2 \documentclass[a4paper,fleqn
]{article
}
3 \usepackage[utf8
]{inputenc}
4 \usepackage[T1]{fontenc}
5 \usepackage{amsmath,amssymb
}
6 \usepackage[frenchb
]{babel
}
8 \usepackage[charter
]{mathdesign
}
9 \usepackage[margin=
2.5cm
]{geometry
}
12 \usepackage[svgnames
]{xcolor
}
14 \usepackage[nomessages
]{fp
}
16 \usepackage{pst-plot,pst-solides3d,pst-anamorphosis-add,pst-
3d
}
18 \usepackage[absolute,notitlepage
]{pst-abspos
}
21 \def\epsRoot{C:/Dokumente und Einstellungen/Besitzer/Desktop/bergen/bergen/
}
23 \renewcommand{\ttdefault}{lmtt
}
25 \definecolor{syracuseGRIS
}{HTML
}{C1C1C1
}
26 \definecolor{syracuseVERT
}{HTML
}{029235}
28 \definecolor{sepia
}{rgb
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0.8,
0.8}
29 \definecolor{grisclair
}{rgb
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0.8,
0.8}
30 \definecolor{BleuCiel
}{cmyk
}{0.2,
0,
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0}
31 \definecolor{OrangePale
}{cmyk
}{0,
0.2,
0.4,
0}
36 basicstyle=
\ttfamily\small,
%
37 texcsstyle=*
\color{blue
},
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38 identifierstyle=
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40 otherkeywords=
{$, \
{, \
}, \
[, \
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\color{syracuseVERT
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43 backgroundcolor=
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30},
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%
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%
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%
62 %morekeywords=[7]{(,)},%
63 %keywordstyle=[7]\color{syracuseVERT}
66 \renewcommand{\lstlistingname}{Source
}
67 \renewcommand{\labelitemi}{$
\bullet$
}
70 \newcommand\cs[1]{\texttt{\char`\\
#1}}
71 \newcommand\file[1]{\texttt{#1}}
76 \def\syracuseTitle{Les anamorphoses : pr\'
{e
}sentation th\'
{e
}orique
}
77 %\def\syracuseGraphic{eiffel2}
82 %% === BEGIN == Page de garde =================================================
87 \begin{pspicture
}(
0,
0)(
21,
29.7)
88 \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseVERT,fillcolor=syracuseVERT
](
0,
0)(
10.5,
14.85)(
21,
0)
89 \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS,fillcolor=syracuseGRIS
](
0,
0)(
21,
29.7)(
0,
29.7)
90 \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS!
50,fillcolor=syracuseGRIS!
50](
21,
0)(
10.5,
14.85)(
21,
29.7)
93 \pstPutAbs(
2.5,-
3.75)
{%
94 \includegraphics[scale=
1]{pst-anamorphosis
}
96 \pstPutAbs(
2.5,-
5.25)
{%
97 \LARGE \textbf{\syracuseTitle}
99 \pstPutAbs(
2.5,-
13.5)
{%
100 \begin{pspicture
}(
0,
0)(
8,
8)
101 \rput(
4,
4)
{\includegraphics[height=
8cm
]{eiffel
}}
102 %\rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{\syracuseGraphic}}
106 \pstPutAbs(
12.5,-
15)
{%
107 \parbox{0.4\textwidth}{\Large\raggedleft
108 {\LARGE\textbf{Contributeurs
}}\\
[0.2cm
]
109 J\"
{u
}rgen
\textsc{Gilg
}\\
110 Manuel
\textsc{Luque
}\\
111 Jean-Michel
\textsc{Sarlat
}
115 \textcolor{white
}{\textbf{\today}}\\
[0.3cm
]
116 \textcolor{white
}{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/
}}\\
117 \includegraphics[scale=
0.4]{logo_syracuse
}
120 %% == END == Page de garde ====================================================
124 \section{L'anamorphose cylindrique
}
126 On place \`
{a
} l'int\'
{e
}rieur du cylindre l'image telle qu'elle doit \^
{e
}tre vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique (on peut la placer \`
{a
} l'ext\'
{e
}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'
{e
}form\'
{e
}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'
{e
}elles.
128 Objet et image ob\'
{e
}issent aux lois de la r\'
{e
}flexion de l'optique g\'
{e
}om\'
{e
}trique :
130 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi appartiennent \`
{a
} un m\^
{e
}me plan ;
131 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi sont sym\'
{e
}triques par rapport \`
{a
} la normale au miroir au point d'incidence.
134 \def\oeil{\psarc[linewidth=
2pt
](
0,
2.5)
{2.5}{215}{270}%
135 \psarc[linewidth=
2pt
](
0,-
2.5)
{2.5}{90}{140}%
136 \psarc(-
2.5,
0)
{1}{-
30}{30}%
137 \psarc(
0,
0)
{1.75}{160}{200}
139 \pscircle[linestyle=none
](
0,
0)
{1.75}}
140 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray
](-
2.5,
0)
{0.9}
144 \begin{pspicture
}(-
2,-
6)(
15,
6)
146 \newcommand\Rmirror{3}
147 \psset{viewpoint=-
1 -
1 1}
148 \ThreeDput[normal=
0 0 1](
0,
0,
0)
{%
150 \pscircle[doubleline=true
]{\Rmirror}
151 \multido{\i=-
2+
1,
\I=-
2+
1}{5}{%
152 \pnode(!
\i\space -
2)
{A
}
153 \pnode(!
