doc/Dessinons.tex

   1 \chapter{Dessinons !}
   2 \begin{flushleft}
   3   {\em Je compterai toujours, pour ma part, au nombre des heures les
   4     plus douces, les plus heureuses de ma vie, celles où j'ai pu
   5     saisir dans l'espace et étudier sans trève quelques-uns de ces
   6     êtres géométriques qui flottent en quelque sorte autour de nous.}
   7 \par\hfill{\sc Gaston Darboux}
   8 \end{flushleft}
   9 \section{La lecture externe}
  10 Avant de se lancer dans les calculs, profitons du fait que de nombreux
  11 logiciels de contruction 3D exportent leurs données dans divers
  12 formats de fichiers. Pourquoi donc ne pas s'en servir, couplé à \MP,
  13 pour représenter de tels objets ?
  14 \subsection{Les fichiers \texttt{OFF}}
  15 Si vous disposez d'un
  16 fichier \texttt{toto.off}, on l'utilisera comme ceci :
  17 \begin{center}
  18   \macro{\verb!LectureOFF("toto.off")!}
  19 \end{center}
  20 \begin{Danger}
  21   \begin{itemize}
  22     \item Avant l'utilisation des fichiers \verb!OFF!, il faudra
  23       s'assurer qu'ils aient une syntaxe du type
  24       \begin{lstlisting}[frame=tb]
  25         nbsommets nbfaces
  26
  27         x1 y1 z1
  28         x2 y2 z2
  29         ...
  30         nbsommetsface1 1 2 3
  31         nbsommetsface2 2 3 4
  32         ...
  33       \end{lstlisting}
  34     \item Suivant les fichiers \texttt{OFF}, il y aura deux paramètres
  35       à modifier : \param{\texttt{echelle}} qui applique un coefficient
  36       divisant les données numériques du fichier par la valeur
  37       choisie; \param{\texttt{debut}} qui indiquera quel est le chiffre
  38       correspondant au premier sommet (bien souvent, c'est 0 mais pour
  39       quelques fichiers, cela peut-être 1).
  40     \item Le paramètre \param{\texttt{invnormale}} devra {\em parfois} être
  41       adapté. Par défaut, il est à 1. On devra le mettre parfois comme
  42       étant égal à $-1$.
  43     \end{itemize}
  44 \end{Danger}
  45 \begin{figure}[h]
  46 \centering
  47 \includegraphics[scale=0.9]{figures/OFF1.pdf}
  48 \caption{Un tricératops.}
  49 \end{figure}
  50 \begin{minipage}{\linewidth}
  51   \begin{lstlisting}[frame=tb]
  52 %fichier off:http://www.irit.fr/~Loic.Barthe/Enseignements/TPs_OpenGL/L3_IUP_SI/TP7/Maillages/triceratops.off
  53 echelle:=2;
  54 debut:=0;
  55
  56 invnormale:=-1;
  57
  58 figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
  59 Initialisation(500,-25,10,50);
  60 outcolor:=0.8*white;
  61 incolor:=gris;
  62 LectureOFF("triceratops.off");
  63 finespace;
  64   \end{lstlisting}
  65 \end{minipage}
  66 \par
  67 L'exemple\footnote{Assez long en compilation, 28 secondes environ.}
  68 ci-dessous montre un {\em noeud creusé}. Pour cela, on a un paramètre
  69  booléen \verb!Creux! (positionné à \verb!true! par défaut) qui
  70  permet d'indiquer si le solide envisagé est creusé ou pas. Ce
  71  paramètre n'est, pour le moment, disponible que pour la lecture des
  72  fichiers externes.
