doc/Fusion.tex

   1 \chapter{La fusion d'objets}
   2 Un petit aperçu\ldots
   3 \[\includegraphics{figures/fusion1.pdf}\]
   4 \begin{Danger}
   5   Tout ce qui est relatif à la fusion d'objets n'est {\em valable} que
   6   pour ce chapitre. Ce n'est pas implanté pour les surfaces, les courbes,\ldots
   7 \end{Danger}
   8 \section{Quels objets fusionner ?}
   9 Avant de voir ce que nous permet la fusion, voyons quels objets sont
  10 mis à notre disposition : \texttt{tétraèdre régulier}, \texttt{cube}
  11 et \texttt{pavé droit}, \texttt{octaèdre régulier}, \texttt{dodécaèdre
  12   régulier}, \texttt{icosaèdre régulier},  \texttt{prisme} et
  13 \texttt{prisme creux}, \texttt{cylindre de révolution creux} et
  14 \texttt{plein}, \texttt{cône de révolution creux} et \texttt{plein},
  15 \texttt{tronc de cône de révolution creux} et \texttt{plein},
  16 \texttt{sphère}, \texttt{calotte sphérique creuse} et \texttt{pleine},
  17 \texttt{tore}, \texttt{anneau}, \texttt{tube}, \texttt{grille},
  18 \texttt{ruban}, \texttt{biface}, \texttt{OFF}, \texttt{OBJ} et \texttt{New}.
  19 \begin{Danger}
  20   Dans ce chapitre, aucun de ces objets n'est dessiné ! Mais ils sont
  21   numérotés. Ainsi pour les afficher, Il faut impérativement utiliser
  22   la macro
  23   \begin{center}
  24     \macro{\verb!AffichageObjet1!}
  25   \end{center}
  26   1 étant le numéro de l'objet à afficher.
  27 \end{Danger}
  28
  29  Voici comment les définir :
  30
  31 \begin{center}
  32 \begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.75cm}m{6cm}>{\footnotesize}m{6.5cm}}
  33 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Tétraèdre régulier}}&\verb!"a=3"!
  34 (\texttt{a} rayon de la sphère circonscrite)&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objettetraedre1.pdf}&%\\
  35   \begin{verbatim}
  36  Objettetraedre1("a=1");
  37  AffichageObjet1;
  38   \end{verbatim}\\
  39 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Cube}}&\verb!"a=3"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetcube1.pdf}&%\\
  40   \begin{verbatim}
  41  %subh:=9;
  42  Objetcube1("a=4");
  43  AffichageObjet1;
  44   \end{verbatim}\\
  45 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Octaèdre régulier}}&\verb!"a=3"!
  46 (\texttt{a} rayon de la sphère circonscrite)&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetoctaedre1.pdf}&%\\
  47   \begin{verbatim}
  48  Objetoctaedre1("a=1");
  49  AffichageObjet1;
  50   \end{verbatim}\\
  51 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Dodécaèdre régulier}}&\verb!"a=3"!
  52 (\texttt{a} rayon de la sphère circonscrite)&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetdodecaedre1.pdf}&%\\
  53   \begin{verbatim}
  54  Objetdodecaedre1("a=1");
  55  AffichageObjet1;
  56   \end{verbatim}\\
  57 \end{tabular}
  58 \end{center}
  59 \begin{center}
  60 \begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.75cm}m{6cm}>{\footnotesize}m{6.5cm}}
  61 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Icosaèdre régulier}}&\verb!"a=3"!
  62 (\texttt{a} rayon de la sphère circonscrite)&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objeticosaedre1.pdf}&%\\
  63   \begin{verbatim}
  64  Objeticosaedre1("a=1");
  65  AffichageObjet1;
  66   \end{verbatim}\\
  67 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Pavé droit}}&\verb!"L=2","H=1",!\par\verb!"P=0.5"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetpave1.pdf}&%\\
  68   \begin{verbatim}
  69  %subh:=9;
  70  Objetpave1("L=2","H=6","P=4");
  71  AffichageObjet1;
  72   \end{verbatim}\\
  73 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Prisme plein}}&\verb!("axe=(0,1,2)"!%
  74 \par\verb!,"h=3")!\par
  75 \verb!(Liste sommets)!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetprisme1.pdf}&%\\
  76   \begin{verbatim}
  77  %nb:=4;subh:=20;
  78  ObjetPrisme1("axe=(0,0.5,1)",%
  79 "h=2")%
  80 ((1,0,0),(2,3,0),(-1,4,0));
  81  AffichageObjet1;
  82   \end{verbatim}\\
  83 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Prisme creux}}&\verb!("axe=(0,1,2)"!%
  84 \par\verb!,"h=3")!\par
  85 \verb!(Liste sommets)!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetprisme2.pdf}&%\\
  86   \begin{verbatim}
  87  %nb:=4;subh:=20;
  88  creux:true;
  89  Objetprisme1("axe=(0,0.5,1)",%
  90 "h=2")%
  91 ((1,0,0),(2,3,0),(-1,4,0));
  92  AffichageObjet1;
  93   \end{verbatim}\\
  94 \end{tabular}
  95 \end{center}
  96 \begin{center}
  97 \begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.75cm}m{6cm}>{\footnotesize}m{6.5cm}}
  98 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Tore}}&\verb!"R=3","r=2"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objettore1.pdf}&%\\
  99   \begin{verbatim}
 100  %nb:=24;subh:=36;
 101  Objettore1("R=4","r=1");
 102  AffichageObjet1;
 103   \end{verbatim}\\
 104 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Tube plein}\footnotemark}&\verb!"F(t)","F'(t)"!,
 105   \verb!rayon!, \verb!umin!, \verb!nb de points!, \verb!pas!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objettube1.pdf}&%\\
 106   \begin{verbatim}
 107  %nb:=16;subh:=18;
 108  ObjetTube1("(%
 109  2*(1+cos(t)),2*tan(t/2),2*sin(t)%
 110  )","(%
 111  -2*sin(t),2/((cos(t/2))**2),2*cos(t)%
 112  )", 1,-2.7468,71,0.0763);
 113  AffichageObjet1;
 114   \end{verbatim}\\
 115 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Tube creux}}&\verb!"F(t)","F'(t)"!,
 116   \verb!rayon!, \verb!umin!, \verb!nb de points!, \verb!pas!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objettube2.pdf}&%\\
 117   \begin{verbatim}
 118  %nb:=16;subh:=18;
 119  creux:=true;
 120  ObjetTube1("(%
 121  2*(1+cos(t)),2*tan(t/2),2*sin(t)%
 122  )","(%
 123  -2*sin(t),2/((cos(t/2))**2),2*cos(t)%
 124  )",1,-2.7468,71,0.0763);
 125  AffichageObjet1;
 126   \end{verbatim}\\
 127 \textcolor{red}{Cylindre de révolution creux}&\verb!"r=1","h=2"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetcylindre1.pdf}&%\\
 128   \begin{verbatim}
 129  creux:=true;
 130  %nb:=24;subh:=9;
 131  Objetcylindre1("r=2","h=4");
 132  AffichageObjet1;
 133   \end{verbatim}\\
 134 \end{tabular}
 135 \footnotetext{Le tube représenté ici est relatif à la courbe {\em
 136     horoptère}.}
 137 \end{center}
 138 \begin{center}
 139 \begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.75cm}m{6cm}>{\footnotesize}m{6.5cm}}
 140 \textcolor{red}{Cylindre de révolution plein}&\verb!"r=1","h=2"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetcylindre2.pdf}&%\\
