doc/anamorphose_cylindrique_verticale.tex

   1
   2 \documentclass[12pt]{article}
   3 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   4 \usepackage[latin1]{inputenc}
   5 \usepackage[T1]{fontenc}
   6 \usepackage{amsmath,amssymb}
   7 \usepackage[garamond]{mathdesign}
   8 \usepackage{pst-anamorphosis-add}
   9 \usepackage{pst-solides3d}
  10 \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
  11 \def\Cadre{{%
  12 \multido{\n=-2.0+0.5}{9}{%
  13     \pnode(! \n\space 0){A}
  14     \pnode(! \n\space 5){B}
  15     \psline(A)(B)
  16     \pslineA(A)(B)
  17     }
  18 \multido{\N=0+0.5}{11}{%
  19     \pnode(!-2 \N){A}
  20     \pnode(!2 \N){B}
  21     \pslineA(A)(B)
  22     \psline(A)(B)
  23     }}}
  24 \makeatletter
  25 %% === Echelle pour l'image  -----------------------------------------------
  26 \define@key[psset]{pst-solides3d}{unitPicture}{\edef\psk@solides@unitPicture{#1 }}
  27 \psset{unitPicture=28.45}
  28 %% === nombre de divisions des segments  -----------------------------------------------
  29 \define@key[psset]{pst-solides3d}{divisions}{\edef\psk@solides@divisions{#1 }}
  30 \psset{divisions=10}
  31 %%
  32 \def\psImage{\pst@object{psImage}}
  33 \def\psImage@i{\@ifnextchar({\psImage@ii}{\psImage@ii(0,0)}}
  34 \def\psImage@ii(#1,#2){{%
  35   \ifPst@solidmemory\use@par\else\begin@ClosedObj\fi%
  36 \addto@pscode{
  37 %% === adapté de Jean-Michel Sarlat dans pst-anamorphosis ----------------------
  38 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  39 %% === Capture de commandes de systemdict --------------------------------------
  40 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  41 /LINETO    { systemdict /lineto get exec    } def
  42 /MOVETO    { systemdict /moveto get exec    } def
  43 /CURVETO   { systemdict /curveto get exec   } def
  44 /CLOSEPATH { systemdict /closepath get exec } def
  45 /RLINETO   { systemdict /rlineto get exec   } def
  46 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  47 %% === Transformation des commandes de construction des path(s) ----------------
  48 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  49 /tx@projectionDict 20 dict def
  50 tx@projectionDict begin
  51 /moveto {
  52   /s@y ED /s@x ED /c@x s@x def /c@y s@y def
  53   s@x unit_image div
  54   s@y unit_image div
  55   2 copy
  56   sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x'
  57   3 1 roll
  58   cosPhi mul exch sinPhi mul add     % y'
  59   /Ypoint exch def
  60   /Xpoint exch def
  61   projectionimage
  62   MOVETO
  63 } bind def
  64 /lineto {
  65   /c@yt ED /c@xt ED /dx c@xt c@x sub ND div def /dy c@yt c@y sub ND div def
  66   1 1 ND {dup dx mul c@x add exch dy mul c@y add
  67 %/Ypoint exch unit_image div def
  68 %/Xpoint exch unit_image div def
  69  unit_image div exch
  70  unit_image div exch
  71   2 copy
  72   sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x'
  73   3 1 roll
  74   cosPhi mul exch sinPhi mul add     % y'
  75   /Ypoint exch def
  76   /Xpoint exch def
  77   projectionimage
  78   LINETO} for
  79   /c@x c@xt def /c@y c@yt def
  80 } bind def
  81 /closepath {
  82   s@x s@y lineto CLOSEPATH
  83 } bind def
  84 /curveto {
  85   /c@yt ED /c@xt ED
  86   /c@yb ED /c@xb ED
  87   /c@ya ED /c@xa ED
  88   1 1 NDC {
  89     NDC div /s ED 1 s sub /t ED
  90     t c@x mul 3 s c@xa mul mul add t mul 3 s s c@xb mul mul mul add t mul s 3 exp c@xt mul add
  91     t c@y mul 3 s c@ya mul mul add t mul 3 s s c@yb mul mul mul add t mul s 3 exp c@yt mul add
  92  unit_image div exch
  93  unit_image div exch
  94   2 copy
  95   sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x'
  96   3 1 roll
  97   cosPhi mul exch sinPhi mul add     % y'
  98   /Ypoint exch def
  99   /Xpoint exch def
 100    projectionimage
 101    LINETO
 102   } for
 103   /c@x c@xt def /c@y c@yt def
 104 } bind def
 105 end
 106 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 107 /Atan { /atan load stopped { pop pop 0 } if } def
 108 save
 109 \tx@optionssolides
 110     SolidesDict begin
 111 /cm {\pst@number\psunit mul } bind def
 112 /cm_1 {\pst@number\psunit div } bind def
 113 /unit_image \psk@solides@unitPicture def
 114 /fichier (\pst@solides@file) def
 115 /Normale {\pst@solides@normal\space unitaire3d } bind def
 116 /ND \psk@solides@divisions def