  73 \par\noindent
  74 \begin{minipage}{6cm}
  75   \includegraphics[scale=0.5]{figures/OFF11.pdf}
  76 \end{minipage}
  77 \hfill
  78 \begin{minipage}{10cm}
  79   \begin{lstlisting}[frame=tb]
  80  %www-c.inria.fr/gamma/download/download.php
  81  echelle:=2; debut:=1;
  82  Creux:=false;
  83  outcolor:=0.5[jaune,white];
  84  incolor:=0.5[bleu,white];
  85
  86  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
  87  Initialisation(500,-25,10,50);
  88  LectureOFF("10-61.off");
  89  finespace;
  90   \end{lstlisting}
  91 \end{minipage}
  92 \par
  93 Pour ne pas abuser, un dernier exemple.\\
  94 \begin{minipage}{6cm}
  95   \includegraphics[scale=0.7]{figures/OFF21.pdf}
  96 \end{minipage}
  97 \hfill
  98 \begin{minipage}{10cm}
  99   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 100  echelle:=5;
 101  debut:=1;
 102  arcenciel:=true;
 103  invnormale:=-1;
 104  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 105  Initialisation(500,30,20,50);
 106  LectureOFF("5_1.pc.off");
 107  finespace;
 108   \end{lstlisting}
 109 \end{minipage}
 110 \subsection{Les fichiers \texttt{OBJ}}
 111 Si vous disposez d'un
 112 fichier \texttt{toto.obj}, on l'utilisera comme ceci :
 113 \begin{center}
 114   \macro{\verb!LectureOBJ("toto.obj")!}
 115 \end{center}
 116 \begin{Danger}
 117   \begin{itemize}
 118     \item Avant l'utilisation des fichiers \verb!OBJ!, il faudra
 119       s'assurer qu'ils aient une syntaxe du type
 120       \begin{lstlisting}[frame=tb]
 121         v x1 y1 z1
 122         v x2 y2 z2
 123         ...
 124         v xn yn zn
 125         f nbsommetsface1 1 2 3 ...
 126         f nbsommetsface2 2 3 4 ...
 127         ...
 128       \end{lstlisting}
 129       \par En effet, certains fichiers \texttt{OBJ} contiennent
 130       également les descriptions des vecteurs normaux aux faces. Ils
 131       ne sont pas nécessaires pour nous car \MP\ fait les calculs
 132       nécessaires\footnote{Il pourrait cependant être utile d'utiliser
 133         directement de tels fichiers pour gagner du temps de compilation.}.
 134     \item Suivant les fichiers \texttt{OBJ}, il y aura à modifier le paramètre \param{\texttt{echelle}}.
 135     \item Le paramètre \param{\texttt{invnormale}} devra {\em parfois} être
 136       adapté. Par défaut, il est à 1. On devra le mettre parfois comme
 137       étant égal à $-1$.
 138     \end{itemize}
 139 \end{Danger}
 140 \begin{minipage}{8cm}
 141   \includegraphics[width=8cm]{figures/OBJ1.pdf}
 142 \end{minipage}
 143 \hfill
 144 \begin{minipage}{10cm}
 145   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 146 %http://www-c.inria.fr/gamma/download/
 147 echelle:=50;
 148
 149 figureespace(-10u,-10u,10u,20u);
 150 Initialisation(2500,80,-70,50);
 151 outcolor:=0.7[rose,white];
 152 incolor:=jaune;
 153 LectureOBJ("../../data/Midpoly_04.obj");
 154 finespace;
 155   \end{lstlisting}
 156 \end{minipage}
 157 \par
 158 \begin{minipage}{8cm}
 159   \includegraphics[width=8cm]{figures/OBJ11.pdf}
 160 \end{minipage}
 161 \hfill
 162 \begin{minipage}{10cm}
 163   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 164 %http://www-c.inria.fr/gamma/download/
 165 %avec modification
 166 echelle:=0.25;
 167
 168 figureespace(-10u,-10u,10u,20u);
 169 Initialisation(2500,-80,80,50);
 170 outcolor:=0.7[rose,white];
 171 incolor:=jaune;
 172 LectureOBJ("../../data/Y3483.obj");
 173 finespace;
 174   \end{lstlisting}
 175 \end{minipage}
 176 \section{Les courbes}
 177 %\subsection{\ldots du type $(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))$}
 178 Pour tracer une fonction du type $M(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))$, on
 179 utilisera la macro
 180 \texttt{Fonction}.
 181 \begin{center}
 182   \macro{\verb!Fonction(expr fn,tmin,tmax,pas)!}
 183 \end{center}
 184 où \param{\verb!fn!} est un type \verb!string! donnant les fonctions $f$, $g$
 185 et $h$ (ne pas oublier de la mettre sous forme d'un triplet);
 186 \param{\verb!tmin!} et \param{\verb!tmax!} sont les bornes de
 187 l'intervalle de tracé et \param{\verb!pas!} le pas d'incrémentation
 188 pour positionner les points et les relier ensuite.
