gravitation/Kepler16-part2.tex

   1
   2 \documentclass{article}
   3 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   4 \usepackage[T1]{fontenc}
   5 \usepackage[latin1]{inputenc}%
   6 \usepackage[garamond]{mathdesign}
   7 \usepackage{pst-eqdf,pst-node,pst-tools,pst-grad}
   8 \usepackage{array,amsmath}
   9 \usepackage{animate}
  10 \usepackage{wasysym}
  11 \usepackage{url}
  12 \newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
  13 \newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}
  14 \newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0 0}}}
  15 \makeatletter
  16 %% adapté de \psRandom du package pstricks-add
  17 %% pour rendre aléatoire la taille des étoiles
  18 %% Manuel Luque
  19 \newdimen\pssizeStar
  20 \def\psset@sizeStar#1{\pssetlength\pssizeStar{#1}}
  21 \psset@sizeStar{1pt}
  22 \define@key[psset]{pst-eqd}{randomPoints}[1000]{\def\psk@randomPoints{#1}}
  23 \psset[pst-eqd]{randomPoints=1000}
  24 \define@boolkey[psset]{pst-eqd}[Pst@]{color}[true]{}
  25 \psset[pst-eqd]{color=false}
  26 \def\psRandomStar{\pst@object{psRandomStar}}%
  27 \def\psRandomStar@i{\@ifnextchar({\psRandomStar@ii}{\psRandomStar@iii(0,0)(1,1)}}
  28 \def\psRandomStar@ii(#1){\@ifnextchar({\psRandomStar@iii(#1)}{\psRandomStar@iii(0,0)(#1)}}
  29 \def\psRandomStar@iii(#1)(#2)#3{%
  30   \def\pst@tempA{#3}%
  31   \ifx\pst@tempA\pst@empty\psclip{\psframe(#2)}\else\psclip{#3}\fi
  32   \pst@getcoor{#1}\pst@tempA
  33   \pst@getcoor{#2}\pst@tempB
  34   \begin@SpecialObj
  35   \addto@pscode{
  36     \pst@tempA\space /yMin exch def
  37     /xMin exch def
  38     \pst@tempB\space /yMax exch def
  39     /xMax exch def
  40     /dy yMax yMin sub def
  41     /dx xMax xMin sub def
  42     rrand srand                 % initializes the random generator
  43     /getRandReal { rand 2147483647 div } def
  44      \psk@randomPoints {
  45     /DS \pst@number\pssizeStar\space getRandReal mul def
  46     \@nameuse{psds@\psk@dotstyle}
  47      \ifPst@color getRandReal 1 1 sethsbcolor \fi
  48      getRandReal dx mul xMin add
  49      getRandReal dy mul yMin add
  50      Dot
  51      \ifx\psk@fillstyle\psfs@solid fill \fi stroke
  52     } repeat
  53   }%
  54   \end@SpecialObj
  55   \endpsclip
  56   \ignorespaces
  57 }
  58 \makeatother
  59 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  60 %timeline
  61 \begin{filecontents}{kepler16Nasa.dat}
  62 ::0x0
  63 ::1
  64 ::2
  65 ::3
  66 ::4
  67 ::5
  68 ::6
  69 ::7
  70 ::8
  71 ::9
  72 ::10
  73 ::11
  74 ::12
  75 ::13
  76 ::14
  77 ::15
  78 ::16
  79 ::17
  80 ::18
  81 ::19
  82 ::20
  83 ::21
  84 ::22
  85 ::23
  86 ::24
  87 ::25
  88 ::26
  89 ::27
  90 ::28
  91 ::29
  92 ::30
  93 ::31
  94 ::32
  95 ::33
  96 ::34
  97 ::35
  98 ::36
  99 ::37
 100 ::38
 101 ::39
 102 ::40
 103 ::41
 104 ::42
 105 ::43
 106 ::44
 107 ::45
 108 ::46
 109 ::47
 110 ::48
 111 ::49
 112 ::50
 113 ::51
 114 ::52
 115 ::53
 116 ::54
 117 ::55
 118 ::56
 119 ::57
 120 ::58
 121 ::59
 122 ::60
 123 ::61
 124 ::62
 125 ::63
 126 ::64
 127 ::65
 128 ::66
 129 ::67
 130 ::68
 131 ::69
 132 ::70
 133 ::71
 134 ::72
 135 ::73
 136 ::74
 137 ::75
 138 ::76
 139 ::77
 140 ::78
 141 ::79
 142 ::80
 143 ::81
 144 ::82
 145 ::83
 146 ::84
 147 ::85
 148 ::86
 149 ::87
 150 ::88
 151 ::89
 152 ::90