\i\space 2)
{B
}
161 \input{LouisXIII.pst
}
162 \input{ALouisXIII.pst
}
163 \pstextA[fontsize=
28,linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=yellow!
50](
0,
2)
{LouisXIII
}
165 \FPmul{\largeur}{\Rmirror}{0.1745}
168 \FPmul{\tempa}{\FPpi}{\the\n}
169 \FPdiv{\angle}{\tempa}{180}
170 \FPsin{\SIN}{\angle}\FPcos{\COS}{\angle}
171 \FPmul{\xc}{\COS}{\Rmirror}
172 \FPmul{\yc}{\SIN}{\Rmirror}
173 \ThreeDput[normal=
{\COS} {\SIN} 0.0001](
\xc,
\yc,
0)
{%
174 \psframe[fillstyle=vlines,hatchangle=
0,linestyle=none,hatchcolor=BleuCiel,
](
0,
0)(
\largeur,
5)
}
175 \ifnum\n<
315 \advance\n by
10
177 \ThreeDput[normal=
0.707 -
0.707 0.001](
2.121,-
2.121,
0)
{%
178 \psline[linewidth=
2\pslinewidth](
0,
5)
}
179 \ThreeDput[normal=
0.707 -
0.707 0.001](-
2.121,
2.121,
0)
{%
180 \psline[linewidth=
2\pslinewidth](
0,
5)
}
181 \ThreeDput[normal=
0 0 1](
0,
0,
5)
{%
182 \pscircle[doubleline=true
]{\Rmirror}
184 \ThreeDput[normal=-
1 0 0](
0,
0,
0)
{%
186 \rput{26.5}(
21.5,
10.8)
{\oeil}
187 \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue
](
20,
10)
%
188 \psset{arrowsize=
0.5,linecolor=red,linewidth=
2\pslinewidth}
189 \psline{->
}(
3,
1.5)(
10,
5)
190 \psline(
3,
1.5)(
20,
10)
191 \psline{->
}(
6,
0)(
4.5,
0.75)
193 \uput[ur
](
20,
10)
{\color{red
}{$V$
}}
194 \uput[u
](
3,
1.5)
{\color{red
}{$I$
}}
195 \uput[u
](
6,
0)
{\color{red
}{$P'$
}}
200 L'image non d\'
{e
}form\'
{e
}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'
{e
}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'
{e
}fl\'
{e
}chit sur le miroir et apr\`
{e
}s r\'
{e
}flexion parvient \`
{a
} l'
{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'
{e
}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
202 L'observateur est suffisamment \'
{e
}loign\'
{e
} du miroir pour pouvoir \^
{e
}tre consid\'
{e
}r\'
{e
} comme ponctuel.
204 Soit $P$ un point de l'image(not\'
{e
} $A'$ dans le sch\'
{e
}ma ci-apr\`
{e
}s), $V$ l'
{\oe}il de l'observateur. Tra
\c{c
}ons un droite $(PV)$ et d\'
{e
}terminons le point d'intersection $I$ avec le cylindre : c'est le point d'incidence.
206 V(x_V,y_V,z_V)
\quad\text{ et
}\quad P(x_P,y_P,
0)
208 L'\'
{e
}quation param\'
{e
}trique de la droite $(PV)$ s'\'
{e
}crit $
\overrightarrow{IV
}=
\rho\overrightarrow{PV
}$:
209 \begin{equation
}\label{eq:paracyl
}
212 x_V-x_I&=&
\rho(x_V-x_P)\\
213 y_V-y_I&=&
\rho(y_V-y_P)\\
214 z_V-z_I&=&
\rho(z_V-
0)
220 x_I&=&x_V(
1-
\rho)+
\rho x_P\\
221 y_I&=&y_V(
1-
\rho)+
\rho y_P\\
227 \begin{pspicture
}(-
4,-
0.5)(
6.5,
8)
238 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](G')(G)(S)(S')
239 \psaxes[ticks=none,labels=none
]{->
}(
0,
0)(-
4,
0)(
6.5,
7.5)
241 \uput[90](
0,
7.5)
{$z$
}
248 \psline[linestyle=dashed
](
3;
0)
%
250 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{-
90}{-
54.46}%
251 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{54.46}{90}
252 \uput[72](
1.2;
72)
{$
\varepsilon$
}%
253 \uput[-
72](
1.2;-
72)
{$
\varepsilon$
}%
254 \rput{-
90}(
0,
0)
{\psframe(
0.3,
0.3)
}
256 \psline[linecolor=red
](V)(I)(P')
257 \pcline[nodesepB=
1.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(P')(I)
258 \pcline[nodesepB=
2.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
264 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.2)(
1,-
0.2)
265 \uput[-
90](
0.5,-
0.2)
{$r_P$
}
266 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(
0,
2.8)(
3,
2.8)
267 \uput[-
90](
1.5,
2.8)
{$r_I=R$
}
270 Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonn\'
{e
}es v\'
{e
}rifient la relation :
271 \begin{equation
}\label{eq:cylindre
}
274 (
\ref{eq:paracyl
}) en (
\ref{eq:cylindre
}) et apr\`
{e
}s d\'
{e
}veloppement, on obtient l'\'
{e
}quation du second degr\'
{e
} en $
\rho$:
276 \left(x_V(
1-
\rho)+
\rho x_P
\right)^
2+
\left(y_V(
1-
\rho)+
\rho y_P
\right)^
2=R^
2\\
277 x_V^
2(
1-
2\rho+
\rho^
2)+
2(
1-
\rho)
\rho x_Vx_P+
\rho^
2 x_P^
2+y_V^
2(
1-
2\rho+
\rho^
2)+
2(
1-
\rho)
\rho y_Vy_P+
\rho^
2 y_P^
2=R^
2\\
278 (x_V^
2+y_V^
2-
2x_Vx_P-
2y_Vy_P)
\rho^
2+
2(-x_V^
2+x_Vx_P-y_V^
2+y_Vy_P)
\rho+x_V^
2+y_V^
2=R^
2
288 a&=&(x_V-x_P)^
2+(y_V-y_P)^
2\\
289 2b'&=&x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^
2-y_V^
2\\
294 La r\'
{e
}solution de cette \'
{e
}quation nous donne les solutions classiques:
298 \rho'&=&
\dfrac{-b'+
\sqrt{\Delta'
}}{a
}\\
[0.5cm
]
299 \rho''&=&
\dfrac{-b'-
\sqrt{\Delta'
}}{a
}
302 \qquad \Delta'=b'^
2-ac
304 On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $
\rho$.