 189 \par\begin{minipage}{6cm}
 190   \includegraphics{figures/courbe11.pdf}
 191 \end{minipage}
 192 \hfill
 193 \begin{minipage}{10cm}
 194   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 195  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 196  Initialisation(5,30,50,20);
 197  draw Fonction("(sin(t),cos(t),t/3)",-2,25,0.01);
 198  finespace;
 199  \end{lstlisting}
 200 \end{minipage}
 201 \par
 202 \begin{minipage}{6cm}
 203   \includegraphics[scale=0.7]{figures/courbe21.pdf}
 204 \end{minipage}
 205 \hfill
 206 \begin{minipage}{10cm}
 207   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 208  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 209  Initialisation(5,30,20,20);
 210  draw Fonction("(cos(t)*(1+abs(t)/5),1.5*sin(t),0.2*t)",-15,15,0.1);
 211  finespace;
 212  \end{lstlisting}
 213 \end{minipage}
 214 \subsection{Les tubes : 1\ier\ essai}
 215 On a une amélioration graphique : la possibilité de tracer les courbes
 216 sous forme de tube avec la macro \verb!Tube! :
 217 \begin{center}
 218   \macro{\texttt{Tube(expr Fn,dp,ds,rayon,tmin,nbp,pas)}}
 219 \end{center}
 220 où \param{\verb!Fn!}, \param{\verb!dp!} et \param{\verb!ds!} sont des
 221 types \texttt{string} représentant respectivement la fonction de
 222 référence sur laquelle le tube est construit; la dérivée première et
 223 la dérivée seconde. Pourquoi ? Pour calculer les vecteurs $(\vecteur
 224 T, \vecteur N, \vecteur B)$ constituant le repère de Frenet local
 225 attaché à la courbe. Il est d'ailleurs vivement recommandé de les
 226 calculer à la main ou à l'aide d'un logiciel de calcul formel.
 227 \\Une fois ceci fait, \param{\texttt{tmin}} la valeur du paramètre de départ,
 228 \param{\texttt{nbp}} le nombre de pas voulus, \param{\texttt{pas}} le
 229 pas pour passer d'un point à un autre.
 230 \par
 231 Voici plusieurs exemples pour que ce soit plus clair:
 232 \par
 233 \begin{minipage}{7.5cm}
 234   \includegraphics[width=7.5cm]{figures/npresentation1.pdf}
 235 \end{minipage}
 236 \hfill
 237 \begin{minipage}{10cm}
 238   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 239  figureespace(-10u,-20u,10u,10u);
 240  Initialisation(1000,15,70,50);
 241  outcolor:=0.5[green,white];
 242  draw Tube("(2*cosd(t)+cosd(3*t),2*sind(t)-sind(3*t),2*sqrt(2)*sind(2*t))","(-2*sind(t)-3*sind(3*t),2*cosd(t)-3*cosd(3*t),4*sqrt(2)*cosd(2*t))","(-2*cosd(t)-9*cosd(3*t),-2*sind(t)+9*sind(3*t),-8*sqrt(2)*sind(2*t))",0.1,90,180,1.5);
 243  finespace;
 244  end
 245 \end{lstlisting}
 246 \end{minipage}
 247 \par
 248 \begin{minipage}{7.5cm}
 249   \includegraphics[width=7.5cm]{figures/courbe12.pdf}
 250 \end{minipage}
 251 \hfill
 252 \begin{minipage}{10cm}
 253   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 254  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 255  Initialisation(5,30,50,20);
 256 outcolor:=0.5[red,white];
 257  draw Tube("(sin(t),cos(t),t/3)","(cos(t),-sin(t),1/3)","(-sin(t),-cos(t),0)",0.1,-2,270,0.1);
 258  finespace;
 259 \end{lstlisting}
 260 \end{minipage}
 261 \par
 262 \begin{minipage}{7.5cm}
 263   \includegraphics[width=7.5cm]{figures/courbe22.pdf}
 264 \end{minipage}
 265 \hfill
 266 \begin{minipage}{10cm}
