, cette option est automatiquement modifiée par l'appel de la
 305 macro traçant la projection plane. Il ne faudra pas oublier de la
 306 repositionner à \verb!non! si l'on veut faire plusieurs figures
 307 différentes au sein d'un même fichier \MP, par exemple une mappemonde
 308 et une projection plane.
 309 \subsection{Projection Mercator}
 310 Plutôt qu'un long discours, voici
 311 le code\footnote{On a repris la syntaxe de \verb!geometriesyr16!;
 312   \verb!figure! créant un cadre enfermant la figure obtenue.}
 313 permettant d'appeller une représentation plane selon la projection
 314 Mercator\footnote{Si un point de la sphère terrestre est représentée
 315   par ses coordonnées géographiques $(\phi;\lambda)$ en degrés alors les
 316   formules de projection sont
 317 \[\left\{\begin{array}{l}
 318 x=\lambda-\lambda_0\\
 319 \\
 320 y=\ln\left(\tan\left(45+\dfrac\phi2\right)\right)-\ln\left(\tan\left(45+\dfrac{\phi_0}2\right)\right)\\
 321 \end{array}
 322 \right.\]
 323 où $(\phi_0;\lambda_0)$ sont les coordonnées géographiques du centre
 324 de la future projection.}
 325  centrée sur le point de coordonnées
 326 (3\degres;48\degres)\footnote{On reconnaît les coordonnées sphériques
 327   de notre belle capitale Paris.} avec un zoom égal à 30 (le temps de
 328 compilation est de 27 secondes\footnote{Il faudrait implémenter une
 329   option permettant de choisir tel ou tel continent\ldots}).
 330 \begin{verbatim}
 331 input mp-geo;
 332
 333 figure(-10u,-10u,10u,10u);
 334 Mercator(3,48,30);
 335 fin;
 336
 337 end
 338 \end{verbatim}
 339 \begin{figure}[h]
 340   \centering
 341   \includegraphics{Mercator.png}
 342   \caption{Carte de France selon une projection Mercator.}
 343 \end{figure}
 344 Une possibilité est offerte d'afficher certaines villes {\em
 345   françaises}\footnote{En espérant pouvoir le faire pour un maximum de
 346   pays et que ce soit disponible également pour la représentation
 347   spatiale.} en ajoutant
 348 \begin{verbatim}
 349 Lecturevillesp("France");
 350 \end{verbatim}
 351 \subsection{Projection cylindrique}
 352 Avec le code
 353 \begin{verbatim}
 354 input mp-geo;
 355
 356 maillage:=true;
 357
 358 figure(-10u,-10u,10u,10u);
 359 Cylindrique(3,48,15);
 360 Lecturevillesp("France");
 361 fin;
 362
 363 end
 364 \end{verbatim}
 365 on obtient la carte en projection cylindrique\footnote{Pour un point
 366   de la sphère terrestre de coordonnées $(\phi;\lambda)$, les formules
 367   de projection sont
 368   \[\left\{\begin{array}{l}
 369       x=\lambda-\lambda_0\\
 370       \\
 371       y=\sin\phi-\sin\phi_0\\
 372     \end{array}
 373   \right.
 374   \] où $(\phi_0;\lambda_0)$ sont les coordonnées géographiques du centre
 375 de la future projection.}.
 376 \begin{figure}[ht]
 377   \centering
 378   \includegraphics{Cylindrique.png}
 379   \caption{Carte de France selon la projection cylindrique.}
 380 \end{figure}
 381 \subsection{Projection de Bonne}
 382 Cette projection\footnote{Pour un point de la sphère terrestre de
 383   coordonnées $(\phi;\lambda)$, les formules de projection sont
 384   \[\left\{\begin{array}{l}
 385       x=\rho\sin E\\
 386       \\
 387       y=\textrm{cotan}\phi_0-\rho\cos E\\
 388     \end{array}
 389   \right.
 390   \]
 391   avec $\rho=\textrm{cotan}\phi_0+\phi_0-\phi$ et
 392   $E=(\lambda-\lambda_0)*cos(\phi)/\rho$ où $(\phi_0;\lambda_0)$ sont
 393   les coordonnées du centre de la future projection. Attention, dans
 394   ces formules, tous les angles doivent être en radians} est
 395 particulière, elle est en forme de \og coeur\fg. Ce qui donne
 396 \begin{figure}[ht]
 397   \centering
 398   \includegraphics{Bonne.png}
 399   \caption{Projection de Bonne}
 400 \end{figure}
 401 avec le code source (pour 28 secondes de compilation)
 402 \begin{verbatim}
 403 input mp-geo;
 404
 405 maillage:=true;
 406 capitales:=false;
 407
 408 figure(-10u,-15u,10u,10u);
 409 Bonne(0,40,1);
 410 fin;
 411
 412 end
 413 \end{verbatim}
 414 dans lequel \verb!0,40! représentent $(\lambda_0;\phi_0)$, 1 étant le
 415 facteur de zoom.
