doc/pst-anamorphosis-doc-part1.tex

   1 \documentclass[12pt]{article}
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   3 \usepackage{pst-grad}
   4 \usepackage[nomessages]{fp}
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   8 \usepackage[a4paper]{geometry}
   9 %\pagestyle{empty}
  10 \definecolor{sepia}{rgb}{1,0.8,0.8}
  11 \definecolor{grisclair}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
  12 \definecolor{BleuCiel}{cmyk}{0.2,0,0,0}
  13 \definecolor{OrangePale}{cmyk}{0,0.2,0.4,0}
  14 \title{Les anamorphoses : présentation théorique}
  15 \author{Jürgen Gilg, Manuel Luque, Jean-Michel Sarlat}
  16 \date{15 octobre 2011}
  17 \begin{document}
  18 \maketitle
  19 \section{L'anamorphose cylindrique}
  20 \input{fig3d-anacyl.tex}
  21 \begin{center}
  22 \begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.5)
  23 \pnode(6,7){V}
  24 \uput[0](V){$V$}
  25 \pnode(3,6.5){S}
  26 \pnode(-3,6.5){S'}
  27 \pnode(3,2.8){I}
  28 \pnode(1,0){P}
  29 \pnode(5,0){P'}
  30 \uput[45](P'){$P'$}
  31 \pnode(3,0){G}
  32 \pnode(-3,0){G'}
  33 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)(S')
  34 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7.5)
  35 \uput[135](P){$P$}
  36 \uput[-45](G){$G$}
  37 \uput[135](I){$I$}
  38 \psline(V)(P)
  39 \psline(S)(G)
  40 \rput(I){%
  41 \psline[linestyle=dashed](3;0)%
  42 \uput[0](3;0){$N$}%
  43 \psarc[doubleline=true](0,0){1}{-90}{-54.46}%
  44 \psarc[doubleline=true](0,0){1}{54.46}{90}
  45 \uput[72](1.2;72){$\alpha$}%
  46 \uput[-72](1.2;-72){$\alpha$}%
  47 \rput{-90}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
  48 }
  49 \psline[linecolor=red](V)(I)(P')
  50 \pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
  51 \pcline[nodesepB=2.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
  52 \qdisk(I){2pt}
  53 \qdisk(P){2pt}
  54 \qdisk(V){2pt}
  55 \qdisk(P'){2pt}
  56 \qdisk(G){2pt}
  57 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(1,-0.2)
  58 \uput[-90](0.5,-0.2){$r_P$}
  59 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(0,2.8)(3,2.8)
  60 \uput[-90](1.5,2.8){$r_I=R$}
  61 \end{pspicture}
  62 \end{center}
  63 On place à l'intérieur du cylindre l'image telle qu'elle doit
  64 être vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique
  65 (on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
  66 Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
  67 géométrique :
  68 \begin{itemize}
  69   \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
  70   plan ;
  71   \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
  72   rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
  73 \end{itemize}
  74 L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
  75 placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
  76 l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
  77 parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
  78 l'illusion que le rayon provient du point image.
  79 Il  faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
  80 rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
  81 L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
  82 considéré comme ponctuel.
  83
  84 Soit $P$ un point de l'image(noté $A'$ dans le schéma ci-après), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
  85 droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le
  86 cylindre : c'est le point d'incidence.\par
  87 $V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
  88 L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
  89 $$\left\lbrace
  90     \begin{array}{lcl}
  91       x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\
  92       y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
  93       z_V-z_I&=&\rho(z_V-0)
  94       \end{array}
  95       \right.
  96       \Longrightarrow
  97     \left\lbrace
  98     \begin{array}{lcl}
  99       x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\
 100       y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
 101       z_I&=&z_V(1-\rho)
 102       \end{array}
 103       \right.
 104       $$
 105 Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la
 106 relation :
 107 $$x_I^2+y_I^2=R$$
 108 Après développement, on obtient l'équation du second degré en
 109 $\rho$:
 110 $$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec :
 111     $$\left\lbrace
 112     \begin{array}{l}
 113       a=(x_V-x_P)^2+(y_V+y_P)^2\\
 114       b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
 115       c=x_V^2+y_V^2-R^2
 116       \end{array}
 117       \right.
 118       $$
 119 La résolution de cette équation nous donne les solutions
 120 classiques:
 121 $$\left\lbrace
 122     \begin{array}{l}
 123       \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
 124       \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
 125       \end{array}
 126       \right.