 267   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 268  figureespace(-10u,-20u,10u,10u);
 269  Initialisation(5,30,20,20);
 270  outcolor:=0.5[blue,white];
 271  draw Tube("(cos(t)*(1+abs(t)/5),1.5*sin(t),0.2*t)","if t>=0:(-sin(t)*(1+t/5)+cos(t)/5,1.5*cos(t),0.2) else: (-sin(t)*(1-t/5)-cos(t)/5,1.5*cos(t),0.2) fi", "if t>=0:(-cos(t)*(1+t/5)-2*sin(t)/5,-1.5*sin(t),0) else: (-cos(t)*(1-t/5)+2*sin(t)/5,-1.5*sin(t),0) fi",0.075,-15,300,0.1);
 272  finespace;
 273 \end{lstlisting}
 274 \end{minipage}
 275 \par
 276 \begin{minipage}{7.5cm}
 277   \includegraphics[width=7.5cm]{figures/npresentation2.pdf}
 278 \end{minipage}
 279 \hfill
 280 \begin{minipage}{10cm}
 281 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 282  figureespace(-10u,-20u,10u,10u);
 283  Initialisation(1000,15,20,50);
 284  outcolor:=0.5[jaune,white];
 285  draw Tube("(cos(t),1.5*sin(t),0.2*t)","(-sin(t),1.5*cos(t),0.2)","(-cos(t),-1.5*sin(t),0)",0.1,0,180,0.1);
 286  finespace;
 287 \end{lstlisting}
 288 \end{minipage}
 289 \subsection{Les tubes : 2\ieme\ essai}
 290 Cependant, pour obtenir l'image ci-dessous tirée de la documentation de
 291 \texttt{pst-solides3d}\footnote{Mais celle présente dans cette
 292   documentation a été compilée par \MP.}, cela ne marche pas !
 293 \begin{figure}[h]
 294   \centering
 295   \includegraphics[scale=0.5]{figures/hypotube1.pdf}
 296   \caption{Hypocycloïde en tube}
 297   \label{fig-hypotube}
 298 \end{figure}
 299 J'ai donc crée une deuxième macro permettant de construire de telles
 300 figures. En fait, le problème venait de l'inversion des normales au
 301 passage des points d'inflexion. De plus, grâce à un document trouvé
 302 sur la toile\footnote{Malheureusement, je ne dispose plus de
 303   l'adresse. Par contre, l'auteur est Loïc {\sc Barthe} de l'équipe
 304   Vortex de l'IRIT-UPS Toulouse.}, il n'est plus nécessaire d'utiliser
 305 la dérivée seconde. La macro utilisable est
 306 \begin{center}
 307   \macro{\verb!Tuben(expr Fn,dp,rayon,tmin,nbp,pas,couleur)!}
 308 \end{center}
 309 avec les mêmes conventions que lors du premier essai. Pour obtenir la
 310 figure \ref{fig-hypotube}, on utilisera alors le code
 311 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 312  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 313
 314  nb:=16;  unit:=0.8;
 315
 316  Initialisation(1000,20,45,37.5);
 317  for k=-5 upto 5:
 318   draw Projette((k,-5,0))--Projette((k,5,0));
 319   draw Projette((-5,k,0))--Projette((5,k,0));
 320  endfor;
 321  eclairage:=false;
 322  outcolor:=blanc;
 323  draw Tuben("(4*cos(t)+cos(4*t)/2,4*sin(t)-sin(4*t)/2,1)","(-4*sin(t)-2*sin(4*t),4*cos(t)-2*cos(4*t),0)",1,0,102,0.06283);
 324
 325  finespace;
 326 \end{lstlisting}
 327 \`A noter que le paramètre \param{\verb!unit!} permet de faire un
 328 agrandissement (ou une réduction) de la figure. Par défaut,
 329 \texttt{unit=1}. De plus, il existe le paramètre \param{\verb!nb!} qui permet
 330 de moduler le nombre de points sur le cercle permettant de tracer le tube.
 331 \par Et pour finir, étant fan de Gaston Lagaffe, je me permets de reprendre
 332 le ressort-siège de la documentation de \texttt{pst-solides3d}.