 416 \subsection{Nouvelle méthode}
 417 Avec le développement de ces projections, on s'aperçoit qu'elles ont
 418 toutes le même fonctionnement en commun. Aussi, depuis la version
 419 \texttt{0.60}, une autre méthode\footnote{Ne vous inquiétez pas :
 420   pour des soucis de compatibilité, les autres moyens de projection
 421   ont été conservés.} a été implantée.
 422 \par En effet, il me semble plus simple de procéder de la manière
 423 suivante :
 424 \begin{verbatim}
 425 input mp-geo;
 426
 427 figure(-10u,-10u,10u,10.5u);
 428 projection:="bonne";
 429 Projection(0,41,50);
 430 Lecturevillesp("France");
 431 fin;
 432
 433 end
 434 \end{verbatim}
 435 Ceci afin d'alléger un peu les commandes à connaître. Un autre
 436 avantage est de choisir simplement le mode de projection choisi.
 437 \par Pour la création des cartes, il fallait, jusqu'à cette version
 438 \texttt{0.60}, parcourir tous les points de la planète pour ne garder
 439 que ceux intéressants.\\Dorénavant, les paramètres \verb!Amnord!,
 440 \verb!Amsud!, \verb!Amcentrale!, \verb!Caraibes!, \verb!Asie!,
 441 \verb!Europe!, \verb!Afrique! et \verb!All! font leurs
 442 apparitions. Par défaut, ils sont tous positionnés à \verb!false! sauf
 443 \verb!All!. Autrement, le comportement par défaut est celui qui prend
 444 le plus de temps !
 445 Aussi, on prendra soin de changer certains de ces positionnements pour
 446 obtenir des temps de compilation moins grands.
 447 \subsection{Cartes et échelles}
 448 Pour pouvoir lire correctement une carte obtenue par
 449 projection\footnote{Uniquement les projections déjà vues, c'est-à-dire
 450   \verb!simple!, \verb!cylindrique!, \verb!mercator! et \verb!bonne!}, il
 451 m'a semblé nécessaire d'y adjoindre une échelle. On ne peut avoir
 452 qu'une échelle moyenne; sinon il faudrait déterminer l'échelle de
 453 chaque parallèle ou méridien.
 454 \par Aussi, la méthode choisie est la suivante :
 455 \begin{itemize}
 456 \item Supposons que la projection soit centrée sur le point
 457   $(\lambda_0;\theta_0)$; on détermine alors la longueur {\em réelle}
 458   de l'arc de parallèle situé entre les points $(\lambda_0;\theta_0)$
 459   et $(\lambda_0;\theta_0+5\mbox{\degres})$;
 460 \item on détermine ensuite cette même longueur mais {\em sur le dessin};
 461 \item on termine par une simple relation de proportionnalité.
 462 \end{itemize}
 463 On utilisera donc la syntaxe \verb!echelle(2,46.5,50)! pour un calcul
 464 d'échelle de 1~cm pour 50~km pour une projection centrée sur le point $(46,5;2)$.
 465 \begin{verbatim}
 466 input mp-geo;
 467
 468 All:=false;
 469 Europe:=true;
 470
 471 figure(-10u,-10u,10u,10.5u);
 472 projection:="bonne";
 473 Projection(2,46.5,echelle(2,46.5,50));
 474 fin;
 475
 476 end
 477 \end{verbatim}
 478 pour obtenir la figure
 479 \begin{figure}[ht]
 480   \centering
 481   \includegraphics{projectionbonne}
 482   \caption{Projection de Bonne -- Centrée sur Paris -- \'Echelle $1\,:\,500\,000$.}
 483 \end{figure}
 484 \subsection{Projection conique}
 485 Cette projection est un peu spéciale, je n'ai pas réussi à l'inclure
 486 avec les autres. La projection conique disponible est la {\em
 487   projection conique équidistante tangente}\footnote{D'après
 488   \url{http://thierry.hatt.gps.free.fr/projections/images-proj/coniq-equid-lambert.htm}. Pour un point de la sphère terrestre de coordonnées $(\phi;\lambda)$, les formules de projection sont
 489   \[\left\{\begin{array}{l}
 490       x=\dfrac{\cos\phi\sin(\lambda\sin(45))}{\sin{45}\cos(\phi-45)}\\
 491       \\
 492       y=\dfrac{\cos\phi\cos(\lambda\sin(45))}{\sin{45}\cos(\phi-45)}\\
 493     \end{array}
 494   \right.