 153 ::91
 154 ::92
 155 ::93
 156 ::94
 157 ::95
 158 ::96
 159 ::97
 160 ::98
 161 ::99
 162 ::100
 163 ::101
 164 ::102
 165 ::103
 166 ::104
 167 ::105
 168 ::106
 169 ::107
 170 ::108
 171 ::109
 172 ::110
 173 ::111
 174 ::112
 175 ::113
 176 ::114
 177 ::115
 178 ::116
 179 ::117
 180 ::118
 181 ::119
 182 ::120
 183 ::121
 184 ::122
 185 ::123
 186 ::124
 187 ::125
 188 ::126
 189 ::127
 190 ::128
 191 ::129
 192 ::130
 193 ::131
 194 ::132
 195 ::133
 196 ::134
 197 ::135
 198 ::136
 199 ::137
 200 ::138
 201 ::139
 202 ::140
 203 ::141
 204 ::142
 205 ::143
 206 ::144
 207 ::145
 208 ::146
 209 ::147
 210 ::148
 211 ::149
 212 ::150
 213 ::151
 214 ::152
 215 ::153
 216 ::154
 217 ::155
 218 ::156
 219 ::157
 220 ::158
 221 ::159
 222 ::160
 223 ::161
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 225 ::163
 226 ::164
 227 ::165
 228 ::166
 229 ::167
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 262 ::200
 263 ::201
 264 ::202
 265 ::203
 266 ::204
 267 ::205
 268 ::206
 269 ::207
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 272 ::210
 273 ::211
 274 ::212
 275 ::213
 276 ::214
 277 ::215
 278 ::216
 279 ::217
 280 ::218
 281 ::219
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 283 ::221
 284 ::222
 285 ::223
 286 ::224
 287 ::225
 288 ::226
 289 ::227
 290 ::228
 291 ::229
 292 ::230
 293 ::231
 294 \end{filecontents}
 295 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
 296
 297 \title{Gravitation : une planète à deux soleils - partie 2}
 298 \date{12 juillet 2\,012}
 299 \begin{document}
 300 \maketitle
 301 \section{Explications sur la représentation à partir des données de la NASA}
 302 Nous avons vu que le site de la NASA dédié à cette planète\footnote{\url{http://kepler.nasa.gov/Mission/discoveries/kepler16b/}}, fournit un grand nombre de renseignements sur les étoiles et la planète, ce qui permet de reconstituer leurs trajectoires respectives. Je rappelle les caractéristiques utiles pour le schéma et l'animation de ces trois corps.
 303 \begin{center}
 304 \begin{tabular}{|ll|}
 305 \hline
 306 \textbf{ Paramètres}&\textbf{Valeurs}\\ \hline
 307   \textit{Étoile A}&\\ \hline
 308   Masse, $M_A(M_{\astrosun})$&0.6897\\
 309   Rayon, $R_A(R_{\astrosun})$&0.6489\\ \hline
 310   \textit{Étoile B}&\\ \hline
 311   Masse, $M_B(M_{\astrosun})$&0.20255\\
 312   Rayon, $R_B(R_{\astrosun})$&0.22623\\ \hline
 313   \textit{Planète b}&\\ \hline
 314   Masse, $M_b(M_{\jupiter})$&0.333\\
 315   Rayon, $R_b(R_{\jupiter})$&0.7538\\ \hline
 316   \textit{Orbite de l'étoile binaire}&\\ \hline
 317   Période(jours)&41.076\\
 318   Demi-grand axe(ua) $\mathrm{a_1}$&0.22431\\
 319   Excentricité $\mathrm{e_1}$&0.15944\\
 320   Argument du périastre(deg) $\omega_1$&263.464\\ \hline
 321   \textit{Orbite de la planète circumbinaire} &\\ \hline
 322    Période(jours)&228.776\\
 323   Demi-grand axe(ua)$\mathrm{a_2}$&0.7048\\
 324   Excentricité $\mathrm{e_2}$&0.0069\\
 325   Argument du périastre(deg) $\omega_2$&318\\ \hline
 326 \end{tabular}
 327 \end{center}
 328 Voici quelques explications qui permettront, je l'espère, de comprendre comment on peut reconstituer le mouvement de la planète ``Kepler-16b'' orbitant autour d'une étoile binaire, ainsi que ceux des 2 étoiles ``Kepler-16A'' et ``Kepler-16B'', à partir de ces données.