 141   \begin{verbatim}
 142  creux:=false;
 143  %nb:=24;subh:=9;
 144  Objetcylindre1("r=2","h=4");
 145  AffichageObjet1;
 146   \end{verbatim}\\
 147 \textcolor{red}{Cône de ré\-vo\-lu\-tion creux}&\verb!"r=1","h=2"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetcone1.pdf}&%\\
 148   \begin{verbatim}
 149  creux:=true;
 150  %nb:=24;subh:=9;
 151  Objetcone1("r=1.5","h=4");
 152  AffichageObjet1;
 153   \end{verbatim}\\
 154 \textcolor{red}{Cône de ré\-vo\-lu\-tion plein}&\verb!"r=1","h=2"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetcone2.pdf}&%\\
 155 \begin{verbatim}
 156  creux:=false;
 157  %nb:=24;subh:=9;
 158  Objetcone1("r=1.5","h=4");
 159  AffichageObjet1;
 160 \end{verbatim}\\
 161 \textcolor{red}{Tronc de cône creux}&\verb!"r=1"!, \verb!"h=2"!, \verb!"H=5"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objettronccone1.pdf}&%\\
 162   \begin{verbatim}
 163  creux:=true;
 164  %nb:=24;subh:=9;
 165  Objettronccone1("r=2","h=4","H=5");
 166  AffichageObjet1;
 167   \end{verbatim}\\
 168 \textcolor{red}{Tronc de cône plein}&\verb!"r=1"!, \verb!"h=2"!, \verb!"H=5"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objettronccone2.pdf}&%\\
 169 \begin{verbatim}
 170  creux:=false;
 171  %nb:=24;subh:=9;
 172  Objettronccone1("r=2","h=2","H=3");
 173  AffichageObjet1;
 174 \end{verbatim}\\
 175 \end{tabular}
 176 \end{center}
 177 \begin{center}
 178 \begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.75cm}m{6cm}>{\footnotesize}m{6.5cm}}
 179   \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Sphère}}&\verb!"R=3"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetsphere1.pdf}&%\\
 180 \begin{verbatim}
 181  %nb:=24;subh:=18;
 182  Objetsphere1("R=2");
 183  AffichageObjet1;
 184 \end{verbatim}\\
 185   \textcolor{red}{Calotte sphérique pleine}&\verb!"r=3"!,
 186   \verb!"phib=-pi/4"!, \verb!"phih=pi/6"! (en radians)&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetcalotte1.pdf}&%\\
 187   \begin{verbatim}
 188  %nb:=24;subh:=24;
 189  Objetcalotte1(%
 190  "R=4","phib=-pi/3","phih=pi/4");
 191  AffichageObjet1;
 192   \end{verbatim}\\
 193 \textcolor{red}{Calotte sphérique creuse}&\verb!"r=3"!,
 194   \verb!"phib=-pi/4"!, \verb!"phih=pi/6"! (en radians)&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetcalotte2.pdf}&%\\
 195   \begin{verbatim}
 196  %nb:=24;subh:=24;
 197  Objetcalotte1(%
 198  "R=4","phib=-pi/3","phih=pi/4");
 199  AffichageObjet1;
 200   \end{verbatim}\\
 201   \textcolor{red}{Anneau à section rectangulaire}&\verb!"R=3"!, \verb!"r=1"!, \verb!"h=2"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetanneau1.pdf}&%\\
 202   \begin{verbatim}
 203  %subh:=24;
 204  Objetanneau1("R=4","r=3","h=1.5");
 205  AffichageObjet1;
 206   \end{verbatim}\\
 207 \textcolor{red}{Grille dans le plan $(xOy)$}&\verb!"am=-3"!,
 208 \verb!"an=2"!, \verb!"bm=-2"!, \verb!"bn=4"!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetgrille1.pdf}&%\\
 209   \begin{verbatim}
 210  %nb:=10;subh:=6;
 211  Objetgrille1("am=-2.5","an=2.5",%
 212 "bm=-1.5","bn=1.5");
 213  AffichageObjet1;
 214   \end{verbatim}\\
 215 \end{tabular}
 216 \end{center}
 217 \begin{center}
 218 \begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.75cm}m{6cm}>{\footnotesize}m{6.5cm}}
 219 \textcolor{red}{Ruban d'axe $(Oz)$}&\verb!"h=2"!,
 220 \verb!Liste des!, \verb!sommets!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetruban1.pdf}&%\\
 221   \begin{verbatim}
 222 %subh:=3;
 223 ObjetRuban2("h=2")((0,0,0),%
 224 (2,2,0),(4,0,0),(6,2,0));
 225 AffichageObjet2;
 226   \end{verbatim}\\
 227   \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{Biface\footnotemark}}&\verb!Liste! \verb!des! \verb!sommets!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetbiface1.pdf}&%\\
 228 \begin{verbatim}
 229 ObjetBiface1((5,0,0) for %
 230 t=0.06544 step 0.06544%
 231  until pi:%
 232 ,(5*(cos(t)**2),%
 233 (3*sin(t)*((cos(t))**3))%
 234 ,0) endfor);
 235 AffichageObjet1;
 236 \end{verbatim}\\
 237 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{\texttt{OFF}}}&\verb!Nom! \verb!du! \verb!fichier!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetoff1.pdf}&%\\
 238 \begin{verbatim}
 239 debut:=0;
 240 echelle:=15000;
 241 ObjetOFF1("Kangaroo.off");
 242 AffichageObjet1;
 243 \end{verbatim}\\
 244 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{\texttt{OBJ}}}&\verb!Nom! \verb!du! \verb!fichier!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetobj1.pdf}&%\\
 245 \begin{verbatim}
 246 echelle:=200;
 247 ObjetOFF1("Midpoly_03-1.obj");
 248 AffichageObjet1;
 249 \end{verbatim}\\
 250 \end{tabular}
 251 \footnotetext{Sur la figure proposée, il y a en fait quatre solides
 252   biface.}
 253 \end{center}
 254 \begin{center}
 255 \begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.75cm}m{6cm}>{\footnotesize}m{6.5cm}}
 256 \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{New}}&\verb!Liste! \verb!des!
 257   \verb!sommets!, \verb!Liste! \verb!des! \verb!faces!&\includegraphics[width=5.5cm]{figures/objetnew1.pdf}&%\\
 258 \begin{verbatim}
 259 %hexaedre tetrakis
 260 ObjetNew1((0,0,-3*sqrt(6)/4),%
 261 (-sqrt(3)/2,-3/2,-sqrt(6)/4),%
 262 (sqrt(3),0,-sqrt(6)/4),%
 263 (-sqrt(3)/2,3/2,-sqrt(6)/4),%
 264 (sqrt(3)/2,-3/2,sqrt(6)/4),%
 265 (-sqrt(3),0,sqrt(6)/4),%
 266 (sqrt(3)/2,3/2,sqrt(6)/4),%
 267 (0,0,3*sqrt(6)/4),%
 268 (-3*sqrt(3)/4,0,-3*sqrt(6)/8),%
 269 (3*sqrt(3)/8,-9/8,-3*sqrt(6)/8),%
 270 (3*sqrt(3)/8,9/8,-3*sqrt(6)/8),%
 271 (-3*sqrt(3)/8,-9/8,3*sqrt(6)/8),%
 272 (-3*sqrt(3)/8,9/8,3*sqrt(6)/8),%
 273 (3*sqrt(3)/4,0,3*sqrt(6)/8)%
 274 )(3,0,1,8,%
 275 3,0,8,3,%
 276 3,3,8,5,%
 277 3,1,5,8,%
 278 3,0,9,1,%
 279 3,0,2,9,%
 280 3,2,4,9,%
 281 3,1,9,4,%
 282 3,0,3,10,%
 283 3,0,10,2,%
 284 3,2,10,6,%
 285 3,3,6,10,%
 286 3,2,13,4,%
 287 3,2,6,13,%
 288 3,6,7,13,%
 289 3,4,13,7,%
 290 3,3,5,12,%
 291 3,3,12,6,%
 292 3,6,12,7,%
 293 3,5,7,12,%
 294 3,1,11,5,%
 295 3,1,4,11,%
 296 3,4,7,11,%
 297 3,5,11,7%
 298 );
 299 \end{verbatim}\\
 300 \end{tabular}
 301 \end{center}
 302 Pour beaucoup de ces objets, les \param{\verb!nb!} et/ou
 303 \param{\verb!subh!} sont requis et ont la possibilité d'être modifiés. Ils
 304 représentent le maillage sur chacun des objets. De manière générale,
 305 \param{\verb!nb!} représente le maillage de \og la base\fg\ du solide
 306 et \param{\verb!subh!} représente le maillage \og vertical\fg\ de
 307 l'objet.