 117 /NDC {\psk@solides@divisions 3 mul} bind def
 118 /origin {\pst@solides@origin\space } def
 119 /cosPhi {phi cos} bind def
 120 /sinPhi {phi sin} bind def
 121 Normale
 122 /nz exch def
 123 /ny exch def
 124 /nx exch def
 125 /Phi {90 nz arccos sub} bind def
 126 /Theta {ny nx Atan} bind  def
 127 /sinT {Theta sin} bind def
 128 /cosT {Theta cos} bind def
 129 /sinP {Phi sin} bind def
 130 /cosP {Phi cos} bind def
 131 origin
 132        /zO' exch def
 133        /yO' exch def
 134        /xO' exch def
 135 /projectionimage {
 136 % projection sur le plan
 137 Xpoint sinT mul neg Ypoint sinP cosT mul mul sub xO' add % x'
 138 Xpoint cosT mul Ypoint sinP mul sinT mul sub yO' add     % y'
 139 Ypoint cosP mul zO' add                                  % z'
 140 3dto2d %
 141    } def
 142  projectionsifacevisible not origin Normale planvisible? or {
 143       /showpage {} def
 144 gsave
 145 tx@projectionDict begin
 146 #1 sinT mul neg #2 sinP cosT mul mul sub
 147 #1 cosT mul #2 sinP mul sinT mul sub
 148 #2 cosP mul
 149 3dto2d
 150 translate
 151 fichier run
 152 end
 153 grestore
 154     } if
 155 end
 156 restore
 157 }%
 158   \ifPst@solidmemory\else\end@ClosedObj\fi}\ignorespaces%
 159 }
 160 \makeatother
 161 \parindent=0pt
 162 \title{Anamorphose cylindrique : l'image dans le cylindre est vue verticalement}
 163 \date{6 avril 2013}
 164 \begin{document}
 165 \maketitle
 166 C'est un complément au package `\textsf{pst-anamorphosis}'\footnote{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pst-anamorphosis/doc/}} qui traite déjà de l'anamorphose cylindrique dans le cas où l'image vue est dans un plan horizontal.
 167
 168 Les calculs sont identiques à ceux de l'anamorphose 3D\footnote{\url{http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Anamorphoses/anamorphose3D/}}. Si l'on suppose que l'image doit être vue dans le plan $Oyz$ il suffit donc de faire $x_P=0$.
 169
 170 Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique géométrique :
 171 \begin{itemize}
 172   \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
 173   plan ;
 174   \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
 175   rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
 176 \end{itemize}
 177 L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
 178 placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
 179 l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
 180 parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
 181 l'illusion que le rayon provient du point image.
 182 Il  faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
 183 rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
 184 L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
 185 considéré comme ponctuel.
 186 \section{Les calculs}
 187 Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
 188 droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le
 189 cylindre : c'est le point d'incidence.\par
 190 $V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,z_P)$\par
 191 L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
 192 $$\left\lbrace
 193     \begin{array}{lcl}
 194       x_V-x_I&=&\rho x_V\\
 195       y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
 196       z_V-z_I&=&\rho(z_V-z_P)
 197       \end{array}
 198       \right.
 199       \Longrightarrow
 200     \left\lbrace
 201     \begin{array}{lcl}
 202       x_I&=&x_V(1-\rho)\\
 203       y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
 204       z_I&=&z_V(1-\rho)+\rho z_P
 205       \end{array}
 206       \right.
 207       $$
 208 Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la
 209 relation :
 210 $$x_I^2+y_I^2=R$$
 211 Après développement, on obtient l'équation du second degré en $\rho$~:
 212 $$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec :
 213     $$\left\lbrace
 214     \begin{array}{l}
 215       a=x_V^2+(y_V+y_P)^2\\
 216       b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
 217       c=x_V^2+y_V^2-R^2
 218       \end{array}
 219       \right.
 220       $$
 221 La résolution de cette équation nous donne les solutions
 222 classiques:
 223 $$\left\lbrace
 224     \begin{array}{l}
 225       \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
 226       \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
 227       \end{array}
 228       \right.