 329 \subsection{Le couple d'étoiles}
 330 Pour le couple d'étoiles $A$ et $B$, les données de la \textsc{nasa} caractérisent le mouvement dans le repère barycentrique, d'un corps fictif de masse égale à la masse réduite :
 331 \[
 332 \mu=\frac{m_Am_B}{m_A+m_B}
 333 \]
 334 placé en un point $M$ tels que $\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}$, comme s'il subissait l'attraction gravitationnelle d'un corps fictif placé au barycentre, de masse égale à la somme des masses de deux étoiles\footnote{On pourra consulter le document suivant, dédié au problème des deux corps : \newline \url{http://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-eqdf/depotgit/gravitation/pb_2corps_doc.pdf}\newline
 335 dont on trouvera aussi le fichier source à la même adresse : \newline\url{http://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-eqdf/depotgit/gravitation/}}.
 336
 337 Ce corps décrit une ellipse dont le centre de masse du système un foyer. Son équation paramétrique s'écrit :
 338 \[
 339 r_1=\frac{p_1}{1+e_1\cos(\theta-\omega_1)}
 340 \]
 341 On en déduit le paramètre de cette ellipse :
 342 \[
 343 p_1=a_1(1-e_1^2)
 344 \]
 345 Les équations respectives des deux étoiles se déduisent de la relation barycentrique :
 346 \[
 347 \overrightarrow{r_A}=-\frac{m_B}{m_A+m_B}\overrightarrow{r_1}\quad\mbox{et}\quad \overrightarrow{r_B}=\frac{m_A}{m_A+m_B}\overrightarrow{r_1}
 348 \]
 349 Ce sont deux ellipses de même excentricité, mais dont les paramètres et demi-grand axes sont différents :
 350 \[
 351 p_A=p_1\frac{m_B}{m_A+m_B}\quad ; \quad p_B=p_1\frac{m_A}{m_A+m_B}
 352 \]
 353 On peut en déduire les demi-grand axes :
 354 \[
 355 a_A=\frac{p_A}{1-e_1^2}\quad ; \quad a_B=\frac{p_B}{1-e_1^2}
 356 \]
 357 Les équations paramétriques s'écrivent :
 358 \[
 359 r_A=-\frac{p_A}{1+e_1\cos(\theta-\omega_1)}\quad ; \quad r_B=\frac{p_B}{1+e_1\cos(\theta-\omega_1)}
 360 \]
 361 \begin{center}
 362 \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
 363 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 364 \pstVerb{% pour le système binaire d'étoiles
 365         /a1 0.22431 def % semi-major axis
 366         /e1 0.15944 def % eccentricity
 367         /w1 263.464 def % argument of periaspe
 368         /MA 0.6897 def  % masse of star A
 369         /MB 0.20255 def % masse of star B
 370         /Mt MA MB add def % masse totale
 371         /P1 41.076 def  % period (day)
 372         % pour la planète
 373         /Mb 0.3333 def  % masse of planet b (M_Jupiter)
 374         /a2 0.7048 def  % semi-major axis
 375         /e2 0.0069 def  % eccentricity
 376         /w2 318 def  % argument of periaspe
 377         /P2 228.776 def % period (day)
 378 % on en déduit le paramètre de chacune des ellipses
 379         /p1 a1 1 e1 dup mul add mul def
 380         /p2 a2 1 e2 dup mul add mul def
 381         }%
 382 \pnode(!/radius p1 1 e1 w1 w1 sub cos mul add div def
 383          radius w1 cos mul 5 mul
 384          radius w1 sin mul 5 mul){Mu}
 385 \psdot(Mu)
 386 \parametricplot[plotpoints=360,unit=5,linestyle=dashed]{0}{360}{