 333 \par\begin{minipage}{8cm}
 334   \begin{figurefixe}
 335     \centering
 336     \includegraphics[width=6cm]{figures/ressortgaston1.pdf}
 337     \caption{Siège-ressort de Gaston Lagaffe}
 338     \label{fig:exsyr1}
 339   \end{figurefixe}
 340 \end{minipage}
 341 \hfill
 342 \begin{minipage}{9cm}
 343   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 344  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 345
 346  nb:=6;
 347  Initialisation(1000,20,20,25);
 348  arcenciel:=true;
 349  draw Tuben("((t**2+3)*sin(15*t),(t**2+3)*cos(15*t),2*t)","(2*t*sin(15*t)+15*((t**2)+3)*cos(15*t),2*t*cos(15*t)-15*((t**2)+3)*sin(15*t),2)",0.2,-2,360,1/90);
 350
 351  finespace;
 352
 353   \end{lstlisting}
 354 \end{minipage}
 355 \section{Les surfaces}
 356 \subsection{Les surfaces en $z$}
 357 De la forme $z=f(x,y)$, on utilisera alors
 358 \begin{center}
 359   \macro{\verb!Surfz(fn,xmin,xmax,ymin,ymax,nbl,nbp)!}
 360 \end{center}
 361 avec \param{\verb!fn!} la fonction écrite sous un type \verb!string!,
 362 \param{\verb!xmin!}, \param{\verb!xmax!}, \param{\verb!ymin!} et \param{\verb!ymax!} les bornes des
 363 intervalles de tracés, \param{\verb!nbl!} le nombre de lignes suivant les
 364 $y$\footnote{Il en est ainsi car j'ai suivi la méthode décrite
 365   dans le livre de Raymond Dony. Il est à noter également que pour des
 366   impératifs de temps de compilation et de poids des images, les deux
 367   paramètres \param{\verb!nbp!} et \param{\verb!nbl!} sont des multiples de 3.} et
 368 \param{\verb!nbp!} le nombre de points utilisés sur chaque ligne pour tracer
 369 la surface.
 370 \par Les trois exemples ci-dessous ont donné des temps de compilation
 371 de l'ordre de 40 secondes.
 372 \par
 373 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 374  verbatimtex
 375  %&latex
 376  \documentclass[12pt]{article}
 377  \usepackage{fourier}
 378  \begin{document}
 379  etex
 380
 381  invnormalelum:=-1;
 382
 383  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 384  Initialisation(300,15,35.264,10);
 385  incolor:=0.5[green,white];
 386  outcolor:=0.25[orange,white];
 387  draw SurfZ("4*cos(X++Y)*mexp(-(X++Y)*50)",-15,15,-10,10,60,150);
 388  label(btex $f(z)=4*\cos\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)*\textrm{e}^{-50*\sqrt{x^2+y^2}}\mbox{ avec }\left\{\begin{array}{l}
 389      x\in[-15,15]\\
 390      y\in[-10,10]\\
 391    \end{array}
 392  \right.$ etex,u*(0,-5));
 393  finespace;
 394   \end{lstlisting}
 395 \[\includegraphics{figures/Surfz11.pdf}\]
 396 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 397  verbatimtex
 398  %&latex
 399  \documentclass[12pt]{article}
 400  \usepackage{fourier}
 401  \usepackage{amsmath}
 402  \begin{document}
 403  etex
 404
 405  invnormalelum:=-1;
 406
 407  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 408  Initialisation(300,70,30,10);
 409  incolor:=0.5[jaune,white];
 410  outcolor:=0.8[violet,white];
 411  arcenciel:=true;
 412  draw SurfZ("if (X=0) and (Y=0):10 else:10*sin((X++Y))/(X++Y) fi",-8,8,-8,8,60,150);
 413  label(btex $f(z)=10\times\dfrac{\sin\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}\mbox{ avec }\left\{\begin{array}{l}
 414      x\in[-8,8]\\
 415      y\in[-8,8]\\
 416    \end{array}
 417  \right.$ etex,u*(0,-4));
 418  finespace;
 419 \end{lstlisting}
 420 \par
 421 \[\includegraphics{figures/Surfz21.pdf}\]
 422 \L'exemple précédent montre l'utilisation du paramètre
 423 \param{\texttt{invnormalelum}} permettant d'opposer la normale permettant la
 424 détermination de la quantité lumineuse. De plus, la gestion de la
 425 lumière est un peu différente lors du tracé des surfaces en $z$. En
 426 effet, on a parfois besoin de voir ce qui se passe dans la partie cachée\ldots
 427 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 428  verbatimtex
 429  % &latex
 430  \documentclass[12pt]{article}
 431  \usepackage{fourier}
 432  \usepackage{amsmath}
 433  \begin{document}
 434  etex
 435
 436   invnormalelum:=-1;
 437
 438  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 439  Initialisation(300,45,35,10);
 440  incolor:=0.5[jaune,white];
 441  outcolor:=0.8[violet,white];
 442  draw SurfZ("if X=0:if Y=0:10 else:10*sin(Y)/Y fi else:if Y=0:10*sin(X)/X else: 10*sin(X)/X*sin(Y)/Y fi fi",-10,10,-12,12,60,150);
 443  label(btex $f(z)=10\times\dfrac{\sin x}x\dfrac{\sin y}y\mbox{ avec }\left\{\begin{array}{l}
 444      x\in[-10,10]\\
 445      y\in[-12,12]\\
 446    \end{array}
 447  \right.$ etex,u*(0,-4));
 448  finespace;
 449  end
 450 \end{lstlisting}
 451 \[\includegraphics{figures/Surfz31.pdf}\]
 452 \subsection{\ldots paramétrées $M(u,v)=(f(u,v),g(u,v),h(u,v))$}
 453 \begin{Danger}
 454   Attention, il faut une orientation correcte des faces créees. Il sera
 455   donc nécessaire d'utiliser, {\em parfois}, \param{\texttt{invnormale}}.