 495   \]
 496 }; le parallèle de contact étant soit le 45\degres\ Nord soit le
 497 45\degres\ Sud. On choisit l'hémisphère à représenter par le code
 498 source
 499 \begin{verbatim}
 500 input mp-geo;
 501
 502 figure(-20u,-20u,20u,20u);
 503 ConiqueH;
 504 fin;
 505
 506 end
 507 \end{verbatim}
 508 pour obtenir
 509 \begin{figure}[ht]
 510   \centering
 511   \includegraphics{coniqueHN.png}
 512   \caption{Projection conique - Hémisphère nord.}
 513 \end{figure}
 514 ou alors
 515 \begin{verbatim}
 516 input mp-geo;
 517
 518 figure(-20u,-20u,20u,20u);
 519 ConiqueB;
 520 fin;
 521
 522 end
 523 \end{verbatim}
 524 pour voir l'hémisphère sud.
 525 \begin{figure}[ht]
 526   \centering
 527   \includegraphics{coniqueBS.png}
 528   \caption{Projection conique - Hémisphère sud.}
 529 \end{figure}
 530 \par\`A noter que cette fois-ci, le maillage n'est pas
 531 facultatif\footnote{On pourrait peut-être ajouter des graduations}.
 532 \newpage
 533 \section{Historique}
 534 \begin{description}
 535 \item[24/03/2008] Version \texttt{0.60} : Regroupement des
 536   projections. Ajout d'une échelle sur les cartes obtenues par
 537   projection. Ajout des grands fleuves (ou rivières) européens.
 538 \item[14/03/2008] Version \texttt{0.58} : Ajout de fleuves et lacs
 539   supplémentaires.
 540 \item[14/03/2008] Version \texttt{0.56} : Ajout des volcans :).
 541 \item[18/02/2008] Version \texttt{0.55} : Ajout des projections de Bonne.
 542 \item[18/02/2008] Version \texttt{0.54} : Modification mineure dans la
 543   lecture des fichiers de données.
 544 \item[15/02/2008] Version \texttt{0.53} : Ajout d'une troisième
 545   projection : la projection {\em simple}.
 546 \item[15/02/2008] Version \texttt{0.52} : Ajout d'une troisième
 547   projection : la projection {\em cylindrique}.
 548 \item[14/02/2008] Version \texttt{0.51} : Ajout d'une deuxième
 549   projection : une projection {\em conique}.
 550 \item[14/02/2008] Version \texttt{0.5} : Ajout d'une première
 551   projection : la projection {\em Mercator}.
 552 \item[12/02/2008] Version \texttt{0.46} : Possibilité d'affichage d'un
 553   point particulier sur la surface de la Terre (avec son méridien et
 554   son parallèle tracés).
 555 \item[12/02/2008] Version \texttt{0.45} : Choix possible de
 556   l'affichage ou non des méridiens et parallèles.
 557 \item[11/02/2008] Version \texttt{0.4} : Rendu indépendant de
 558   \verb!geometriesyr16.mp!.
 559 \item[08/02/2008] Version \texttt{0.35} : Amélioration de la méthode
 560   de tracé.
 561 \item[08/02/2008] Version \texttt{0.32} : Choix possible du chemin de
 562   lecture des fichiers \verb!.dat!.
 563 \item[08/02/2008] Version \texttt{0.31} : Choix possible de la couleur
 564   de remplissage dans le cas d'un remplissage uniforme.
 565 \item[07/02/2008] Version \texttt{0.3} : Choix possibles d'un
 566   affichage ou non des capitales, fleuves et lacs. Choix possible d'un
 567   remplissage uniforme ou coloré.
 568 \item[07/02/2008] Version \texttt{0.2} : Création d'un unique fichier
 569   de données par continent.
 570 \item[07/02/2008] Version \texttt{0.11} : Ajout du positionnement des
 571   capitales.
 572 \item[06/02/2008] Version \texttt{0.1}.
 573 \end{description}
 574 \newpage
 575 \listoffigures
 576 \end{document}