306 $(IV)$ repr\'
{e
}sente le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'
{e
}fini par la droite sym\'
{e
}trique de $(IV)$ par rapport \`
{a
} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'
{e
}trique de $V$, nomm\'
{e
} $V'$ par rapport \`
{a
} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
308 \item $
\overrightarrow{IV
}+
\overrightarrow{IV'
}=k
\overrightarrow{IN
}$
309 \item $
\overrightarrow{VV'
}.
\overrightarrow{IN
}=
0$
311 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $
\overrightarrow{IN
}(x_I,y_I,
0)$
313 La premi\`
{e
}re condition se traduit par :
317 x_V-x_I+x_
{V'
}-x_I&=&kx_I\\
318 y_V-x_I+y_
{V'
}-y_I&=&ky_I\\
319 z_V-z_I+z_
{V'
}-z_I&=&
0
325 x_
{V'
}&=&kx_I+
2x_I-x_V\\
326 y_
{V'
}&=&ky_I+
2y_I-y_V\\
331 La deuxi\`
{e
}me par :
333 (x_
{V'
}-x_V)x_I+(y_
{V'
}-y_V)y_I=
0
335 En rempla
\c{c
}ant $x_
{V'
}$ et $y_
{V'
}$ tir\'
{e
}s de la premi\`
{e
}re condition dans la deuxi\`
{e
}me :
337 k(x_I^
2+y_I^
2)+
2x_I^
2-
2x_Vx_I+
2y_I^
2-
2y_Vy_I=
0\\
338 kR^
2+
2R^
2=
2(x_Vx_I+y_Vy_I)\\
339 k+
2=
\dfrac{2}{R^
2}(x_Vx_I+y_Vy_I)
341 Les coordonn\'
{e
}es de $V'$ s'en d\'
{e
}duisent :
345 x_
{V'
}&=&(k+
2)x_I-x_V\\
346 y_
{V'
}&=&(k+
2)y_I-y_V\\
347 z_
{V'
}&=&z_V(
1-
2\rho)
351 Il reste \`
{a
} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=
0$.
353 \'Equation param\'
{e
}trique de $(IV')$, $M$ \'
{e
}tant un point courant : $
\overrightarrow{MV'
}=
\alpha\overrightarrow{IV'
}$
357 x_
{V'
}-x&=&
\alpha(x_
{V'
}-x_I)\\
358 y_
{V'
}-y&=&
\alpha(y_
{V'
}-y_I)\\
359 z_
{V'
}-z&=&
\alpha(z_
{V'
}-z_I)
363 $z=
0\Longrightarrow \alpha=
\dfrac{z_
{V'
}}{z_
{V'
}-z_I
}$ soit
365 \alpha=
\dfrac{1-
2\rho}{-
\rho}
367 En rempla
\c{c
}ant $
\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'
{e
}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
371 x_
{P'
}&=&x_
{V'
}-
\alpha(x_
{V'
}-x_I)\\
372 y_
{P'
}&=&y_
{V'
}-
\alpha(y_
{V'
}-y_I)
376 Cette s\'
{e
}rie de calculs doit \^
{e
}tre appliqu\'
{e
}e \`
{a
} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'
{e
}form\'
{e
}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.
378 On notera que
\textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas
}. On le comprend ais\'
{e
}ment en faisant un dessin du plan vertical passant par l'
\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale \'
{e
}tant fix\'
{e
}e $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ \'
{e
}tant sym\'
{e
}triques par rapport \`
{a
} la g\'
{e
}n\'
{e
}ratrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donn\'
{e
} alors $A$ est fix\'
{e
} quelque soit~$z_V$.
382 \section{L'anamorphose conique
}
384 Le principe est identique \`
{a
} celui de l'anamorphose cylindrique : imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet <<~anamorphique~>>, se r\'
{e
}fl\'
{e
}chissant sur le miroir conique et parvenant \`
{a
} l'
{\oe}il de l'observateur plac\'
{e
} au-dessus et dans l'axe du c\^
{o
}ne \`
{a
} une position suffisamment haute pour que l'observateur puisse \^
{e
}tre consid\'
{e
}r\'
{e
} comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer l'image reconstitu\'
{e
}e par le miroir conique. Image et objet sont dans le plan horizontal.