 456 \end{Danger}
 457 Utilisons la macro
 458 \begin{center}
 459   \macro{\verb!Sparam(expr fn,umin,umax,upas,vmin,vmax,vpas)!}
 460 \end{center}
 461 où \param{\texttt{fn}} est un type \texttt{string} représentant la fonction
 462 $M(u,v)$ donnée sous forme d'un triplet; les autres paramètres parlant
 463 d'eux mêmes.
 464 \\Voici plusieurs exemples :
 465 \par%\vfill\par
 466 \begin{minipage}{6cm}
 467 \includegraphics[width=5cm]{figures/Sparam11.pdf}
 468 \end{minipage}
 469 \hfill
 470 \begin{minipage}{10cm}
 471   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 472  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 473  Initialisation(500,-30,15,75);
 474  outcolor:=0.5[red,white];
 475  incolor:=0.5[jaune,white];
 476  draw Sparam("((1+0.5*cos(u))*cos(v),(1+0.5*cos(u))*sin(v),0.5*sin(u))",-pi,pi/12,pi/15,2*pi/3,2*pi,pi/20);
 477  finespace;
 478   \end{lstlisting}
 479 \end{minipage}
 480 \par\vfill\par
 481 \begin{minipage}{6cm}
 482 \includegraphics[width=5cm]{figures/Sparam31.pdf}
 483 \end{minipage}
 484 \hfill
 485 \begin{minipage}{10cm}
 486   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 487  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 488  Initialisation(50,-110,10,100);
 489  outcolor:=0.5[orange,white];
 490  incolor:=0.25[gris,white];
 491  draw Sparam("(u,v,u*u-v*v)",-1,1,0.05,-1,1,0.05);
 492  finespace;
 493   \end{lstlisting}
 494 \end{minipage}
 495 \par\vfill\par
 496 \begin{minipage}{6cm}
 497 \includegraphics[width=5cm]{figures/Sparam51.pdf}
 498 \end{minipage}
 499 \hfill
 500 \begin{minipage}{10cm}
 501   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 502  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 503  Initialisation(500,10,20,100);
 504  incolor:=0.75[jaune,white];
 505  outcolor:=0.5[green,white];
 506  draw Sparam("(u*cos(v)*sin(pi/6),u*sin(v)*sin(pi/6),u*cos(pi/6))",-2,-0.1,0.2,-2.6,2.6,0.2);
 507  finespace;
 508   \end{lstlisting}
 509 \end{minipage}
 510 \par\vfill\par
 511 \begin{minipage}{6cm}
 512 \includegraphics[width=5cm]{figures/Sparam81.pdf}
 513 \end{minipage}
 514 \hfill
 515 \begin{minipage}{10cm}
 516   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 517  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 518  Initialisation(50,0,-20,100);
 519  incolor:=0.75[orange,white];
 520  outcolor:=0.5[blue,white];
 521  draw Sparam("(cos(v)*sqrt(1+u*u),sin(v)*sqrt(1+u*u),0.6*u)",-1,1.5,0.1,-5*pi/6,5*pi/6,pi/36);
 522  finespace;
 523   \end{lstlisting}
 524 \end{minipage}
 525 \par\vfill\par
 526 \begin{minipage}{9cm}
 527 \begin{figurefixe}
 528 \centering
 529 \includegraphics[width=7.5cm]{figures/Sparam91.pdf}
 530 \caption{Une nappe cylindrique}
 531 \label{fig:exsyr2}
 532 \end{figurefixe}
 533 \end{minipage}
 534 \hfill
 535 \begin{minipage}{9cm}
 536   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 537  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 538  Initialisation(100,5,10,25);