 308 \par Pour les objets possédant une version creuse, c'est le paramètre
 309 booléen \param{\verb!creux!} qui fait la différence. Sa valeur par
 310 défaut est \verb!false!.
 311 \subsection{Compléments sur l'objet \texttt{ruban}}
 312 Le ruban est un paravent. Il s'agit simplement de positionner les
 313 sommets dans le plan $(Oxy)$ et de donner la hauteur du paravent
 314 souhaité.
 315 \\Il n'est pas toujours nécessaire de prendre une ligne \og brisée\fg\
 316 comme support de base pour le ruban.
 317 \paragraph{Exemple 1 : Un paravent sinusoïdal}\hfill\newline
 318 \begin{figure}[!ht]
 319   \centering
 320   \includegraphics[scale=0.9]{figures/rubansinus1.pdf}
 321   \caption{Un paravent sinusoïdal}
 322   \label{fig:exsyr3}
 323 \end{figure}
 324 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 325  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 326  Initialisation(500,60,20,25);
 327  nb:=10; subh:=26;
 328  eclairage:=false;%<-pour obtenir la grille en blanc
 329  outcolor:=blanc;
 330  Objetgrille1("am=-5","an=5","bm=-13","bn=13");
 331  AffichageObjet1;
 332  eclairage:=true;
 333  outcolor:=0.5[rouge,blanc]; incolor:=0.5[vert,blanc];
 334  subh:=3;
 335  ObjetRuban2("h=2")(for t=-4*pi step (pi/12) until 47*pi/12:(2*sin(t),t,0), endfor(0,4*pi,0));
 336  AffichageObjet2;
 337  TraceAxes;
 338  finespace;
 339 \end{lstlisting}
 340 \paragraph{Exemple 2 : Un paravent d'amour}\hfill\newline
 341 \begin{figure}[!ht]
 342   \centering
 343   \includegraphics{figures/rubancardioide1.pdf}
 344   \caption{Un paravent d'amour}
 345 \end{figure}
 346 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 347  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 348  Initialisation(500,60,20,25);
 349  nb:=17; subh:=20;
 350  eclairage:=false;
 351  drawoptions(withcolor gris);
 352  outcolor:=blanc;
 353  Objetgrille1("am=-5.5","an=3","bm=-5","bn=5");
 354  AffichageObjet1;
 355  drawoptions();
 356  eclairage:=true;
 357  outcolor:=0.5[rouge,blanc]; incolor:=0.5[vert,blanc];
 358  subh:=3;
 359  ObjetRuban2("h=2")(for t=-pi step pi/36 until 35*pi/36:1.5*(2*cos(t)-cos(2*t),2*sin(t)-sin(2*t),0), endfor(-4.5,0,0));
 360  AffichageObjet2;
 361  TraceAxesD(3.5,5.5,4);
 362  finespace;
 363 \end{lstlisting}
 364 \subsection{Compléments sur l'objet \texttt{prisme}}
 365 Si l'on souhaite définir un prisme avec une base peu courante, on
 366 utilisera la macro \macro{\verb!ObjetPrisme!} (avec une majuscule) de
 367 la même façon que la macro \macro{\verb!Objetprisme!} en définissant
 368 l'axe, la hauteur et la liste des sommets formant la base.
 369 \paragraph{Exemple 1 : Prisme droit à section carrée
 370   arrondie}\hfill\newline
 371 \begin{minipage}{9cm}
 372   \begin{figurefixe}
 373     \centering
 374     \includegraphics[width=8cm]{figures/prismearrondi1.pdf}
 375     \caption{Prisme droit à section carrée arrondie}
 376     \label{fig:exsyr4}
 377   \end{figurefixe}
 378 \end{minipage}
 379 \hfill
 380 \begin{minipage}{9cm}
 381   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 382  outcolor:=0.5[orange,blanc];
 383
 384  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 385  Initialisation(1500,-25,30,20);
 386  eclairage:=false;
 387  nb:=4;subh:=4;
 388  Objetgrille0("am=-2","an=2","bm=-2","bn=2");
 389  AffichageObjet0;
 390  ObjetPrisme1("axe=(0,0,1)","h=6")(for k=0 step 10 until 90:(1+cosd(k),1+sind(k),0),endfor for k=90 step 10 until 180:(cosd(k)-1,1+sind(k),0), endfor for k=180 step 10 until 270:(cosd(k)-1,sind(k)-1,0), endfor for k=270 step 10 until 350:(cosd(k)+1,sind(k)-1,0), endfor (2,1,0));
 391  AffichageObjet1;
 392  TraceAxesD(2,2,2);
 393  finespace;
 394   \end{lstlisting}
 395 \end{minipage}
 396 \paragraph{Exemple 2 : Demi-prisme droit à section couronne circulaire}\hfill\newline
 397 \begin{minipage}{9cm}
 398   \begin{figurefixe}
 399     \centering
 400     \includegraphics[width=8cm]{figures/demiprisme1.pdf}
 401     \label{fig:exsyr5}
 402   \end{figurefixe}
 403 \end{minipage}
 404 \hfill
 405 \begin{minipage}{9cm}
 406   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 407  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 408  Initialisation(500,60,30,25);
 409  outcolor:=blanc;
 410  subh:=10;
 411  Objetgrille1("am=-5","an=5","bm=-5","bn=5");
 412  AffichageObjet1;
 413  outcolor:=jaune; incolor:=rouge;
 414  nb:=1; subh:=5;
 415  angx:=90; TR:=(0,4,0);
 416  ObjetPrisme2("axe=(0,0,1)","h=8",for k=0 step 10 until 180:(3*cosd(k),3*sind(k),0), endfor for k=180 step -10 until 0:(cosd(k),sind(k),0), endfor(3,0,0));
 417  AffichageObjet2;
 418  TraceAxes;
 419  finespace;
 420 \end{lstlisting}
 421 \end{minipage}
 422 \par
 423 \begin{minipage}{9cm}
 424   \begin{figurefixe}
 425     \centering
 426     \includegraphics[width=8cm]{figures/demiprisme2.pdf}
 427     \label{fig:exsyr6}
 428   \end{figurefixe}
 429 \end{minipage}
 430 \hfill
 431 \begin{minipage}{9cm}
 432   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 433  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 434  Initialisation(500,60,30,25);
 435  outcolor:=blanc;
 436  subh:=10;
 437  Objetgrille1("am=-5","an=5","bm=-5","bn=5");
 438  AffichageObjet1;
 439  outcolor:=jaune; incolor:=rouge;
 440  nb:=1; subh:=5;
 441  angx:=90; TR:=(0,4,0);
 442  creux:=true;%<-changement en solide creux
 443  ObjetPrisme2("axe=(0,0,1)","h=8",for k=0 step 10 until 180:(3*cosd(k),3*sind(k),0), endfor for k=180 step -10 until 0:(cosd(k),sind(k),0), endfor(3,0,0));
 444  AffichageObjet2;
 445  TraceAxes;
 446  finespace;
 447   \end{lstlisting}
 448 \end{minipage}
 449 \paragraph{Exemple 2: Prisme droit creux dont la section est un
 450   bifolium régulier}\hfill\newline
 451 \begin{minipage}{8cm}
 452   \includegraphics[width=8cm]{figures/prismebifolium1.pdf}
 453 \end{minipage}
 454 \hfill
 455 \begin{minipage}{10cm}
 456   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 457  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 458  Initialisation(500,60,30,25);
 459  outcolor:=blanc;
 460  subh:=10;
 461  Objetgrille1("am=-5","an=5","bm=-5","bn=5");
 462  AffichageObjet1;
 463  outcolor:=vert; incolor:=orange;
 464  nb:=1; subh:=5;
 465  creux:=true;
 466  ObjetPrisme2("axe=(0,0,1)","h=6",for k=0 step 5 until 175:(12*sind(k)*(cosd(k)**3),12*(sind(k)**2)*(cosd(k)**2),0),endfor (0,0,0));
 467  AffichageObjet2;
 468  TraceAxes;
 469  finespace;
 470   \end{lstlisting}
 471 \end{minipage}
 472 \subsection{Compléments sur les objets \texttt{cylindre} et \texttt{cone}}
 473 S'il l'on veut généraliser la notion de cylindre, la macro
 474 \macro{\texttt{Objetcylindre}} ne suffit pas. En effet, il devient nécessaire de
 475 définir une courbe {\em directrice} et la direction de {\em l'axe du
 476   cylindre}.\\
 477 \`A cet effet, la macro \macro{\texttt{ObjetCylindre}} ({\em notez la
 478   majuscule}) a été défini.