 229       \qquad \Delta'=b'^2-ac
 230       $$
 231 On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$.
 232 \par
 233 $IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
 234 défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
 235 au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
 236 cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
 237 \begin{enumerate}
 238   \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
 239   \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
 240 \end{enumerate}
 241 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
 242 $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\
 243 La première condition se traduit par :
 244 $$\left\lbrace
 245     \begin{array}{l}
 246       x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
 247       y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
 248       z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0
 249       \end{array}
 250       \right.
 251     \Longrightarrow
 252   \left\lbrace
 253     \begin{array}{l}
 254       x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
 255       y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
 256       z_{V'}=2z_I-z_V
 257       \end{array}
 258       \right.
 259       $$
 260 La deuxième par :
 261 $$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$
 262 En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition
 263 dans la deuxième :
 264 $$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$
 265 $$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
 266 $$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
 267 Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
 268 $$ \left\lbrace
 269     \begin{array}{l}
 270       x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
 271       y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
 272       z_{V'}=z_V(1-2\rho)
 273       \end{array}
 274       \right.
 275       $$
 276 Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
 277 horizontal $z=0$.\par
 278 \'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
 279 $\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
 280 $$ \left\lbrace
 281     \begin{array}{l}
 282       x_{V}'-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\
 283       y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\
 284       z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I)
 285       \end{array}
 286       \right.
 287       $$
 288 $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit
 289 $$\alpha=\dfrac{(1-2\rho)z_V+\rho z_P}{-\rho z_V+\rho z_P}$$
 290 En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
 291 anamorphique.
 292 $$ \left\lbrace
 293     \begin{array}{l}
 294       x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
 295       y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
 296       \end{array}
 297       \right.
 298       $$
 299 Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
 300 l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
 301 dont le miroir « redressera » la forme.
 302
 303 On notera que la position en hauteur de l'observateur $z_V$ intervient dans le coefficient $\alpha$.
 304
 305 %\begin{verbatim}
 306 %  /Zp exch s@@y mul t@@y add def /Xp exch s@@x mul t@@x add def
 307 %  /a Xv Xp sub dup mul Yv dup mul add def
 308 %  /b Xv Xp mul Xv dup mul sub Yv dup mul sub def
 309 %  /c R neg Xv dup mul add Yv dup mul add def
 310 %  /d b dup mul a c mul sub 0.5 exp def
 311 %  /rho1 b neg d sub a div def
 312 %  /rho2 b neg d add a div def
 313 %  rho2 rho1 ge {/rho rho1 def}{/rho rho2 def} ifelse
 314 %  /xi Xv dup Xp sub rho mul sub def
 315 %  /yi Yv 1 rho sub mul def
 316 %  /zi Zv dup Zp sub rho mul sub def
 317 %  /alpha 2 zi mul Zv sub zi Zv sub div def
 318 %  /k 2 Xv xi mul Yv yi mul add mul R div def
 319 %  /xv k xi mul Xv sub def
 320 %  /yv k yi mul Yv sub def
 321 %  xv dup xi sub alpha mul sub
 322 %  yv dup yi sub alpha mul sub
 323 %\end{verbatim}
 324
 325 \begin{center}
 326 \begin{pspicture}(-8,-8)(10,6)
 327 \psframe(-8,-8)(10,6)
 328 \psset{viewpoint=100 -20 40 rtp2xyz,Decran=60,lightsrc=viewpoint}
 329 \psSolid[object=plan,
 330          definition=normalpoint,
 331          args={0 0 0 [1 0 0 90]},
 332          action=draw,linecolor=red,
 333 %         planmarks,
 334 %         showBase,
 335          base=-11 11 0 6]
 336 \psSolid[object=plan,
 337          definition=normalpoint,