 127       \qquad \Delta'=b'^2-ac
 128       $$
 129 On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$.
 130 \par
 131 $IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
 132 défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
 133 au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
 134 cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
 135 \begin{enumerate}
 136   \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
 137   \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
 138 \end{enumerate}
 139 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
 140 $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\
 141 La première condition se traduit par :
 142 $$\left\lbrace
 143     \begin{array}{l}
 144       x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
 145       y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
 146       z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0
 147       \end{array}
 148       \right.
 149     \Longrightarrow
 150   \left\lbrace
 151     \begin{array}{l}
 152       x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
 153       y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
 154       z_{V'}=2z_I-z_V
 155       \end{array}
 156       \right.
 157       $$
 158 La deuxième par :
 159 $$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$
 160 En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition
 161 dans la deuxième :
 162 $$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$
 163 $$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
 164 $$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
 165 Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
 166 $$ \left\lbrace
 167     \begin{array}{l}
 168       x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
 169       y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
 170       z_{V'}=z_V(1-2\rho)
 171       \end{array}
 172       \right.
 173       $$
 174 Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
 175 horizontal $z=0$.\par
 176 \'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
 177 $\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
 178 $$ \left\lbrace
 179     \begin{array}{l}
 180       x_{V'}-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\
 181       y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\
 182       z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I)
 183       \end{array}
 184       \right.
 185       $$
 186 $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit
 187 $$\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho}$$
 188 En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
 189 anamorphique.
 190 $$ \left\lbrace
 191     \begin{array}{l}
 192       x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
 193       y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
 194       \end{array}
 195       \right.
 196       $$
 197 Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
 198 l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
 199 dont le miroir « redressera » la forme.
 200
 201 On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend aisément en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale étant fixée $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ étant symétriques par rapport à la génératrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donné alors $A$ est fixé quelque soit~$z_V$.
 202 \section{L'anamorphose conique}
 203 Le principe est identique à celui de l'anamorphose cylindrique :
 204 imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet « anamorphique »,
 205 se réfléchissant sur le miroir conique et parvenant à l'{\oe}il de
 206 l'observateur placé au-dessus et dans l'axe du cône à une position
 207 suffisamment haute pour que l'observateur puisse être considéré
 208 comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer
 209 l'image reconstituée par le miroir conique. Image et objet sont
 210 dans le plan horizontal.
 211 \input{fig3d-anacon.tex}
 212 Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec
 213 le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de
 214 $V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,Z_V)$, $S(0,0,Z_S)$ et
 215 $P(X_P,Y_P,0)$.
 216
 217 L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
 218 \[\left\lbrace
 219     \begin{array}{lcl}
 220       0-x_I&=&\lambda(0-x_P)\\
 221       0-y_I&=&\lambda(0-y_P)\\
 222       z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
 223       \end{array}
 224       \right.
 225       \Longrightarrow
 226     \left\lbrace
 227     \begin{array}{lcl}
 228       x_I&=&\lambda x_P\\
 229       y_I&=&\lambda y_P\\
 230       z_I&=&(1-\lambda)z_V
 231       \end{array}
 232       \right.