 479 \begin{center}
 480   \macro{\verb!ObjetCylindre1(fn,umin,umax,vmin,vmax)!}
 481 \end{center}
 482 Proposons un exemple.
 483 \begin{figure}[h]
 484   \centering
 485   \includegraphics{figures/cylindreastroide1.pdf}
 486   \caption{Cylindre à base astroïdale et d'axe $(0;0;1)$}
 487 \end{figure}
 488 Définissons la courbe spatiale \param{\verb!fn!} :
 489 \verb!(3*(cos(u)**3),3*(sin(u)**3),-2+v)! de paramètre {\em obligatoire}
 490 \verb!u! et \verb!v!. C'est une astroïde tracé dans
 491 le plan $z=-2$. Les paramètres seront donc \param{\verb!umin!$=\pi$};
 492 \param{\verb!umax!$=-\pi$}, \param{\verb!vmin!=$0$} et (par exemple)
 493 \param{\verb!vmax!$=4$} pour aller jusqu'au plan $z=2$..
 494 Le code dont résulte la figure ci-dessus est donc
 495 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 496  nb:=24; subh:=12;
 497
 498  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 499  Initialisation(500,30,20,50);
 500  arcenciel:=true;
 501  incolor:=0.75[orange,blanc];
 502  ObjetCylindre1("(3*(cos(u)**3),3*(sin(u)**3),-2+v)",pi,-pi,0,4);
 503  AffichageObjet1;
 504  finespace;
 505 \end{lstlisting}
 506 \par Si l'on souhaite avoir maintenant le même cylindre partant du
 507 plan $z=0$ mais d'axe $(0;1;2)$, on codera alors
 508 \par
 509 \begin{minipage}{8cm}
 510   \includegraphics[width=8cm]{figures/cylindreastroide2.pdf}
 511 \end{minipage}
 512 \hfill
 513 \begin{minipage}{10cm}
 514   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 515  nb:=24; subh:=12;
 516
 517  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 518  Initialisation(500,30,20,50);
 519  arcenciel:=true;
 520  incolor:=0.75[orange,blanc];
 521  ObjetCylindre1("(3*(cos(u)**3),3*(sin(u)**3)+v,2*v)",pi,-pi,0,2);
 522  AffichageObjet1;
 523  finespace;
 524   \end{lstlisting}
 525 \end{minipage}
 526 L'usage de la macro \macro{\verb!ObjetCone!} (toujours avec la
 527 majuscule) est le même pour la généralisation des cônes. Toutefois, il
 528 faut ici définir une origine et les deux nappes du cône seront
 529 symétriques par rapport à cette origine.
 530 \begin{center}
 531   \macro{\verb!ObjetCone1(fn,umin,umax,zbas,"orig=...")!}
 532 \end{center}
 533 Il ne faut pas oublier de
 534 placer la courbe directrice dans le même plan que le plan de base du cône.\\Pour mieux exploiter cette
 535 fonctionnalité, voici l'exemple d'un cône dont la directrice est une
 536 branche d'épicycloïde et dont l'origine est le point $(0;1;3)$.
 537 \par
 538 \begin{minipage}{8cm}
 539   \includegraphics[width=8cm]{figures/coneepi1.pdf}
 540 \end{minipage}
 541 \hfill
 542 \begin{minipage}{10cm}
 543   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 544  nb:=48;subh:=8;
 545
 546  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 547  Initialisation(500,-10,15,30);
 548  outcolor:=0.5[vert,blanc];
 549  incolor:=orange;
 550  r:=1; q:=4;
 551  draw Fonction("(r*((q+1)*cos(t)-cos((q+1)*t)),r*((q+1)*sin(t)-sin((q+1)*t)),0)",-pi,pi,0.0628) withpen pencircle scaled1.5bp withcolor bleu;
 552  ObjetCone1("(r*((q+1)*cos(u)-cos((q+1)*u)),r*((q+1)*sin(u)-sin((q+1)*u)),0)",0,pi,-2,"orig=(0,1,3)");
 553  AffichageObjet1;
 554  TraceAxes;
 555  finespace;
 556   \end{lstlisting}
 557 \end{minipage}
 558 \subsection{Compléments sur les objets \texttt{anneau}}
 559 L'objet \macro{\texttt{Objetanneau}} propose {\em par défaut} une
 560 section rectangulaire.
 561 \par
 562 \begin{minipage}{8cm}
 563   \includegraphics{figures/sectionanneau1.pdf}
 564 \end{minipage}
 565 \hfill
 566 \begin{minipage}{9cm}
 567   \[\includegraphics{figures/Sectionanneau1.pdf}\]
 568   \begin{lstlisting}
 569     Objetannneau1("R=8","r=6","h=3");
 570   \end{lstlisting}
 571 \end{minipage}
 572 \par Pour utiliser une autre section telle que celle-ci
 573 \[\includegraphics{figures/sectionanneau2.pdf}\]
 574 on utilisera
 575 \begin{center}
 576   \macro{\verb!ObjetAnneau1("nbp=...",pp)!}
 577 \end{center}
 578 où \param{\verb!nbp!} est le nombre de sommets de la section et
 579 \param{\verb!pp!} un chemin \MP\ représentant la section souhaitée.
 580 \par
 581 \begin{minipage}{8cm}
 582   \includegraphics[width=8cm]{figures/Sectionanneau2.pdf}
 583 \end{minipage}
 584 \hfill
 585 \begin{minipage}{10cm}
 586   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 587  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 588  Initialisation(500,30,30,25);
 589  arcenciel:=true;
 590  incolor:=jaune;
 591  R:=4;
 592  subh:=24;
 593  path pp;
 594  pp=for k=0 step 10 until 90:(R+1+cosd(k),1+sind(k))-- endfor for k=90 step 10 until 180:(R+cosd(k)-1,1+sind(k))-- endfor for k=180 step 10 until 270:(R+cosd(k)-1,sind(k)-1)-- endfor for k=270 step 10 until 350:(R+cosd(k)+1,sind(k)-1)-- endfor (R+2,1)--cycle;
 595  ObjetAnneau1("nbp=42",pp);
 596  AffichageObjet1;
 597  finespace;
 598   \end{lstlisting}
 599 \end{minipage}
 600 \subsection{Compléments sur l'objet \texttt{new}}
 601 La déclaration des sommets se fait sous forme de triplets. La
 602 déclaration des faces se faisant quant à elle, sous la forme d'un
 603 $n+1$-uplet où $n$ est le nombre de sommets composant la face; le
 604 premier nombre étant d'ailleurs égal à $n$ suivi des nombres
 605 représentant les sommets de cette face : \texttt{3 4 7 8} représente
 606 une face triangulaire (3) composée des sommets 4, 7 et 8 {\em donnés
 607   dans le sens trigonométrique si l'on regarde la face de
 608   l'extérieur}.