 539  incolor:=0.5[jaune,white];
 540  outcolor:=0.75[violet,blanc];
 541  drawarrow Projette((0,0,0))--Projette((0,3,3)) withpen pencircle scaled2bp;
 542  for l=-1 upto 5:
 543    draw Projette((l,-1,0))--Projette((l,5,0)) withcolor gris;
 544    draw Projette((-1,l,0))--Projette((5,l,0)) withcolor gris;
 545  endfor;
 546  TraceAxes;
 547  drawarrow Projette((0,0,0))--Projette((0,3,3)) withpen pencircle scaled2bp;
 548  draw Sparam("(6*(cos(u)**3)*sin(u),4*cos(u)*cos(u)+v,v)",0,2*pi,pi/30,0,2*sqrt(2),0.1);
 549  finespace;
 550   \end{lstlisting}
 551 \end{minipage}
 552 \subsection{Les solides de révolution}
 553 C'est un cas particulier des surfaces paramétrées. La syntaxe est donc
 554 très voisine :
 555 \begin{center}
 556   \macro{\verb!Revolution(fn,umin,umax,upas,vmin,vmax,vpas)!}
 557 \end{center}
 558 avec les mêmes notations que précédemment {\em sauf} que \param{\verb!fn!}
 559 doit représenter un chemin \MP. Voici quelques exemples.
 560 \par\begin{minipage}{6cm}
 561   \includegraphics[width=6cm]{figures/revolution11.pdf}
 562 \end{minipage}
 563 \hfill
 564 \begin{minipage}{10cm}
 565   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 566  r=2; R=8; h=3;
 567
 568  path pp;
 569  pp=(R,-h/2)--((R+r)/2,h/2)--(r,-h/2)--cycle;
 570
 571  incolor:=0.5[jaune,white];
 572  outcolor:=0.8[bleu,white];
 573
 574  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 575  Initialisation(500,30,40,25);
 576  draw Revolution("pp",0,length pp,0.1,0,2*pi,pi/12);
 577  finespace;
 578 \end{lstlisting}
 579 \end{minipage}
 580 \par\begin{minipage}{6cm}
 581   \includegraphics[width=6cm]{figures/revolution21.pdf}
 582 \end{minipage}
 583 \hfill
 584 \begin{minipage}{10cm}
 585   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 586  r=3; R=8; h=6;
 587
 588  path pp;
 589  pp=(r,h/2)--(r,-h/2)--(R,-h/2)--(R,-h/2+1)--(R-1.5,-h/2+1)--(R-1.5,h/2-1)--(R,h/2-1)--(R,h/2)--cycle;
 590
 591  incolor:=0.5[jaune,white];
 592  outcolor:=0.8[bleu,white];
 593
 594  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 595  Initialisation(500,30,20,25);
 596  draw Revolution("pp",0,length pp,0.25,0,2*pi,pi/12);
 597  finespace;
 598   \end{lstlisting}
 599 \end{minipage}
 600 \par Et pour tirer profit des courbes de Bezier
 601 \par\begin{minipage}{6cm}
 602   \includegraphics[width=6cm]{figures/revolution31.pdf}
 603 \end{minipage}
 604 \hfill
 605 \begin{minipage}{10cm}
 606   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 607  path pp;
 608  pp=(3,-7)..(1,-6)..(5,0.5)..(5,3)..(1,3)..(1,4)..(2,5);
 609
 610  incolor:=0.5[jaune,white];
 611  outcolor:=0.8[bleu,white];
 612
 613  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 614  Initialisation(500,30,20,25);
 615  draw Revolution("pp",0,length pp,0.2,0,2*pi,pi/12);
 616  finespace;
 617   \end{lstlisting}
 618 \end{minipage}