 233 \]
 234 On pose :
 235 \[
 236     r_I^2=x_I^2+y_I^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2\quad\textrm{et}\quad |\overrightarrow{OG}|=R
 237 \]
 238 Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la
 239 relation (th\'{e}or\^{e}me de Thalès):
 240 \[
 241     \frac{R}{z_S}=\frac{r_I}{z_S-z_I}
 242 \]
 243 %
 244 \[
 245     \frac{R}{z_S}=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}
 246 \]
 247 \[
 248     \lambda=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V}
 249 \]
 250 \begin{center}
 251 \begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,10)
 252 \pnode(0,10){V}
 253 \uput[0](V){$V$}
 254 \pnode(0,5){S}
 255 \uput[0](S){$S$}
 256 \pnode(1.5,2.5){I}
 257 \pnode(2,0){P}
 258 \pnode(4.545,0){P'}
 259 \uput[45](P'){$P'$}
 260 \psdots[dotstyle=|](P')
 261 \pnode(3,0){G}
 262 \pnode(-3,0){G'}
 263 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)
 264 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.5)
 265 \uput[45](P){$P$}
 266 \uput[-45](G){$G$}
 267 \uput[70](I){$I$}
 268 \psline(V)(P)
 269 \psline(S)(G)
 270 \rput(I){%
 271 \psline[linestyle=dashed](4;30.96)
 272 \uput[15.5](4;30.1){$N$}
 273 \rput{-59.036}(0,0){\psframe(0.5,0.5)}
 274 \psarc[doubleline=true](0,0){1}{101.31}{120.964}
 275 %\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036}
 276 \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{-59.036}{-39.38}
 277 \pnode(1.2;-50){I1}
 278 \pnode(1.2;112){I2}
 279 \uput[-50](I1){$\alpha$}
 280 \uput[112](I2){$\alpha$}
 281 }
 282 \rput(P'){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1}{140.175}{180}
 283 \uput[160](1;160){$\alpha'$}}
 284 \rput(S){\psarc[linecolor=gray,linewidth=2\pslinewidth](0,0){1}{-90}{-59.036}
 285 \uput[-75](1;-75){$\theta$}}
 286 \rput(V){\psarc(0,0){2}{-90}{-78.69}
 287 \uput[-80](2;-85){$\beta$}}
 288 \psline[linecolor=red](V)(I)(P')
 289 \pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
 290 \pcline[nodesepB=4,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
 291 \qdisk(I){2pt}
 292 \qdisk(P){2pt}
 293 \qdisk(S){2pt}
 294 \qdisk(V){2pt}
 295 \qdisk(P'){2pt}
 296 \qdisk(G){2pt}
 297 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(2,-0.2)
 298 \uput[-90](1,-0.2){$r_P$}
 299 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.8)(3,-0.8)
 300 \uput[-90](1.5,-0.8){$R$}
 301 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(1.5,2.5)(0,2.5)
 302 \uput[-90](0.75,2.5){$r_I$}
 303 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-0.2,0)(-0.2,5)
 304 \uput[180](-0.2,2.5){$z_S$}
 305 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-1,0)(-1,10)
 306 \uput[180](-1,5){$z_V$}
 307 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linestyle=dashed](1.5,2.5)(1.5,0)
 308 \end{pspicture}
 309 \end{center}
 310 Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon
 311 r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\alpha'$.
 312
 313 Un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire nous montre que :
 314 \[
 315     \alpha'=90^\circ-2\theta+\beta
 316 \]
 317 avec
 318 \[
 319     \beta=\arctan\frac{r_P}{z_V}
 320 \]
 321 et
 322 \[
 323     \theta=\arctan\frac{R}{z_S}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^{o}ne }
 324 \]
 325 Dans le plan horizontal, les coordonn\'{e}es de $P'$ sont :
 326 \[
 327 \left\lbrace
 328     \begin{array}{lcl}
 329       x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\[0.5cm]
 330       y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\
 331     \end{array}
 332 \right.
 333 \]
 334 \section{L'anamorphose sphérique}
 335 \begin{center}
 336 \begin{pspicture}(-4,-1)(8,5)
 337 \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,0){2}{0}{180}
 338 \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,0)(7.5,5)
 339 \pnode(1.5,0){P}
 340 \pnode(0,0){O}
 341 \pnode(!/alpha 15 def /xI 2 alpha  cos mul def /yI 2 alpha  sin mul def /beta yI xI 1.5 sub atan def xI yI){I}
 342 \psline(P)(I)
 343 \rput(I){\pnode(!beta cos 5 mul beta sin 5 mul){V}}
 344 \psline[linecolor=red](I)(V)
 345 \rput(I){\psarc[doubleline=true](0,0){1}{!alpha}{!beta}
 346          \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}}
 347 \pnode(!yI neg xI 2 alpha mul beta sub tan mul add 2 alpha mul beta sub tan div 0){M}
 348 \psline[linecolor=red](M)(I)
 349 \pcline[nodesepB=0.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(M)(I)
 350 \pcline[nodesepB=2,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
 351 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(I)
 352 \uput[75](1;15){$R$}
 353 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(V)
 354 \uput[75](3,2.7){$r_V$}
 355 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.3)(1.5,-0.3)
 356 \uput[-90](0.75,-0.3){$r_P$}
 357 \rput(I){%
 358 \psline[linestyle=dashed](5;15)
 359 \uput[15](5;15){$N$}
 360 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.5;105)
 361 \uput[105](1.5;105){$T$}
 362 \psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.25;-75)
 363 \rput{-75}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
 364 }
 365 \uput[-45](P){$P$}
 366 \uput[-45](M){$P'$}
 367 \uput[70](I){$I$}
 368 \uput[u](V){$V$}
 369 \psdot(P)
 370 \psdot(I)
 371 \psdot(V)
 372 \psdot(M)
 373 \end{pspicture}
 374 \end{center}
 375
 376 On place à l'intérieur de la demi-sphère l'image telle qu'elle doit
 377 être vue par un observateur regardant dans le miroir sphérique.