 609 \par La déclaration des sommets et des faces peut aussi être plus
 610 complexes. Cet exemple, repris de la documentation de
 611 \verb!pst-solides3d! montre comment on peut définir à l'aide de
 612 boucles la liste des sommets et la liste des faces.
 613 \par
 614 \begin{minipage}{6cm}
 615 \includegraphics[width=6cm]{figures/hyperboloiderayonconstant1.pdf}
 616 \end{minipage}
 617 \hfill
 618 \begin{minipage}{10cm}
 619   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 620  Initialisation(500,30,20,25);
 621  a=20;b=36;h=8;
 622  zz=-h/2;
 623  ObjetNew1((sqrt(1+((zz+h)**2)/4),0,zz+h)
 624    for m=a downto 0:
 625      for n=if m=a:b-1 else:b fi downto 1:
 626        ,(sqrt(1+((zz+h*m/a)**2)/4)*cosd(n*(360 div b)),sqrt(1+((zz+h*m/a)**2)/4)*sind(n*(360 div b)),zz+h*m/a)
 627      endfor
 628    endfor
 629  )(4,a*b,b+a*b,b-1+a*b,a*b-1
 630  for m=a downto 1:
 631    for n=if m=a:m*b-1 else: m*b fi downto (m-1)*b+2:
 632      ,4,n,b+n,(b-1)+n,n-1
 633    endfor
 634    ,4,m*b+1,(m+1)*b,m*b,(m-1)*b+1
 635  endfor
 636  );
 637   \end{lstlisting}
 638 \end{minipage}
 639 \subsection{Numéroter et enlever des facettes}
 640 Lorsque le paramètre booléen \param{\verb!numeroteface!} est
 641 positionné à \verb!true!, on numérote {\em toutes} les faces {\em
 642   visibles} du solide. La police utilisée est \verb!cmr5!; on peut
 643 bien évidemment la modifier grâce à \verb!defaultfont!.
 644 \par
 645 \begin{minipage}{6cm}
 646 \includegraphics[width=6cm]{figures/cubenumerote1.pdf}
 647 \end{minipage}
 648 \hfill
 649 \begin{minipage}{10cm}
 650   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 651  defaultfont:="cmr7";
 652  Initialisation(1500,30,20,20);
 653  numeroteface:=true;%<-
 654  subh:=5;
 655  Objetcube1("a=2");
 656  AffichageObjet1;
 657  TraceAxesD(4,4,4);
 658   \end{lstlisting}
 659 \end{minipage}
 660 \par Une fois ceci fait, si le booléen \param{\verb!creux!} est positionné
 661 à \verb!true! alors on peut enlever des facettes pour voir ce qu'il se
 662 passe à l'intérieur de l'objet considéré. On définit alors l'objet
 663 puis on indique quelles sont les numéros des faces que l'on souhaite
 664 enlever grâce à \macro{\verb!ObjetEnleve1(...)!}
 665 \par
 666 \begin{minipage}{6cm}
 667   \includegraphics[width=6cm]{figures/cubecreuse1.pdf}
 668 \end{minipage}
 669 \hfill
 670 \begin{minipage}{11cm}
 671   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 672  Initialisation(1500,30,30,50);
 673  subh:=5;
 674  creux:=true;%<-
 675  Objetcube1("a=3");
 676  ObjetEnleve1(7,12,17,31,33,37,41,43,131,133,141,143);
 677  AffichageObjet1;
 678   \end{lstlisting}
 679 \end{minipage}
 680 \begin{Danger}
 681   Les numéros des faces à enlever doivent être donnés dans l'ordre croissant.
 682 \end{Danger}
 683 Si l'on souhaite enlever beaucoup de faces, une boucle \verb!for! est
 684 possible au prix d'un petit changement de syntaxe.
 685 \begin{multicols}{2}
 686   \begin{center}
 687     \includegraphics{figures/torecreuse1.pdf}
 688   \end{center}
 689   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 690  nb:=16; subh:=18;
 691
 692  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 693  Initialisation(1000,30,20,30);
 694  numeroteface:=true;
 695  arcenciel:=true;
 696  incolor:=0.5[gris,white];
 697  Objettore1("R=2","r=1");
 698  AffichageObjet1;
 699  finespace;
 700   \end{lstlisting}
 701   \par\columnbreak\par
 702   \begin{center}
 703     \includegraphics{figures/torecreuse2.pdf}
 704   \end{center}
 705   \begin{lstlisting}[frame=tb]
 706  numeroteface:=false;
 707
 708  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 709  Initialisation(1000,30,20,30);
 710  creux:=true;
 711  arcenciel:=true;
 712  incolor:=0.5[gris,white];
 713  Objettore1("R=2","r=1");
 714  string Face;
 715  Face=""&for k=133 step 2 until 193:decimal(k)&","&""& endfor decimal(195)&"";
 716  ObjetEnleve1(scantokens Face);
 717  AffichageObjet1;
 718  finespace;
 719   \end{lstlisting}
 720 \end{multicols}
 721 \subsection{Transparence}
 722 Elle est implantée grâce au booléen \param{\verb!Transparence!}
 723 positionné à \verb!false! par défaut. La couleur de transparence
 724 choisie est \param{\verb!fillcolor!} positionnée à gray par défaut.
 725 \begin{Danger}
 726   C'est une notion gourmande en ressources. Aussi, il est plutôt
 727   conseillé de l'utiliser avec des objets {\em simples}.
 728 \end{Danger}
 729 \begin{figure}[ht]
 730   \centering
 731   \includegraphics{figures/J671.pdf}
 732   \caption{Polygone de Johnson : J67}
 733 \end{figure}
 734 \section{Et pour les bouger ?}
 735 On dispose (et certains codes de la partie précédente l'ont montré) :
 736 \begin{itemize}
 737   \item des rotations autour des axes $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$;
 738   \item des translations;
 739   \item de transformations définies par l'utilisateur.
 740 \end{itemize}
 741 \subsection{Les rotations et translations}
 742 L'ordre choisi pour les utiliser est la rotation d'axe $(Ox)$; puis
 743 celle d'axe $(Oy)$; puis celle d'axe $(Oz)$ et enfin la
 744 translation. Les rotations sont définis par trois angles
 745 \param{\verb!angx!}, \param{\verb!angy!} et \param{\verb!angz!}.
 746 \begin{figure}[h]
 747   \centering
 748   \subfigure[Position%
 749   initiale]{\includegraphics[width=4cm]{figures/rotation1.pdf}}\hfill
 750   \subfigure[Position \texttt{angx:=90}]{\includegraphics[width=4cm]{figures/rotation2.pdf}}\hfill
 751   \subfigure[Position \texttt{angy:=-45}]{\includegraphics[width=4cm]{figures/rotation3.pdf}}\hfill
 752   \subfigure[Position \texttt{angz:=57}]{\includegraphics[width=4cm]{figures/rotation4.pdf}}\hfill
 753   \caption{Utilisation des rotations.}
 754 \end{figure}
 755 \par Pour les translations, le paramètre est \param{\verb!TR!} de type
 756 \verb!color!.