388 \begin{pspicture
}(-
7,-
8)(
7,
9)
390 \newcommand\hauteur{5}
392 \FPeval{\pasrad}{\pas*
\FPpi/
180}
393 \FPmul{\Largeur}{\R}{\pasrad}
394 \FPdiv{\largeur}{\Largeur}{2}
395 %Les coordonn\'{e}es de viewpoint
396 \def\vx{1}\def\vy{-
0.8}\def\vz{1}
397 \FPeval{\RH}{(
\R)/(
\hauteur)
}
399 \FPeval{\OH}{sin(
\phy)*
\hauteur}
400 \FPeval{\zH}{sin(
\phy)*
\OH}
401 \FPeval{\OK}{cos(
\phy)*
\OH}
402 \FPeval{\generatrice}{root(
2,(
\hauteur*
\hauteur)+(
\R*
\R))
}
403 \psset{viewpoint=
{\vx} {\vy} {\vz}}
404 \ThreeDput[normal=
0 0 1](
0,
0,
0)
{%%
405 \psframe*
[linecolor=lightgray!
25](-
10,-
10)(
10,
10)
406 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,gridlabels=
0pt
](-
10,-
10)(
10,
10)
407 \psaxes(
0,
0)(-
10,-
10)(
10,
10)
408 \pscircle[doubleline=true
]{3}
410 \multido{\n=-
1.50+
0.50}{7}{%
411 \pnode(!
\n\space -
2.50)
{A
}
412 \pnode(!
\n\space -
0.50)
{B
}
413 \psline[linecolor=green
](A)(B)
414 \pslineA[linecolor=green
](A)(B)
416 \multido{\N=-
2.50+
0.50}{5}{%
419 \pslineA[linecolor=green
](A)(B)
420 \psline[linecolor=green
](A)(B)
423 \multido{\n=-
1.50+
0.50}{7}{%
424 \pnode(!
\n\space 2.50)
{A
}
425 \pnode(!
\n\space 0.50)
{B
}
426 \psline[linecolor=green
](A)(B)
427 \pslineA[linecolor=green
](A)(B)
429 \multido{\N=
2.50+-
0.50}{5}{%
432 \pslineA[linecolor=green
](A)(B)
433 \psline[linecolor=green
](A)(B)
435 \multido{\n=-
1.50+
0.50}{7}{%
436 \pnode(!
\n\space -
2.50)
{A
}
437 \pnode(!
\n\space -
0.50)
{B
}
441 \multido{\N=-
2.50+
0.50}{5}{%
447 \multido{\n=-
1.50+
0.50}{7}{%
448 \pnode(!
\n\space 2.50)
{A
}
449 \pnode(!
\n\space 0.50)
{B
}
453 \multido{\N=
2.50+-
0.50}{5}{%
459 \psanamorphosis[type=conical,scale=-
0.7 -
0.7](
0,
1.5)
{tiger.eps
}
460 \pstextA[fontsize=
15,fillcolor=green,scale=
1 -
1](
0,-
0.5)
{Anamorphose
}
461 \pscircle[doubleline=true
]{3}}
464 \FPmul{\tempa}{\FPpi}{\the\n}
465 \FPdiv{\angle}{\tempa}{180}
466 \FPsin{\SIN}{\angle}\FPcos{\COS}{\angle}
467 \FPmul{\xH}{\COS}{\OK}
468 \FPmul{\yH}{\SIN}{\OK}
469 \FPdiv{\grise}{\the\n}{360}
470 \FPsub{\gris}{1}{\grise}
471 \FPdiv{\teinte}{\grise}{2}
472 \definecolor{gris
}{cmyk
}{\teinte,
\teinte,
\teinte,
0}
473 %tester les faces visibles
474 %le produit scalaire du vecteur viewpoint et du vecteur normal \`{a} la face >0 ?
475 \FPeval{\costest}{(
\vx)*
\xH+(
\vy)*
\yH+(
\vz)*
\zH}
477 \ThreeDput[normal=
{\xH} {\yH} \zH](
0,
0,
\hauteur)
{%
478 \pspolygon[linecolor=BleuCiel
]%[fillstyle=solid,fillcolor=gris,dimen=outer]%
479 (
0,
0)(-
\largeur,-
\generatrice)(
\largeur,-
\generatrice)
}\else{}\fi
481 \ThreeDput[normal=
{\xH} {\yH} \zH](
0,
0,
\hauteur)
{%
482 \psline[linestyle=dashed,linecolor=gray
](
0,
0)(
\largeur,-
\generatrice)
}\else{}\fi
483 \ifnum\n<
360 \advance\n by
\pas
485 %Dessin des faces de dessus et de dessous
488 %\ThreeDput[normal=0 0 -1](0,0,0){%
489 %\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){\R}\rput(0,0){\Large\textbf{\textsf{Dessous}}}}\fi
490 \ThreeDput[normal=
1 0 0](
0,
0,
0)
{%
492 \rput{90}(
0,
12)
{\oeil}%
506 \psset{linecolor=red
}
508 \pcline[nodesepB=
2,nodesepA=
1,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->
}(P')(I)
509 \pcline[nodesepB=
4,nodesepA=
1,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->
}(I)(V)
510 \psline[linestyle=dashed
](I)(P)
}}%
514 Il s'agit de d\'
{e
}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec le c\^
{o
}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'
{e
}es de $V$, $S$ et $P$ sont not\'
{e
}es : $V(
0,
0,z_V)$, $S(
0,
0,z_S)$ et $P(x_P,y_P,
0)$.