 387     /radius p1 1 e1 t w1 sub cos mul add div def
 388      radius t cos mul
 389      radius t sin mul}
 390 \pnode(!/radius p1 1 e1 w1 w1 sub cos mul add div neg def
 391         /radius1 radius MB Mt div mul def
 392          radius1 w1 cos mul 5 mul
 393          radius1 w1 sin mul 5 mul){MA0}
 394 \parametricplot[plotpoints=360,unit=5,,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}]{0}{360}{
 395     /radius p1 1 e1 t w1 sub cos mul add div neg def
 396     /radius1 radius MB Mt div mul def
 397      radius1 t cos mul
 398      radius1 t sin mul}
 399 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow!50](MA0){0.3}
 400 \parametricplot[plotpoints=360,unit=5,linecolor=red]{0}{360}{
 401     /radius p1 1 e1 t w1 sub cos mul add div def
 402     /radius2 radius MA Mt div mul def
 403      radius2 t cos mul
 404      radius2 t sin mul}
 405 \pnode(!/radius p1 1 e1 w1 w1 sub cos mul add div def
 406         /radius1 radius MA Mt div mul def
 407         radius1 w1 cos mul 5 mul
 408         radius1 w1 sin mul 5 mul){MB0}
 409 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red](MB0){0.15}
 410 \parametricplot[plotpoints=360,unit=5,linecolor=blue]{0}{360}{
 411     /radius p2 1 e2 t w2 sub cos mul add div def
 412      radius t cos mul
 413      radius t sin mul}
 414 \pnode(!/radius p2 1 e2 w2 w2 sub cos mul add div def
 415         radius w2 cos mul 5 mul
 416         radius w2 sin mul 5 mul){Mb0}
 417 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue](Mb0){0.07}
 418 \end{pspicture}
 419 \end{center}
 420 Pour décrire complètement le mouvement des 3 corps, il faut pouvoir déterminer leurs positions respectives à un instant donné. Cela est possible puisque nous connaissons leurs périodes de révolution. Pour cela il faut résoudre \textit{l'équation de Kepler} qui est la relation entre l'\textit{anomalie moyenne} et l'\textit{anomalie excentrique}\footnote{Un angle compté à partir de la direction du périhélie porte le nom de d'\textit{anomalie} (cf. Guy Sérane)}.
 421 %\[
 422 %AE=AM +\mathrm{e}\sin AE
 423 %\]
 424
 425 Guy Sérane dans ``\textit{Astronomie \& Ordinateur}'' publié chez Dunod en 1987 propose une intéressante démonstration géométrique de cette relation. Sur le schéma, les angles $E$  et $v$ représentent respectivement l'\textit{anomalie excentrique} et l'\textit{anomalie vraie}. Sa démonstration a été adaptée aux notations du schéma suivant :
 426 \begin{center}
 427 \begin{pspicture}(-8,-5)(3,5)
 428 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 429 \pstVerb{/par 2 def /exc 0.7 def /a_2 par 1 exc dup mul sub div def /b_2 a_2 1 exc dup mul sub sqrt mul def}%
 430 \parametricplot[plotpoints=360,linecolor=red]{0}{360}{
 431     /radius par 1 exc t cos mul add div def
 432      radius t cos mul
 433      radius t sin mul}
 434 \pnode(! a_2 exc mul neg 0){C} % centre de l'ellipse
 435 \rput(C){\psline(! a_2 neg 0)(! a_2 0)\psline[linestyle=dashed](! 0 a_2)(! 0 a_2 neg)%
 436          \pscircle(0,0){!a_2}}
 437 \pnode(0,0){O}% foyer
 438 \pscircle*(0,0){0.05}\pscircle(0,0){0.1}
 439 \uput[dl](C){O}\uput[d](O){F}