 757 \begin{figure}[h]
 758   \centering
 759   \includegraphics{figures/translation1.pdf}
 760   \caption{Utilisation des translations.}
 761 \end{figure}
 762 \begin{Danger}
 763   Si un fichier \MP\ comporte plusieurs figures, n'oubliez pas de
 764   remettre les paramètres angulaires et de translation à leur valeur
 765   d'origine. Sinon, vous pourriez bien vous tirer les cheveux pour
 766   savoir où se situe votre erreur\footnotemark\ldots
 767 \end{Danger}
 768 \footnotetext{Croyez-moi par expérience ;-)}
 769 \subsection{Les transformations propres à l'utilisateur}
 770 On dispose d'un booléen \param{\verb!transformation!} (positionné à
 771 \texttt{false} par défaut) pour indiquer la transformation nécessaire
 772 des sommets de l'objet considéré.
 773 \\La transformation proprement dite, quant à elle, doit être définie
 774 par une macro \macro{Transform} (attention à la majuscule).
 775 \paragraph{Facteurs d'échelle}
 776 \[\left\{\begin{array}{l}
 777 x'=1,25x\\
 778 y'=0,75y\\
 779 z=0,5z\\
 780 \end{array}
 781 \right.\]
 782 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 783  vardef Transform(expr PT)=
 784    save $;
 785    color $;
 786    Xpart($)=1.25*Xpart(PT);
 787    Ypart($)=0.75*Ypart(PT);
 788    Zpart($)=0.5*Zpart(PT);
 789    $
 790  enddef;
 791
 792  outcolor:=jaune; incolor:=0.5[vert,blanc];
 793
 794  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 795  Initialisation(500,50,20,15);
 796  nb:=24; subh:=36;
 797  outcolor:=0.5[rouge,blanc];
 798  Objettore1("R=4","r=2");
 799  AffichageObjet1;
 800  TraceAxes;
 801  finespace;
 802
 803  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
 804  Initialisation(500,50,20,15);
 805  nb:=24; subh:=36;
 806  transformation:=true;%<-Pour appliquer la transformation choisie.
 807  outcolor:=0.5[rouge,blanc];
 808  Objettore1("R=4","r=2");
 809  AffichageObjet1;
 810  TraceAxes;
 811  finespace;
 812  end
 813 \end{lstlisting}
 814 \[\includegraphics{figures/Facteurechelle1.pdf}\kern1cm\includegraphics{figures/Facteurechelle2.pdf}\]
 815 \paragraph{Transformation liée à la distance du point à l'origine}
 816 \[\left\{\begin{array}{l}
 817 x'=(0,5\sqrt{x^2+y^2+z^2}+1-0,5\sqrt3)x\\
 818 y'=(0,5\sqrt{x^2+y^2+z^2}+1-0,5\sqrt3)y\\
 819 z'=(0,5\sqrt{x^2+y^2+z^2}+1-0,5\sqrt3)z\\
 820 \end{array}
 821 \right.\]
 822 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 823  vardef Transform(expr PT)=
 824    save $; color $;
 825    Xpart($)=Xpart(PT)*(0.5*Norm(PT)+1-0.5*sqrt(3));
 826    Ypart($)=Ypart(PT)*(0.5*Norm(PT)+1-0.5*sqrt(3));
 827    Zpart($)=Zpart(PT)*(0.5*Norm(PT)+1-0.5*sqrt(3));
 828    $
 829  enddef;
 830
 831  arcenciel:=true;
 832
 833  figureespace(-6u,-6u,6u,6u);
 834  fill feuillet;
 835  Initialisation(500,60,20,50);
 836  subh:=9;
 837  transformation:=true;
 838  Objetcube1("a=3");
 839  AffichageObjet1;
 840  finespace;
 841 \end{lstlisting}
 842 \begin{figure}[!h]
 843   \centering
 844   \includegraphics{figures/Transforigine1.pdf}
 845   \caption{Déformation d'un cube}
 846   \label{fig:exsyr7}
 847 \end{figure}
 848 \paragraph{Torsion d'une poutre}
 849 \[M'=\mbox{Rotation}(M,(Oz),10\mbox{\degres}*z_{M})\]
 850 appliqué à un prisme de hauteur 10.
 851 \begin{figure}[!ht]
 852   \centering
 853   \subfigure[Avant
 854   torsion]{\includegraphics{figures/Torsion1.pdf}}\kern1cm\subfigure[Après torsion]{\includegraphics{figures/Torsion2.pdf}}
 855   \caption{Torsion d'une poutre}
 856   \label{fig:exsyr8}
 857 \end{figure}
 858 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 859  vardef Transform(expr PT)=%pour la torsion.
 860    save $; color $;
 861    angz:=subh*(Zpart(PT));
 862    $=RotXYZ(PT);
 863    $
 864  enddef;
 865
 866  unit:=0.75;
 867
 868  figureespace(-2u,-2u,2u,10u);
 869  Initialisation(500,50,20,35);
 870  outcolor:=blanc;
 871  subh:=8;
 872  Objetgrille1("am=-2","an=2","bm=-2","bn=2");
 873  nb:=2; subh:=20;
 874  outcolor:=0.5[rouge,blanc];
 875  Objetprisme2("axe=(0,0,1)","h=10")((0.5,-0.5,0),(0.5,0.5,0),(-0.5,0.5,0),(-0.5,-0.5,0));
 876  nbobj:=2;
 877  DessineFusion;
 878  finespace;
 879
 880  figureespace(-2u,-2u,2u,10u);
 881  Initialisation(500,50,20,25);
 882  outcolor:=blanc;
 883  subh:=8;
 884  Objetgrille1("am=-2","an=2","bm=-2","bn=2");
 885  nb:=2; subh:=20;
 886  transformation:=true;
 887  outcolor:=0.5[rouge,blanc];
 888  Objetprisme2("axe=(0,0,1)","h=10")((0.5,-0.5,0),(0.5,0.5,0),(-0.5,0.5,0),(-0.5,-0.5,0));
 889  nbobj:=2;
 890  DessineFusion;
 891  finespace;
 892 \end{lstlisting}
 893 \paragraph{Flexion d'une poutre encastrée}
 894 On exerce une force au sommet de la poutre dans la direction
 895 $(Ox)$. La rotation se fait alors suivant l'axe $(Oy)$ d'un angle
 896 proportionnel à la force exercée et à la distance au sol.
 897 \begin{figure}[!ht]
 898   \centering
 899   \subfigure[Avant
 900   flexion]{\includegraphics{figures/Flexion1.pdf}}\kern1cm\subfigure[Après flexion]{\includegraphics{figures/Flexion2.pdf}}
 901   \caption{Flexion d'une poutre encastrée}
 902 \end{figure}
 903 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 904  vardef Transform(expr PT)=%pour la flexion.
 905    save $; color $;
 906    angy:=2*(Zpart(PT));
 907    $=RotXYZ(PT);
 908    $
 909  enddef;
 910
 911  unit:=0.75;
 912
 913  figureespace(-3u,-3u,3u,10u);
 914  Initialisation(500,50,20,35);
 915  outcolor:=blanc;
 916  subh:=8;
 917  Objetgrille1("am=-2","an=2","bm=-2","bn=2");
 918  nb:=2; subh:=20;
 919  transformation:=true;
 920  outcolor:=0.5[rouge,blanc];
 921  ObjetPrisme2("axe=(0,0,1)","h=10")((0.5,-0.5,0),(0.5,0.5,0),(-0.5,0.5,0),(-0.5,-0.5,0));
 922  nbobj:=2;
 923  DessineFusion;
 924  finespace;
 925 \end{lstlisting}
 926 Voici enfin l'exemple de la banane ! Il m'a été demandé pour un cours de topologie. Je n'y comprends rien :) mais cela montre {\em l'enchaînement} de deux transformations :
 927 \begin{itemize}
 928 \item la première est appliquée à l'objet \texttt{sphere};
 929 \item la deuxième est aplliquée à l'objet résultant de la première transformation.