516 L'\'
{e
}quation param\'
{e
}trique de la droite $(PV)$ s'\'
{e
}crit $
\overrightarrow{IV
}=
\lambda\overrightarrow{PV
}$:
520 0-x_I&=&
\lambda(
0-x_P)\\
521 0-y_I&=&
\lambda(
0-y_P)\\
522 z_V-z_I&=&
\lambda(z_V-
0)
536 r_I^
2=x_I^
2+y_I^
2\quad\textrm{et
}\quad r_P^
2=x_P^
2+y_P^
2\quad\textrm{et
}\quad |
\overrightarrow{OG
}|=R
538 Le point $I$ appartenant au c\^
{o
}ne, ses coordonn\'
{e
}es v\'
{e
}rifient la relation (th\'
{e
}or\^
{e
}me de Thal\`
{e
}s):
540 \frac{R
}{z_S
}&=
\frac{r_I
}{z_S-z_I
}\\
541 \frac{R
}{z_S
}&=
\frac{\lambda r_P
}{z_S-(
1-
\lambda)z_P
}\\
542 \lambda&=
\frac{R(z_S-z_V)
}{r_Pz_S-R z_V
}
545 \begin{pspicture
}(-
4,-
1)(
6.5,
7.75)
554 \psdots[dotstyle=|
](P')
557 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](G')(G)(S)
558 \psaxes[ticks=none,labels=none
]{->
}(
0,
0)(-
4,
0)(
5.5,
10.25)
560 \uput[90](
0,
10.25)
{$z$
}
567 \psline[linestyle=dashed
](
4;
30.96)
568 \uput[15.5](
4;
30.1)
{$N$
}
569 \rput{-
59.036}(
0,
0)
{\psframe(
0.5,
0.5)
}
570 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{101.31}{120.964}
571 %\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036}
572 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1.2}{-
59.036}{-
39.38}
575 \uput[-
50](I1)
{$
\varepsilon$
}
576 \uput[112](I2)
{$
\varepsilon$
}
578 \rput(P')
{\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray
](
0,
0)
{1}{140.175}{180}
579 \uput[160](
1;
160)
{$
\varepsilon'$
}}
580 \rput(S)
{\psarc[linecolor=gray,linewidth=
2\pslinewidth](
0,
0)
{1}{-
90}{-
59.036}
581 \uput[-
75](
1;-
75)
{$
\theta$
}}
582 \rput(V)
{\psarc(
0,
0)
{2}{-
90}{-
78.69}
583 \uput[-
80](
2;-
85)
{$
\beta$
}}
584 \psline[linecolor=red
](V)(I)(P')
585 \pcline[nodesepB=
1.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(P')(I)
586 \pcline[nodesepB=
4,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
593 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.2)(
2,-
0.2)
594 \uput[-
90](
1,-
0.2)
{$r_P$
}
595 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.8)(
3,-
0.8)
596 \uput[-
90](
1.5,-
0.8)
{$R$
}
597 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(
1.5,
2.5)(
0,
2.5)
598 \uput[-
90](
0.75,
2.5)
{$r_I$
}
599 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->|
}(-
0.2,
0)(-
0.2,
5)
600 \uput[180](-
0.2,
2.5)
{$z_S$
}
601 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->|
}(-
1,
0)(-
1,
10)
602 \uput[180](-
1,
5)
{$z_V$
}
603 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linestyle=dashed
](
1.5,
2.5)(
1.5,
0)
606 Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi, d\'
{e
}terminons~$
\varepsilon'$.
608 Un raisonnement g\'
{e
}om\'
{e
}trique \'
{e
}l\'
{e
}mentaire nous montre que :
610 \varepsilon'=
90^
\circ-
2\theta+
\beta
614 \beta=
\arctan\frac{r_P
}{z_V
}
618 \theta=
\arctan\frac{R
}{z_S
}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^
{o
}ne
}
620 Dans le plan horizontal, les coordonn\'
{e
}es de $P'$ sont :
624 x_
{P'
}&=&x_I+
\dfrac{z_I
}{\tan \varepsilon'
}\\
[0.5cm
]
625 y_
{P'
}&=&y_I+
\dfrac{z_I
}{\tan \varepsilon'
}\\
632 \section{L'anamorphose sph\'
{e
}rique
}
634 On place \`
{a
} l'int\'
{e
}rieur de la demi-sph\`
{e
}re l'image telle qu'elle doit \^
{e
}tre vue par un observateur regardant dans le miroir sph\'
{e
}rique (on peut la placer \`
{a
} l'ext\'
{e
}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sph\`
{e
}re, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'
{e
}form\'
{e
}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'
{e
}elles.
\par Objet et image ob\'
{e
}issent aux lois de la r\'
{e
}flexion de l'optique g\'
{e
}om\'
{e
}trique :
636 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi appartiennent \`
{a
} un m\^
{e
}me plan ;
637 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi sont sym\'
{e
}triques par rapport \`
{a
} la normale au miroir au point d'incidence.
641 \begin{pspicture
}(-
4,-
7)(
12,
4.5)
642 \psset{lightsrc=viewpoint
}
643 \psset{viewpoint=-
100 -
100 100,Decran=
173.2}
644 \ThreeDput[normal=
0 0 1](
0,
0,
0)
{%%
645 \psframe*
[linecolor=lightgray!
25](-
5,-
14)(
5,
5)
646 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,gridlabels=
0pt
](-
5,-
14)(
5,
5)
647 \psaxes(
0,
0)(-
5,-
14)(
5,
5)
648 \psset{type=spherical,Rmirror=
5}
649 \pscircle[doubleline=true
]{5}
650 \multido{\n=-
1.00+
0.20}{11}{%
651 \pnode(!
\n\space -
4.80)
{A
}
652 \pnode(!