 378 (on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sphère, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
 379 Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
 380 géométrique :
 381 \begin{itemize}
 382   \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
 383   plan ;
 384   \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
 385   rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
 386 \end{itemize}
 387 L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
 388 placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
 389 l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
 390 parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
 391 l'illusion que le rayon provient du point image.
 392 Il  faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
 393 rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
 394 L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
 395 considéré comme ponctuel.
 396
 397 Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
 398 droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec la
 399 sphère : c'est le point d'incidence.\par
 400 $V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
 401 L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
 402 $$\left\lbrace
 403     \begin{array}{lcl}
 404       x_V-x_I&=&\lambda(x_V-x_P)\\
 405       y_V-y_I&=&\lambda(y_V-y_P)\\
 406       z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
 407       \end{array}
 408       \right.
 409       \Longrightarrow
 410     \left\lbrace
 411     \begin{array}{lcl}
 412       x_I&=&x_V(1-\lambda)+\lambda x_P\\
 413       y_I&=&y_V(1-\lambda)+\lambda y_P\\
 414       z_I&=&z_V(1-\lambda)
 415       \end{array}
 416       \right.
 417       $$
 418 Le point $I$ appartenant à la sphère, ses coordonnées vérifient la
 419 relation :
 420 $$x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2$$
 421 On pose :
 422 \[
 423     r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2
 424 \]
 425 \[
 426 \left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2
 427 \]
 428 \[
 429 x_V^2+2\lambda x_V(x_P-x_V)+\lambda^2(x_P-x_V)^2+y_V^2+2\lambda y_V(y_P-y_V) +\lambda^2(y_P-y_V)^2+(1-2\lambda+\lambda^2)z_V^2=R^2
 430 \]
 431 Après développement, on obtient l'équation du second degré en
 432 $\lambda$:
 433 \[
 434 \lambda^2\left((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2+z_V^2\right)+2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^2\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
 435 R^2=0
 436 \]
 437 \[
 438 \lambda^2\left(x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\right)+2\lambda\left(-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
 439 R^2=0
 440 \]
 441 \[
 442 a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
 443 \]
 444 Pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$
 445 \[
 446 a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V
 447 \]
 448 Pour le coefficient $2b'$ de $\lambda$ :
 449 \[
 450 2b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V
 451 \]
 452 Pour le coefficient $c$ :
 453 \[
 454 c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
 455 \]
 456 \[
 457 a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
 458 \]
 459 avec :
 460 \[\left\lbrace
 461     \begin{array}{l}
 462       a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
 463       b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
 464       c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
 465       \end{array}
 466       \right.
 467 \]
 468 \[\left\lbrace
 469     \begin{array}{l}
 470       a=r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
 471       b'=-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
 472       c=r_V^2-R^2
 473       \end{array}
 474       \right.
 475 \]
 476 La résolution de cette équation nous donne les solutions
 477 classiques:
 478 $$\left\lbrace
 479     \begin{array}{l}
 480       \lambda'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
 481       \lambda''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
 482       \end{array}
 483       \right.
 484       \qquad \Delta'=b'^2-ac
 485       $$
 486 On retiendra la valeur positive.% et \texttt{Coeff1} dans le programme.
 487 \par
 488 $IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
 489 défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
 490 au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
 491 cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
 492 \begin{enumerate}
 493   \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
 494   \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
 495 \end{enumerate}
 496 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
 497 $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$\\
 498 La première condition se traduit par :
 499 $$\left\lbrace
 500     \begin{array}{l}
 501       x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
 502       y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
 503       z_V-z_I+z_{V'}-z_I=kz_I
 504       \end{array}
 505       \right.
 506     \Longrightarrow
 507   \left\lbrace
 508     \begin{array}{l}
 509       x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
 510       y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
 511       z_{V'}=kz_I+2z_I-z_V
 512       \end{array}
 513       \right.