 930 \end{itemize}
 931 \begin{figure}[!ht]
 932   \centering
 933   \subfigure[Avant
 934   les transformations]{\includegraphics{figures/Banane1.pdf}}\kern1cm\subfigure[Après les transformations]{\includegraphics{figures/Banane2.pdf}}
 935   \caption{Transformation d'une sphère en \og banane\fg}
 936 \end{figure}
 937 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 938   vardef Transform(expr PT)=
 939   save $ ; color $ ;
 940   Xpart($)=0.6*Xpart(PT);
 941   Ypart($)=0.6*Ypart(PT);
 942   Zpart($)=1.75*Zpart(PT);
 943   $
 944 enddef ;
 945
 946 figureespace(-7u,-7u,7u,7u);
 947 fill feuillet;
 948 Initialisation(1500,-60,10,50);
 949 nb:=12;
 950 subh:=12;
 951 outcolor:=jaune;
 952 Objetsphere1("R=2");
 953
 954 transformation:=true;
 955 ObjetDeplacement2(1);
 956
 957 vardef Transform(expr PT)=
 958     save $ ; color $ ;
 959   angy:=10*(Zpart(PT));
 960   $=RotXYZ(PT);
 961     $
 962 enddef ;
 963
 964 outcolor:=jaune;
 965 ObjetDeplacement3(2);
 966 AffichageObjet3;
 967 \end{lstlisting}
 968 \section{Ces objets, on peut les couper ?}
 969 \begin{Danger}
 970   Il n'y a que la section d'un objet par un plan qui est implanté. Et
 971   même avec cela, les \texttt{arithmetic overflow} sont assez
 972   courants. On peut avoir également des erreurs de précisions qui
 973   entraînent certaines représentations non conformes.\\Malgré ces
 974   limitations, \MP\ est capable de nous procurer de bien jolies
 975   figures. On peut l'aider en modifiant les paramètres
 976   \param{\texttt{nb}} et \param{\texttt{subh}} pour permettre de
 977   lever ces {\em petits} soucis.
 978 \end{Danger}
 979 On va donc pouvoir couper les différents objets par un plan. Les
 980 objets seront {\em nécessairement} creux. Pour cela, on va définir un
 981 plan par la macro \macro{\verb!ObjetPlan!} qui accepte comme paramètres
 982 trois points formant le plan. Définir un plan par une équation
 983 cartésienne ou par un point et un vecteur normal n'est pas implanté.
 984 On écrira donc\par
 985 \begin{lstlisting}[frame=tb]
 986   ObjetPlan1("An=(0,0,0)","Bn=(1,2,0.25)","Cn=(4,-2,1)");
 987 \end{lstlisting}
 988 pour définir le plan d'équation $x=4z$.
 989 Une fois le plan défini, on utilise la macro
 990 \macro{\verb!ObjetSepare2(5,7)!} où 2 est le numéro de l'objet à
 991 couper; 5 et 7 étant les numéros des objets résultants de la coupe : 7
 992 pour la partie \og haute\fg\, 5 pour la partie \og base\fg.
 993 \par Dans l'exemple ci-dessous, on a coupé une sphère de centre $O$ et
 994 de rayon 1 par le plan $x+y+z=1$.
 995 \begin{minipage}{8cm}
 996   \begin{figurefixe}
 997     \centering
 998     \includegraphics{figures/sectionsphere1.pdf}
 999     \caption{Section d'une sphère.}
1000   \end{figurefixe}
1001 \end{minipage}
1002 \hfill
1003 \begin{minipage}{9cm}
1004   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1005  figureespace(-100u,-100u,100u,100u);
1006  Initialisation(2500,60,30,75);
1007  creux:=true;
1008  outcolor:=jaune;
1009  incolor:=0.5[vert,white];
1010  nb:=30;
1011  subh:=19;
1012  Objetsphere15("R=1");
1013  Objetplan21("An=(1,0,0)","Bn=(0,1,0)",%
1014 "Cn=(0,0,1)");
1015  ObjetSepare15(3,4);
1016  AffichageObjet3;
1017  TraceAxesD(2,2,2);
1018  finespace;
1019 \end{lstlisting}
1020 \end{minipage}
1021 \par Voici la section d'un tore par le plan d'équation $x=4z$.
1022 \par
1023 \begin{minipage}{8cm}
1024   \begin{figurefixe}
1025     \centering
1026     \includegraphics[width=8cm]{figures/sectiontore1.pdf}
1027     \caption{Section d'un tore.}
1028   \end{figurefixe}
1029 \end{minipage}
1030 \hfill
1031 \begin{minipage}{9cm}
1032 \begin{lstlisting}[frame=tb]
1033  figureespace(-100u,-100u,100u,100u);
1034  Initialisation(2500,60,30,75);
1035  creux:=true;
1036  outcolor:=jaune;
1037  incolor:=0.5[vert,white];
1038  nb:=30;
1039  subh:=20;
1040  Objettore15("R=2","r=0.75");
1041  Objetplan21("An=(1,0,0.25)","Bn=(2,1,0.5)","Cn=(-1,0,-0.25)");
1042  ObjetSepare15(3,4);
1043  AffichageObjet3;
1044  finespace;
1045 \end{lstlisting}
1046 \end{minipage}
1047 \par Un autre exemple (voir figure \ref{fig:sectioncube}) où on coupe
1048 un cube d'arête 2 centré sur $O$ par le même plan d'équation $x=4z$
1049 que ci-dessus.
1050 \begin{figure}[!ht]
1051   \centering
1052   \subfigure[Section d'un
1053   cube]{\includegraphics{figures/sectioncube1.pdf}}\hfill\subfigure[en
1054   vue de
1055   dessus]{\includegraphics{figures/sectioncube3.pdf}}\hfill\subfigure[en vue de face]{\includegraphics{figures/sectioncube2.pdf}}
1056   \caption{Sections d'un cube}
1057   \label{fig:sectioncube}
1058 \end{figure}
1059 \begin{lstlisting}[frame=tb]
1060  figureespace(-100u,-100u,100u,100u);
1061  Initialisation(2500,60,30,75);
1062  creux:=true;
1063  outcolor:=jaune;
1064  incolor:=0.5[vert,white];
1065  nb:=30;
1066  subh:=5;
1067  Objetcube15("a=2");
1068  Objetplan21("An=(1,0,0.25)","Bn=(0,1,0)","Cn=(4,0,1)");
1069  ObjetSepare15(3,4);
1070  AffichageObjet4;
1071  TraceAxesD(2,2,2);
1072  finespace;
1073 \end{lstlisting}
1074 \newpage
1075 On peut également enchaîner les coupes\footnote{Mais là, je ne
1076   garantis pas les résultats.}.\par
1077 \begin{minipage}{8cm}
1078   \begin{figurefixe}
1079     \centering
1080     \includegraphics[width=8cm]{figures/doublesectioncone1.pdf}
1081     \caption{Double section d'un cône}
1082   \end{figurefixe}
1083 \end{minipage}
1084 \hfill
1085 \begin{minipage}{9cm}
1086   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1087  figureespace(-100u,-100u,100u,100u);
1088  Initialisation(2500,-60,30,75);
1089  creux:=true;
1090  outcolor:=jaune;
1091  incolor:=0.5[vert,white];
1092  nb:=30; subh:=11;
1093  angx:=90; TR:=(0,5,0);
1094  Objetcone15("r=2","h=10");
1095  angx:=0; TR:=(0,0,0);
1096  Objetplan21("An=(1,-1,0)","Bn=(2,-2,1)","Cn=(-2,2,1)");
1097  ObjetSepare15(1,2);
1098  Objetplan22("An=(1,1,0)","Bn=(2,2,1)","Cn=(-2,-2,1)");
1099  ObjetSepare1(3,4);
1100  AffichageObjet3;
1101  finespace;
1102 \end{lstlisting}
1103 \end{minipage}
1104 \section{La fusion ? C'est parti !}
1105 Une fois que l'on dispose de tous ces objets, on peut les fusionner
1106 pour créer une scène. La méthode mise en place est la suivante :
1107 \begin{itemize}
1108 \item On définit les objets les uns après les autres en leur
1109   attribuant, si besoin est, les couleurs \param{\verb!outcolor!} et \param{\verb!incolor!};
1110 \item puis on fusionne tous ces objets. Simple, non ?