\n\space -
3.40)
{B
}
656 \multido{\N=-
4.80+
0.20}{8}{%
662 \psanamorphosis[scale=
0.4 0.4](
0,-
4)
{tiger.eps
}
667 \ThreeDput[normal=-
1 0 0](
0,
0,
0)
{%
669 \pnode(
13.2,
4.2)
{OE'
}
671 \rput{26.5}(OE)
{\oeil}
673 \psSolid[object=calottesphere,r=
5,opacity=
0.5,
674 ngrid=
24 36,fillcolor=cyan!
50,grid,hollow,
675 incolor=yellow,theta=
90,phi=
0,action=draw,linecolor=BleuCiel,linewidth=
0.5pt
](
0,
0,
0)
676 \psline[linecolor=red
](A')(I)(OE')
677 \pcline[nodesepB=
2.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(OE')
678 \pcline[nodesepB=
1,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(A')(I)
683 L'image non d\'
{e
}form\'
{e
}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'
{e
}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'
{e
}fl\'
{e
}chit sur le miroir et apr\`
{e
}s r\'
{e
}flexion parvient \`
{a
} l'
{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'
{e
}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
685 L'observateur est suffisamment \'
{e
}loign\'
{e
} du miroir pour pouvoir \^
{e
}tre consid\'
{e
}r\'
{e
} comme ponctuel.
687 Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'
{\oe}il de l'observateur. Tra
\c{c
}ons un droite $PV$ et d\'
{e
}terminons le point d'intersection $I$ avec la sph\`
{e
}re : c'est le point d'incidence.
689 V(x_V,y_V,z_V)
\quad\text{ et
}\quad P(x_P,y_P,
0)
693 \begin{pspicture
}(-
4,-
0.5)(
8,
5.5)
694 \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](
0,
0)
{2}{0}{180}
695 \psaxes[labels=none,ticks=none
]{->
}(
0,
0)(-
3,
0)(
7.5,
5)
699 \pnode(
0,
0)
{O
}\uput[dl
](O)
{$O$
}
700 \pnode(!/alpha
15 def /xI
2 alpha cos mul def /yI
2 alpha sin mul def /beta yI xI
1.5 sub atan def xI yI)
{I
}
702 \rput(I)
{\pnode(!beta cos
5 mul beta sin
5 mul)
{V
}}
703 \psline[linecolor=red
](I)(V)
704 \rput(I)
{\psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{!alpha
}{!beta
}
705 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1.2}{!
2 alpha mul beta sub
}{!alpha
}}
706 \uput{1.2}[!alpha beta add
2 div
](I)
{$
\varepsilon$
}
707 \uput{1.4}[!
3 alpha mul beta sub
2 div
](I)
{$
\varepsilon$
}
708 \pnode(!yI neg xI
2 alpha mul beta sub tan mul add
2 alpha mul beta sub tan div
0)
{M
}
709 \psline[linecolor=red
](M)(I)
710 \pcline[nodesepB=
0.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(M)(I)
711 \pcline[nodesepB=
2,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
712 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(O)(I)
714 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(O)(V)
715 \uput[75](
3,
2.7)
{$r_V$
}
716 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.3)(
1.5,-
0.3)
717 \uput[-
90](
0.75,-
0.3)
{$r_P$
}
719 \psline[linestyle=dashed
](
5;
15)
721 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linecolor=gray
](
1.5;
105)
722 \uput[105](
1.5;
105)
{$T$
}
723 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linecolor=gray
](
1.25;-
75)
724 \rput{-
75}(
0,
0)
{\psframe(
0.3,
0.3)
}
736 L'\'
{e
}quation param\'
{e
}trique de la droite $(PV)$ s'\'
{e
}crit $
\overrightarrow{IV
}=
\lambda\overrightarrow{PV
}$:
737 \begin{equation
}\label{eq:para
}
740 x_V-x_I&=&
\lambda(x_V-x_P)\\
741 y_V-y_I&=&
\lambda(y_V-y_P)\\
742 z_V-z_I&=&
\lambda(z_V-
0)
748 x_I&=&x_V(
1-
\lambda)+
\lambda x_P\\
749 y_I&=&y_V(
1-
\lambda)+
\lambda y_P\\
756 r_V^
2=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2\quad\textrm{et
}\quad r_P^
2=x_P^
2+y_P^
2
758 Le point $I$ appartenant \`
{a
} la sph\`
{e
}re, ses coordonn\'
{e
}es v\'
{e
}rifient la relation :
759 \begin{equation
}\label{eq:sphere
}
760 x_I^
2+y_I^
2+z_I^
2=R^
2
762 (
\ref{eq:para
}) en (
\ref{eq:sphere
})
764 \left(x_V+
\lambda(x_P-x_V)
\right)^
2+
\left(y_V+
\lambda(y_P-y_V)
\right)^
2+
\left((
1-
\lambda)z_V
\right)^
2=R^
2\\
765 x_V^
2+
2\lambda x_V(x_P-x_V)+
\lambda^
2(x_P-x_V)^
2+y_V^
2+
2\lambda y_V(y_P-y_V) +
\lambda^
2(y_P-y_V)^
2+(
1-
2\lambda+
\lambda^
2)z_V^
2=R^
2
767 Apr\`
{e
}s d\'
{e
}veloppement, on obtient l'\'
{e
}quation du second degr\'
{e
} en
770 \lambda^
2\left((x_P-x_V)^
2+(y_P-y_V)^
2+z_V^
2\right)+
2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^
2\right)+x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-
772 \lambda^
2\left(x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V
\right)+
2\lambda\left(-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V
\right)+x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-
777 a
\lambda^
2+
2b'
\lambda+c=
0
779 donne pour le coefficient $a$ de $
\lambda^
2$ :
781 a=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V
783 Pour le coefficient $
2b'$ de $
\lambda$ :
785 2b'=-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V
787 Pour le coefficient $c$ :
789 c=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-R^
2
793 a
\lambda^
2+
2b'
\lambda+c=
0
799 a&=&x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V\\
800 2b'&=&-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V\\
801 c&=&x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-R^
2
807 a&=&r_V^
2+r_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V\\
808 2b'&=&-r_V^
2+x_Px_V+y_Py_V\\
813 La r\'
{e
}solution de cette \'
{e
}quation nous donne les solutions classiques:
817 \lambda'&=&
\dfrac{-b'+
\sqrt{\Delta'
}}{a
}\\
[0.5cm
]
818 \lambda''&=&
\dfrac{-b'-
\sqrt{\Delta'