 338          args={0 0 0 [0 0 1 -90]},
 339          action=draw,linecolor=red,
 340 %         planmarks,
 341 %         showBase,
 342          base=-11 11 -8 13]
 343 \psset{solidmemory}
 344 \psImage[file=sylvestreA4.eps,normal=0 0 1,origine=0 0 0,divisions=2,unitPicture=23](0,7)
 345 \defFunction[algebraic]{Cylindre}(t){2*cos(t)}{2*sin(t)}{0}
 346 \psSolid[object=cylindre,function=Cylindre,%unit=0.035,
 347         range=1.57 4.71,
 348         axe=0 0 1,h=6,
 349         ngrid=1 42,grid,
 350         incolor=yellow!50,
 351         linecolor=blue!20,
 352         fillcolor=blue!20](0,0,0)
 353 \multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psLineIIID(0,\n,0)(0,\n,5)}
 354 \multido{\nz=0.0+0.5}{11}{\psLineIIID(0,-2,\nz)(0,2,\nz)}
 355 \psImage[file=sylvestre.eps,normal=1 0 0,origine=0 0 0,divisions=5](0,2.5)
 356 \defFunction[algebraic]{Cylindre}(t){2*cos(t)}{2*sin(t)}{0}
 357 \psSolid[object=cylindre,function=Cylindre,
 358         range=-1.57 1.57,opacity=0.2,
 359         axe=0 0 1,h=6,
 360         ngrid=1 42,grid,
 361         incolor=yellow!50,
 362         linecolor=blue!20,
 363         fillcolor=blue!20](0,0,0)
 364 \psSolid[object=plan,
 365         definition=equation,
 366         args={[0 0 1 -6]},
 367         action=none,
 368         name=monplan]
 369 \psProjection[object=cercle,plan=monplan,
 370               args=0 0 2,
 371               range=0 360]
 372 \psSolid[object=plan,
 373         definition=equation,
 374         args={[0 0 1 0]},
 375         action=none,
 376         name=monPlan]
 377 \psProjection[object=cercle,plan=monPlan,
 378               linestyle=dotted,
 379               args=0 0 2,
 380               range=0 360]
 381 \psLineIIID[linecolor=red](0,-11,6)(0,11,6)%}
 382 \axesIIID(0,0,0)(14,14,7)
 383 \end{pspicture}
 384 \end{center}
 385 \section{Le nouveau paramètre}
 386 Pour garder la compatibilité avec le package `\textsf{pst-anamorphosis}', une nouvelle option a été rajoutée \colorbox{yellow}{\texttt{type=cylindricalV}}.
 387 \begin{center}
 388 \psscalebox{0.75}{
 389 \begin{pspicture}(-11,-12)(11,7)
 390 \pscircle{2}
 391 \rput(0,6){\parbox{4cm}{Cette image est en \\
 392                         réalité perpendiculaire au plan de la figure}}
 393 \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
 394 \Cadre
 395 \psanamorphosis[drawanamorphosis=true](0,2.5){sylvestre.eps}
 396 \end{pspicture}}
 397 \end{center}
 398 \begin{verbatim}
 399 \begin{pspicture}(-11,-12)(11,7)
 400 \pscircle{2}
 401 \rput(0,6){\parbox{4cm}{Cette image est en \\réalité perpendiculaire au plan de la figure}}
 402 \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
 403 \Cadre
 404 \psanamorphosis[drawanamorphosis=true](0,2.5){sylvestre.eps}
 405 \end{pspicture}
 406 \end{verbatim}
 407
 408 Une autre option a encore été rajoutée permettant de placer ou non l'image vue dans le cylindre : \colorbox{yellow}{\texttt{image}}.
 409 \newpage
 410 \section{Un autre exemple}
 411 La carte est extraite du jeu proposé par \url{http://sourceforge.net/projects/vector-cards/?source=dlp}.
 412 \begin{center}
 413 \psscalebox{0.66}{
 414 \begin{pspicture}(-10,-12)(10,9)
 415 \pscircle[doubleline=true]{2}
 416 \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
 417 \psanamorphosis[drawanamorphosis=true,scale=0.6 0.6](0,0){KH_2.eps}
 418 {%
 419 \psset{linestyle=dotted,linecolor=red}
 420 \multido{\n=-2+0.5}{9}{%
 421     \pnode(! \n\space 0){A}
 422     \pnode(! \n\space 5.5){B}
 423     \psline(A)(B)
 424     \pslineA(A)(B)
 425     }
 426 \multido{\N=0.0+0.5}{12}{%
 427     \pnode(!-2 \N){A}
 428     \pnode(!2 \N){B}
 429     \pslineA(A)(B)
 430     \psline(A)(B)
 431     }}
 432 \rput(0,6.5){\parbox{4cm}{Cette carte est en \\réalité perpendiculaire au plan de la figure}}
 433 \end{pspicture}}
 434 \end{center}
 435 \begin{verbatim}
 436 \begin{pspicture}(-10,-12)(10,12)
 437 \pscircle[doubleline=true]{2}
 438 \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
 439 \psanamorphosis[drawanamorphosis=true,scale=0.6 0.6](0,0){KH_2.eps}
 440 {%
 441 \psset{linestyle=dotted,linecolor=red}
 442 \multido{\n=-2+0.5}{9}{%
 443     \pnode(! \n\space 0){A}
 444     \pnode(! \n\space 5.5){B}
 445     \psline(A)(B)
 446     \pslineA(A)(B)
 447     }
 448 \multido{\N=0.0+0.5}{12}{%
 449     \pnode(!-2 \N){A}
 450     \pnode(!2 \N){B}
 451     \pslineA(A)(B)
 452     \psline(A)(B)
 453     }}
 454 \end{pspicture}
 455 \end{verbatim}
 456 \end{document}