 440 \pstVerb{/AV 120 def}%
 441 \pnode(! /radius par 1 exc AV cos mul add div def
 442           radius AV cos mul
 443           radius AV sin mul){P} % planète
 444 \uput{0.1}[ur](P){$S$}
 445 \psdot(P)\psline(O)(P)
 446 %\pstVerb{% équation de Kepler
 447 %    5{/AETemp
 448 %       AM Excentric  180 mul 3.14159 div AE sin mul add def
 449 %      /AE AETemp def} repeat
 450 %     }%
 451 \pstVerb{/tan {dup sin exch cos div} def
 452          /arctan {
 453             dup 0 ge
 454             {1 atan}
 455             {neg 1 atan neg}
 456          ifelse
 457         } def
 458         /AE 1 exc sub 1 exc add div sqrt AV 2 div tan mul arctan 2 mul def
 459         /xP1 AE cos a_2 mul def
 460         /yP1 AE sin a_2 mul def}
 461 \rput(C){\pnode(!xP1 yP1){P1}\pnode(!xP1 0){H}}
 462 \rput(C){\pnode(!a_2 neg 0){A}\pnode(!0 b_2){B}\pnode(!a_2 0){Per}}
 463 \pscustom[fillstyle=hlines]{%
 464     \psline(C)(Per)
 465     \parametricplot[plotpoints=360,linecolor=red]{0}{AV}{
 466     /radius par 1 exc t cos mul add div def
 467      radius t cos mul
 468      radius t sin mul}
 469      \psline(P)(O)}
 470 \pscustom[fillstyle=vlines]{%
 471     \psline(O)(Per)
 472     \psarc(C){!a_2}{0}{!AE}
 473     \psline(P1)(F)}
 474 \psdot(P1)\uput[u](P1){$M$}\psline(C)(P1)\psline(H)(P1)
 475 \uput[d](H){$H$}
 476 \psarc[linecolor=white,linewidth=0.1](O){0.7}{0}{!AV}
 477 \psline(P)(F)
 478 \psarc[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{->}(O){0.7}{0}{!AV}
 479 \rput(O){\uput{0.75}[!AV 2 div](0,0){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,framesep=2pt]{$v$}}}
 480 \psarc[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{->}(C){0.5}{0}{!AE}
 481 \rput(C){\uput{0.55}[!AE 2 div](0,0){$E$}}
 482 \pcline[offset=-0.65cm]{<->}(C)(O)
 483 \ncput*[nrot=:U]{$c$}
 484 \pcline{<->}(A)(C)
 485 \ncput*[nrot=:U]{$a$}
 486 \pcline{->}(C)(B)
 487 \ncput*{$b$}
 488 \rput(2.2,-0.3){périastre}
 489 \uput[ur](Per){$P$}
 490 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{->}(2.8,-0.5)(1.5,-0.5)(Per)
 491 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor=blue]{<->}(3,0)(0,0)(0,5)
 492 \uput[r](0,4.8){$y$}\uput[u](2.9,0){$x$}
 493 \end{pspicture}
 494 \end{center}
 495 $v$ est appelé \textit{anomalie vraie} et $E$ est appelé \textit{anomalie excentrique}.
 496
 497 On passe du cercle de centre $O$ et de rayon $a$ dit \textit{cercle auxiliaire principal}, à l'ellipse de même centre, de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ par une affinité de rapport $b/a$ suivant l'axe des ordonnées.
 498 \[
 499 \frac{HS}{HM}=\frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}
 500 \]
 501 On se place dans le repère $Fxy$, $F$ étant le foyer de l'ellipse décrite par l'astre, c'est-à dire pour le cas qui nous intéresse le barycentre des deux étoiles. Les coordonnées de l'astre $(P)$ s'expriment en fonction de $v$ ou de $E$ ; $r=FS$. On obtient facilement :
 502 \[
 503 \left\{
 504 \begin{array}[m]{l}
 505 x=r\cos v=a(\cos E-\mathrm{e})\\[1em]
 506 y=r\sin v=a\sqrt{1-\mathrm{e}^2}\sin E\\[1em]
 507 r=a(1-\cos E)
 508 \end{array}
 509 \right.