}}{a
}
821 \qquad \Delta'=b'^
2-ac
823 On retiendra la valeur positive.
% et \texttt{Coeff1} dans le programme.
825 $(IV)$ repr\'
{e
}sente le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'
{e
}fini par la droite sym\'
{e
}trique de $(IV)$ par rapport \`
{a
} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'
{e
}trique de $V$, nomm\'
{e
} $V'$ par rapport \`
{a
} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
827 \item $
\overrightarrow{IV
}+
\overrightarrow{IV'
}=k
\overrightarrow{IN
}$
828 \item $
\overrightarrow{VV'
}.
\overrightarrow{IN
}=
0$
830 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $
\overrightarrow{IN
}(x_I,y_I,z_I)$
832 La premi\`
{e
}re condition se traduit par :
836 x_V-x_I+x_
{V'
}-x_I&=&kx_I\\
837 y_V-x_I+y_
{V'
}-y_I&=&ky_I\\
838 z_V-z_I+z_
{V'
}-z_I&=&kz_I
844 x_
{V'
}&=&kx_I+
2x_I-x_V\\
845 y_
{V'
}&=&ky_I+
2y_I-y_V\\
846 z_
{V'
}&=&kz_I+
2z_I-z_V
850 La deuxi\`
{e
}me par :
852 (x_
{V'
}-x_V)x_I+(y_
{V'
}-y_V)y_I+(z_
{V'
}-z_V)z_I=
0
854 En rempla
\c{c
}ant $x_
{V'
}$, $y_
{V'
}$ et $z_
{V'
}$ tir\'
{e
}s de la premi\`
{e
}re condition dans la deuxi\`
{e
}me :
856 k(x_I^
2+y_I^
2+y_I^
2)+
2x_I^
2-
2x_Vx_I+
2y_I^
2-
2y_Vy_I+
2z_I^
2-
2z_Vz_I=
0\\
857 kR^
2+
2R^
2=
2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)\\
858 k+
2=
\dfrac{2}{R^
2}(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
860 Les coordonn\'
{e
}es de $V'$ s'en d\'
{e
}duisent :
864 x_
{V'
}&=&(k+
2)x_I-x_V\\
865 y_
{V'
}&=&(k+
2)y_I-y_V\\
866 z_
{V'
}&=&(k+
2)z_I-z_V
870 Il reste \`
{a
} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=
0$.
872 \'Equation param\'
{e
}trique de $(IV')$, $M$ \'
{e
}tant un point courant : $
\overrightarrow{MI
}=
\alpha\overrightarrow{V'I
}$
876 x_I-x&=&
\alpha(x_I-x_
{V'
})\\
877 y_I-y&=&
\alpha(y_I-y_
{V'
})\\
878 z_I-z&=&
\alpha(z_I-z_
{V'
})
882 $z=
0\Longrightarrow \alpha=
\dfrac{z_
{I
}}{z_I-z_
{V'
}}$.
884 En rempla
\c{c
}ant $
\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'
{e
}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
888 x_
{P'
}&=&x_I-
\alpha(x_I-x_
{V'
})\\
889 y_
{P'
}&=&y_I-
\alpha(y_I-y_
{V'
})\\
894 Cette s\'
{e
}rie de calculs doit \^
{e
}tre appliqu\'
{e
}e \`
{a
} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'
{e
}form\'
{e
}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.
896 \textbf{Remarque
} : l'image doit se former du c\^
{o
}t\'
{e
} de l'observateur \`
{a
} l'int\'
{e
}rieur du miroir, plus pr\`
{e
}s du bord du miroir que du centre. Si on d\'
{e
}place le point $P$ vers $O$, il arrive un moment o\`
{u
} le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !
900 \section{La perspective
}
902 Dans le livre de Jurgis Baltru
\v{s
}a\"
{\i}tis
\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives d\'
{e
}prav\'
{e
}es
} en livre de poche chez Flammarion.