 514       $$
 515 La deuxième par :
 516 \[
 517 (x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0
 518 \]
 519 En remplaçant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}'$ tirés de la première condition
 520 dans la deuxième :
 521 \[
 522 k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0
 523 \]
 524 \[
 525 kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
 526 \]
 527 \[
 528 k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)+z_Vz_I
 529 \]
 530 Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
 531 $$ \left\lbrace
 532     \begin{array}{l}
 533       x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
 534       y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
 535       z_{V'}=(k+2)z_I-z_V
 536       \end{array}
 537       \right.
 538       $$
 539 Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
 540 horizontal $z=0$.\par
 541 \'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
 542 $\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$
 543 $$ \left\lbrace
 544     \begin{array}{l}
 545       x_I-x=\alpha(x_I-x_{V'})\\
 546       y_I-y=\alpha(y_I-y_{V'})\\
 547       z_I-z=\alpha(z_I-z_{V'})
 548       \end{array}
 549       \right.
 550       $$
 551 $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{I}}{z_I-z_{V'}}$.
 552
 553 En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
 554 anamorphique.
 555 $$ \left\lbrace
 556     \begin{array}{l}
 557       x=x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\
 558       y=y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\
 559       z=0
 560       \end{array}
 561       \right.
 562       $$
 563 Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
 564 l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
 565 dont le miroir « redressera » la forme.
 566
 567 \textbf{Remarque} : l'image doit se former du côté de l'observateur à l'intérieur du miroir, plus près du bord du miroir que du centre.
 568 Si on déplace le point $P$ vers $O$, il arrive un moment où le rayon réfléchi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan
 569 horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !
 570
 571 \section{La perspective}
 572 Dans le livre de Jurgis Baltru\9aaïtis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives dépravées} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la « \textit{costruzione legittima} » avec un schéma de Léonard de Vinci (1492) et des schémas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 :
 573
 574 << Rappelons en quelques mots quels ont été le procédés utilisés par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La première ligne tracée est celle de l'horizon à la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fixés : au milieu le point principal vers où convergent toutes les lignes droites parallèles qui s'éloignent en profondeur ; sur la même horizontale et à la même distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.
 575 >>
 576 \begin{center}
 577 \begin{pspicture}(-5,-3)(5,15)
 578 \psset{ua=2,F=10,D=4,type=perspective}
 579 \psframe*[linecolor=BleuCiel](-5,10)(5,13)
 580 \psframe*[linecolor=OrangePale](-5,2)(5,10)
 581 \psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(0,14)
 582 \psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(7,0)
 583 \uput[0](7,0){$x$}
 584 \uput[90](0,14){$y$}
 585 \psline(-5,2)(5,2)
 586 \pnode(4,10){F'}
 587 \pnode(0,10){F}
 588 \uput[ul](F){${F}$}
 589 \uput[ur](F'){${F'}$}
 590 \rput(0,12){\multido{\n=22.5+45.0}{8}{%
 591 \psline[linecolor=yellow](1;\n)}%
 592 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=0,gradend=yellow,gradbegin=gray]{0.5}}
 593 \multido{\i=-2+1}{5}{%
 594     \pnode(! \i\space -2){A}
 595     \pnode(! \i\space 2){B}
 596     \psline(A)(B)
 597     \pslineA(A)(B)
 598     }%
 599 \multido{\i=-2+1}{5}{%
 600     \pnode(!-2 \i){A}
 601     \pnode(!2 \i){B}
 602     \pslineA[linecolor=blue](A)(B)
 603     \psline[linecolor=blue](A)(B)
 604     }%
 605 \pnode(0,0){O}