1111 \end{itemize}
1112 Prenons un exemple:\par
1113 \begin{minipage}{8cm}
1114   \begin{figurefixe}
1115     \centering
1116       \includegraphics[width=6cm]{figures/fusionsyr1.pdf}
1117     \caption{Un tore et un cône}
1118     \label{fig:fusionsyr1}
1119   \end{figurefixe}
1120 \end{minipage}
1121 \hfill
1122 \begin{minipage}{10cm}
1123   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1124  %5''
1125  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
1126  Initialisation(500,10,20,50);
1127  outcolor:=rouge;
1128  nb:=18; subh:=24;
1129  Objetcone1("r=2.5","h=5");
1130  outcolor:=bleu;
1131  angy:=20; TR:=(0,0,2);
1132  Objettore2("R=2","r=0.5");
1133  nbobj:=2;
1134  DessineFusion;
1135  finespace;
1136   \end{lstlisting}
1137 \end{minipage}
1138 Convaincu de la simplicité ? Non ? Alors en voici un autre :\par
1139 \begin{minipage}{8cm}
1140   \begin{figurefixe}
1141     \centering
1142     \includegraphics[width=7cm]{figures/fusionphan1.pdf}
1143     \caption{Une hélice entourant un cylindre}
1144   \end{figurefixe}
1145 \end{minipage}
1146 \hfill
1147 \begin{minipage}{10cm}
1148   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1149  %30''
1150  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
1151  Initialisation(500,60,40,50);
1152  angy:=90; TR:=(-1,0,0);
1153  nb:=18; subh:=24;
1154  outcolor:=blanc;
1155  Objetcylindre1("r=0.5","h=7");
1156  TR:=(0,0,0);
1157  nb:=12;
1158  ObjetTube2("(sin(t),cos(t),t/5)","(cos(t),-sin(t),1/5)",0.25,-5,165,0.2);
1159  nbobj:=2;
1160  DessineFusion;
1161  finespace;
1162   \end{lstlisting}
1163 \end{minipage}
1164 La fusion se fait donc par l'usage de la macro
1165 \macro{\verb!DessineFusion!} qui fusionne tous les objets créés
1166 précédemment. Elle dépend de \param{nbobj} qui lui indique le nombre
1167 d'objets à fusionner. La numérotation des objets prend ici tout son
1168 sens. C'est ce qui permet à la macro de retrouver ses petits\ldots
1169 \par\begin{minipage}{8cm}
1170   \includegraphics[width=8cm]{figures/fusionhorop1.pdf}
1171 \end{minipage}
1172 \hfill
1173 \begin{minipage}{10cm}
1174   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1175  figureespace(-20u,-20u,20u,20u);
1176  Initialisation(500,60,20,30);
1177  creux:=true;
1178  nb:=16; subh:=18;
1179  outcolor:=blanc;
1180  incolor:=0.5[vert,white];
1181  angx:=90; TR:=(2,9,0);
1182  Objetcylindre1("r=1","h=18");
1183  outcolor:=0.5[jaune,blanc];
1184  incolor:=0.5[violet,blanc];
1185  angx:=0; TR:=(0,0,0);
1186  ObjetTube2("(2*(1+cos(t)),2*tan(t/2),2*sin(t))","(-2*sin(t),2/((cos(t/2))**2),2*cos(t))",1,-2.7468,71,0.0763);
1187  nbobj:=2;
1188  DessineFusion;
1189  finespace;
1190   \end{lstlisting}
1191 \end{minipage}
1192 \par Un autre exemple avec des solides creusés manuellement.\par
1193 \begin{minipage}{8cm}
1194   \includegraphics[width=8cm]{figures/fusionsolidescreux1.pdf}
1195 \end{minipage}
1196 \hfill
1197 \begin{minipage}{9cm}
1198   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1199  nb:=12; subh:=36;
1200
1201  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
1202  Initialisation(1500,20,20,50);
1203  creux:=true;
1204  outcolor:=0.5[jaune,white];
1205  incolor:=0.5[vert,white];
1206  Objetanneau1("R=4","r=3","h=1.5");
1207  ObjetEnleve1(135,136,137,138,%
1208 139,140,150,151,152,153,154,155);
1209  angx:=90;
1210  TR:=(0,0,2);
1211  outcolor:=0.5[bleu,white];
1212  incolor:=0.5[rouge,white];
1213  Objetsphere2("R=2");
1214  ObjetEnleve2(232,233,234,235,%
1215 236,237,238,239);
1216  nbobj:=2;
1217  DessineFusion;
1218  finespace;
1219 \end{lstlisting}
1220 \end{minipage}
1221 \subsection{Deux anneaux}
1222 \begin{minipage}{8cm}
1223   \includegraphics[width=8cm]{figures/exfusion1.pdf}
1224 \end{minipage}
1225 \hfill
1226 \begin{minipage}{10cm}
1227   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1228  outcolor:=0.5[rouge,blanc];
1229
1230  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
1231  Initialisation(500,40,20,100);
1232  nb:=10;
1233  ObjetTube1("(cos(t),sin(t),0.25)","(-sin(t),cos(t),0)",0.15,0,50,0.12566);
1234  angx:=90; TR:=(-1,-0.1,0.5);
1235  ObjetTube2("(cos(t),sin(t),0.25)","(-sin(t),cos(t),0)",0.15,0,50,0.12566);
1236  nbobj=2;
1237  DessineFusion;
1238  finespace;
1239   \end{lstlisting}
1240 \end{minipage}
1241 \subsection{Trois calottes}
1242 \begin{minipage}{8cm}
1243   \includegraphics[width=8cm]{figures/exfusion11.pdf}
1244 \end{minipage}
1245 \hfill
1246 \begin{minipage}{10cm}
1247   \begin{lstlisting}[frame=tb]
1248  outcolor:=0.5[ciel,blanc]; incolor:=0.5[jaune,blanc];
1249
1250  nb:=24;
1251
1252  figureespace(-10u,-10u,10u,10u);
1253  Initialisation(500,30,10,50);
1254  angy:=80;
1255  subh:=24;
1256  creux:=true;
1257  Objetcalotte1("R=2","phib=-pi/2","phih=pi/6");
1258  outcolor:=0.5[rouge,blanc];
1259  incolor:=0.5[vert,blanc];
1260  TR:=(1,0,0);
1261  Objetcalotte2("R=1.5","phib=-pi/2","phih=pi/6");
1262  outcolor:=0.5[orange,blanc];
1263  incolor:=0.5[gris,blanc];
1264  TR:=(2,0,0);
1265  Objetcalotte3("R=1","phib=-pi/2","phih=pi/6");
1266  nbobj:=3;
1267  DessineFusion;
1268  finespace;
1269   \end{lstlisting}
1270 \end{minipage}