 510 \]
 511 Nous pouvons en déduire l'anomalie vraie $(v)$ en fonction de $E$ :
 512 \[
 513 \left\{
 514 \begin{array}[m]{l}
 515 \cos v=\dfrac{\cos E-\mathrm{e}}{1-\cos E}\\[1em]
 516 \sin v=\dfrac{\sqrt{1-\mathrm{e}^2\sin E}}{1-\cos E}
 517 \end{array}
 518 \right.
 519 \]
 520 On utilise les formules de bissection pour calculer $v$ en fonction de $E$ :
 521 \[
 522 \tan^2\dfrac{v}{2}=\dfrac{1-\cos v}{1+\cos v}=\dfrac{1+\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\tan^2\dfrac{E}{2}
 523 \]
 524 \[
 525 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
 526 \tan\dfrac{v}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}\tan\dfrac{E}{2}
 527 }
 528 \]
 529 \textbf{La démonstration de Guy Sérane qui établit la relation de Képler :}
 530
 531 Le rayon vecteur $FM$ balaye sur le cercle en partant de $P$, une aire $S_1$ telle que :
 532
 533 $S_1=$ (aire du secteur $POM$) $-$ (aire du triangle $OMF$) de base $OF=c=a\mathrm{e}$ et de hauteur $HM=a\sin E$ .
 534 \[
 535 S_1=\dfrac{E}{2}a^2-\dfrac{\mathrm{e}a^2\sin E}{2}=\frac{a^2}{2}\left(E-\mathrm{e}\sin E\right)
 536 \]
 537 Si $S_2$ est la surface balayée par le rayon vecteur $FS$ sur l'ellipse, pendant la même durée, en utilisant la propriété énoncée au début : ``\textit{l'ellipse se déduit du cercle principal par une affinité de rapport $b/a$ suivant l'axe des ordonnées}'', et en remarquant que la transformation ne porte que sur une dimension ($y$), on peut en déduire que les surfaces balayées sur l'ellipse et sur le cercle principal sont dans le même rapport :
 538 \[
 539 S_2=S_1\dfrac{b}{a}=\dfrac{ab}{2}\left(E-\mathrm{e}\sin E\right)
 540 \]
 541 Sur une  période de révolution du satellite(ou la planète, ou de l'astre) notée $T$, le rayon vecteur $FS$ balaye l'ellipse de surface $\pi ab$. D'après la deuxième loi de Képler, ou loi des aires, si $t-t_P$ est la durée du parcours entre le périastre et la position considérée, nous pouvons écrire :
 542 \[
 543 t-t_P=T\dfrac{\text{aire } S_2}{\text{aire  ellipse}}=T\dfrac{\dfrac{ab}{2}\left(E-\mathrm{e}\sin E\right)}{\pi ab}
 544 \]
 545 Cette méthode géométrique permet donc d'établir l'équation de Kepler :
 546 \[
 547 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
 548 \dfrac{2\pi}{T}(t-t_P)=E-\mathrm{e}\sin E}
 549 \]
 550 $\dfrac{2\pi}{T}$ est le \textit{mouvement moyen} de l'astre, et $\dfrac{2\pi}{T}(t-t_P)$ l'\textit{anomalie moyenne}.
 551 %L'équation de Kepler :
 552 %\[
 553 %\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
 554 %E-\mathrm{e}\sin E=\frac{2\pi}{T}(t-t_P)
 555 %}
 556 %\]
 557 Cette équation permettra de connaître l'anomalie excentrique $E$ à un instant donné $(t)$. On pourra en déduire l'anomalie vraie.
 558 \newline
 559 Avec les données de la \textsc{Nasa}, nous pouvons maintenant déterminer les positions des 2 étoiles et de la planète dans le repère barycentrique à un instant quelconque, en résolvant l'équation de Képler.
 560 \section{La résolution de l'équation  de Képler}
 561 Le livre de Guy Sérane donne deux solutions : par un calcul itératif ou bien en utilisant un développement en série.
 562 \subsection{Calcul par itérations pour obtenir l'anomalie excentrique}
 563 On donne une valeur initiale, arbitraire, à l'anomalie excentrique, par exemple celle de l'anomalie moyenne et on effectue un nombre limité d'itérations, car la valeur se stabilise très rapidement, on peut éventuellement mettre une condition sur la précision pour sortir de la boucle. On fixe l'origine des temps à l'instant du passage au périastre $t_P=0$. Les données de la \textsc{Nasa} ne contiennent pas de renseignements sur le décalage temporel du passage au périastre des étoiles et de la planète. On suppose donc que les trois corps, à l'instant initial choisi, passent au même instant par leur périastre respectif.