}, on trouve le principe de la <<~
\textit{costruzione legittima
}~>> avec un sch\'
{e
}ma de L\'
{e
}onard de Vinci (
1492) et des sch\'
{e
}mas anamorphiques de Niceron (
1658). Je cite page
58 :
903 \begin{quote
}\itshape
904 <<~Rappelons en quelques mots quels ont \'
{e
}t\'
{e
} le proc\'
{e
}d\'
{e
}s utilis\'
{e
}s par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La premi\`
{e
}re ligne trac\'
{e
}e est celle de l'horizon \`
{a
} la hauteur de l'
\oe{}il. Deux points y sont ensuite fix\'
{e
}s : au milieu le point principal vers o\`
{u
} convergent toutes les lignes droites parall\`
{e
}les qui s'\'
{e
}loignent en profondeur ; sur la m\^
{e
}me horizontale et \`
{a
} la m\^
{e
}me distance du point principal que l'
\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.~>>
907 \begin{pspicture
}(-
5,-
3)(
5,
14.25)
908 \psset{ua=
2,F=
10,D=
4,type=perspective
}
909 \psframe*
[linecolor=BleuCiel
](-
5,
10)(
5,
13)
910 \psframe*
[linecolor=OrangePale
](-
5,
2)(
5,
10)
911 \psline[arrowinset=
0,arrowsize=
2mm
]{->
}(
0,
14)
912 \psline[arrowinset=
0,arrowsize=
2mm
]{->
}(
7,
0)
919 \uput[ur
](F')
{$
{F'
}$
}
920 \rput(
0,
12)
{\multido{\n=
22.5+
45.0}{8}{%
921 \psline[linecolor=yellow
](
1;
\n)
}%
922 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=
0,gradend=yellow,gradbegin=gray
]{0.5}}
923 \multido{\i=-
2+
1}{5}{%
924 \pnode(!
\i\space -
2)
{A
}
925 \pnode(!
\i\space 2)
{B
}
929 \multido{\i=-
2+
1}{5}{%
932 \pslineA[linecolor=blue
](A)(B)
933 \psline[linecolor=blue
](A)(B)
961 \psline[linecolor=red
](A)(F')
962 \psline[linecolor=red
](P)(F)
963 \psline[linecolor=lightgray
](P)(F')
964 \psline[linecolor=lightgray
](Q)(F')
965 \psline[linecolor=lightgray
](R)(F')
966 \psline[linecolor=lightgray
](S')(F')
967 \psline[linecolor=lightgray
](N2')(F')
968 \psline[linecolor=lightgray
](N3')(F')
971 \uput[ul
](A')
{$
{A'
}$
}
972 \uput[ur
](B')
{$
{B'
}$
}
977 \uput[ul
](C')
{$
{C'
}$
}
978 \uput[ur
](D')
{$
{D'
}$
}
980 \uput[dr
](O')
{$
{O'
}$
}
981 \psline{<->|
}(-
3,
2)(-
3,
10)
983 \pcline{|<->|
}(F)(F')
985 \psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O')
986 \psdots[linecolor=blue
](N1)(N1')
987 \uput[dl
](N1)
{$
\blue {N_1
}$
}
988 \uput[dl
](N1')
{$
\blue {N_1'
}$
}
989 \psdots[linecolor=gray
](M2)(M2')
990 \uput[dr
](M2)
{\tiny $
\gray {(X,Y)
}$
}
991 \uput[dr
](M2')
{\tiny $
\gray {(x',y')
}$
}
992 \psdots[linecolor=red
](M1')
993 \uput[dr
](M1')
{\tiny $
\red {(
\alpha_1,
\beta_1)
}$
}
1001 \item $A
\longrightarrow A'$
1002 \item $B
\longrightarrow B'$
1003 \item $C
\longrightarrow C'$
1004 \item $D
\longrightarrow D'$
1005 \item $O
\longrightarrow O'$
1006 \item $M_1
\longrightarrow M_1'$
1007 \item $M_2
\longrightarrow M'_2$
1009 D\'
{e
}terminons les coordonn\'
{e
}es $(
\alpha_1,
\beta_1)$ de l'intersection de $(PF)$ avec $(AF')$.
1011 Posons que les coordonn\'
{e
}es des points essentiels sont :
1021 \'Equation de $(AF')$ :
1023 \frac{y-f
}{x-e
}=
\frac{a-f
}{-a-e
}\Longrightarrow x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=
0
1025 \'Equation de $(PF)$ :
1027 \frac{x-
0}{y-f
}=
\frac{X-
0}{a-f
}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=
0
1029 Intersection $(PF)
\bigcap (AF')$
1031 \alpha_1=
\frac{Xe
}{X+a+e
}\qquad\beta_1=
\frac{a(f+e)+fX
}{X+a+e
}
1033 Si on prend maintenant, un point d'ordonn\'
{e
}e $Y
\neq X$ par exemple $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais \`
{a
} l'intersection de $PF$ avec la parall\`
{e
}le \`
{a
} $x'Ox$ men\'
{e
}e par le point-image du point de coordonn\'
{e
}e $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est l'image de $O(
0,
0)$).
1035 Il s'agit de d\'
{e
}terminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'\'
{e
}quation :
1037 y=
\beta_2=
\frac{a(f+e)+fY
}{Y+a+e
}
1039 Apr\`
{e
}s calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
1041 \alpha_2=
\frac{Xe
}{Y+a+e
}
1043 En r\'
{e
}sum\'
{e
} si dans le rep\`
{e
}re $Oxy$, on appelle $(
{\red X
},
{\red Y
})$ les coordonn\'
{e
}es d'un point-objet et $(
{\blue x'
},
{\blue y'
})$ les coordonn\'
{e
}es du point image dans la transformation
\textit{anamorphose oblique
} ou
\textit{perspective
}, les formules qui permettent de passer de l'objet \`
{a
} l'image s'\'
{e
}crivent :
1047 {\blue x'
}&=&
\displaystyle\frac{{\red X
}e
}{{\red Y
}+a+e
}\\
[0.5cm
]
1048 {\blue y'
}&=&
\displaystyle\frac{a(f+e)+f
{\red Y
}}{{\red Y
}+a+e
}
Projets / pst-anamorphosis.git / blob
Les fichiers de Syracuse sont mis à
disposition (sauf mention contraire) selon les termes de la