 606 \pnodeA(0,0){O'}
 607 \pnode(-2,2){A}
 608 \pnodeA(-2,2){A'}
 609 \pnode(2,2){B}
 610 \pnodeA(2,2){B'}
 611 \pnode(-2,-2){C}
 612 \pnodeA(-2,-2){C'}
 613 \pnode(2,-2){D}
 614 \pnodeA(2,-2){D'}
 615 \pnode(-1,-1){M1}
 616 \pnodeA(-1,-1){M1'}
 617 \pnode(-1,1){M2}
 618 \pnodeA(-1,1){M2'}
 619 \pnode(-1,0){N1}
 620 \pnodeA(-1,0){N1'}
 621 \pnode(-1,2){P}
 622 \pnodeA(-1,2){P'}
 623 \pnode(-2,0){N2}
 624 \pnodeA(-2,0){N2'}
 625 \pnode(-2,1){N3}
 626 \pnodeA(-2,1){N3'}
 627 \pnodeA(-2,-1){S'}
 628 \pnode(0,2){Q}
 629 \pnode(1,2){R}
 630 \psline(A)(F)(B)
 631 \psline[linecolor=red](A)(F')
 632 \psline[linecolor=red](P)(F)
 633 \psline[linecolor=lightgray](P)(F')
 634 \psline[linecolor=lightgray](Q)(F')
 635 \psline[linecolor=lightgray](R)(F')
 636 \psline[linecolor=lightgray](S')(F')
 637 \psline[linecolor=lightgray](N2')(F')
 638 \psline[linecolor=lightgray](N3')(F')
 639 \uput[dl](A){${A}$}
 640 \uput[dr](B){${B}$}
 641 \uput[ul](A'){${A'}$}
 642 \uput[ur](B'){${B'}$}
 643 \uput[dl](C){${C}$}
 644 \uput[dr](D){${D}$}
 645 \uput[ul](P){${P}$}
 646 \uput[u](P'){${P'}$}
 647 \uput[ul](C'){${C'}$}
 648 \uput[ur](D'){${D'}$}
 649 \uput[dl](O){${O}$}
 650 \uput[dr](O'){${O'}$}
 651 \psline{<->|}(-3,2)(-3,10)
 652 \uput[l](-3,6){$f$}
 653 \pcline{|<->|}(F)(F')
 654 \uput[u](2,10){$e$}
 655 \psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O')
 656 \psdots[linecolor=blue](N1)(N1')
 657 \uput[dl](N1){$\blue {N_1}$}
 658 \uput[dl](N1'){$\blue {N_1'}$}
 659 \psdots[linecolor=gray](M2)(M2')
 660 \uput[dr](M2){\tiny $\gray {(X,Y)}$}
 661 \uput[dr](M2'){\tiny $\gray {(x',y')}$}
 662 \psdots[linecolor=red](M1')
 663 \uput[dr](M1'){\tiny $\red {(\alpha_1,\beta_1)}$}
 664 \end{pspicture}
 665 \end{center}
 666 Exemples :
 667 \begin{itemize}
 668   \item $A\longrightarrow A'$
 669   \item $B\longrightarrow B'$
 670   \item $C\longrightarrow C'$
 671   \item $D\longrightarrow D'$
 672   \item $O\longrightarrow O'$
 673   \item $M_1\longrightarrow M_1'$
 674   \item $M_2\longrightarrow M'_2$
 675 \end{itemize}
 676 Déterminons les coordonnées $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection
 677 de $(PF)$ avec $(AF')$.
 678
 679 Posons que les coordonnées des points essentiels sont :
 680 \begin{itemize}
 681   \item $F(0,f)$
 682   \item $F'(e,f)$
 683   \item $A(-a,a)$
 684   \item $B(a,a)$
 685   \item $C(a,-a)$
 686   \item $D(-a,-a)$
 687   \item $P(X,a)$
 688 \end{itemize}
 689 \'Equation de $(AF')$ :
 690 $$\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow
 691 x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0$$
 692 \'Equation de $(PF)$ :
 693 $$\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0$$
 694 Intersection $(PF)\bigcap (AF')$
 695 $$\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e}$$
 696 Si on prend maintenant, un point d'ordonnée $Y\neq X$ par exemple
 697 $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais à
 698 l'intersection de $PF$ avec la parallèle à $x'Ox$ menée par le
 699 point-image du point de coordonnée $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est
 700 l'image de $O(0,0)$).
 701
 702 Il s'agit de déterminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'équation :
 703 $$y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e}$$
 704 Après calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
 705 $$\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e}$$
 706 En résumé si dans le repère $Oxy$, on appelle $(X,Y)$ les
 707 coordonnées d'un point-objet et $(x',y')$ les coordonnées du point
 708 image dans la transformation \textbf{anamorphose oblique} ou
 709 \textbf{perspective}, les formules qui permettent de passer de
 710 l'objet à l'image s'écrivent :
 711 \boldmath
 712 \[\left\lbrace
 713     \begin{array}{l}
 714      {\blue x'}=\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm]
 715      {\blue y'}=\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e}
 716     \end{array}
 717 \right.
 718 \]
 719
 720 \end{document}