 564 \begin{verbatim}
 565 \pstVerb{
 566 % les angles doivent être en degrés
 567 % pour calculer les sinus, cosinus
 568 % en postscript
 569   /rad2deg { 180 mul Pi div } bind def % radians -> degrés
 570   /AM t 2Pi mul T div def % anomalie moyenne à la date t
 571   /AE AM def % valeur initiale de anomalie excentrique
 572 % équation de Kepler
 573     5 {% 5 boucles
 574      /AETemp % anomalie excentrique provisoire
 575       AM excentricite rad2deg AE sin mul add
 576       def
 577      /AE AETemp def
 578       }repeat
 579        }%
 580 \end{verbatim}
 581 \subsection{Développement en série pour obtenir l'anomalie vraie}
 582 Désignons par $a_m$ l'anomalie moyenne et $a_v$ l'anomalie vraie.
 583 \[
 584 a_v=a_m+\left(2\mathrm{e}-\dfrac{\mathrm{e}^3}{4}\right)\sin a_m +\left( \dfrac{5}{4}\mathrm{e}^2-\dfrac{11}{24}\mathrm{e}^4\right)\sin2a_m+
 585  \dfrac{13}{12}\mathrm{e}^3\sin3a_m+\dfrac{103}{96}\mathrm{e}^4\sin4a_m+\ldots
 586 \]
 587 \textit{La convergence de ce développement en série est assurée pour de faibles excentricités}(cf.Guy Sérane).
 588
 589 \section{L'animation à partir des données de la \textsc{Nasa}}
 590 \begin{center}
 591 \def\nFrames{230}% 230 images (229 jours)
 592 \begin{animateinline}[controls,timeline=kepler16Nasa.dat,loop,%
 593                      begin={\begin{pspicture}(-8,-8)(8,8)},
 594                      end={\end{pspicture}}]{10}% 10 images/s
 595 \pstVerb{%
 596 /Pi 3.14159265359 def
 597 /2Pi 6.28318530718 def
 598 % les angles doivent être en degrés
 599 % pour calculer les sinus, cosinus
 600 % en postscript
 601 /rad2deg { 180 mul Pi div } bind def % radians -> degrés
 602 /deg2rad { 180 div Pi mul } bind def %  degrés -> radians
 603 /tan {dup sin exch cos div} def
 604          /arctan {
 605             dup 0 ge
 606             {1 atan}
 607             {neg 1 atan neg}
 608          ifelse
 609         } def
 610 /AV { % anomalie vraie
 611    1 exc add 1 exc sub div sqrt AE rad2deg 2 div tan mul arctan 2 mul
 612   } def
 613 /mA 0.6897 def % masse étoile A
 614 /mB 0.20255 def% masse étoile B
 615 /mt mA mB add def % masse totale
 616 /mP 3e-4 def % masse planète
 617 /a1 0.22431 def % a pour le point réduit
 618 /e1 0.15944 def % excentricité
 619 /p1 a1 1 e1 dup mul sub mul def  % paramètre
 620 /pA p1 mB mul mt div def % paramètre star A
 621 /pB p1 mA mul mt div def % paramètre star B
 622 /e2 0.0069 def % excentricité planète
 623 /a2 0.7048 def % demi-grand axe planète
 624 /w1 263.464 def % arguument
 625 /w2 318 def % arguument planète
 626 /p2 a2 1 e2 dup mul sub mul def  % paramètre planète
 627 % t T e Kepler -> AE
 628 % date periode excentricité -> Kepler -> anomalie excentrique
 629 /Kepler {
 630   /exc exch def
 631   /Ti exch def
 632   /ti exch def
 633   /AM ti 2Pi mul Ti div def % anomalie moyenne à la date t
 634   /AE AM def % valeur initiale de anomalie excentrique
 635     5 {% 5 boucles
 636      /AETemp % anomalie excentrique provisoire
 637       AM exc rad2deg AE sin mul add
 638       def
 639      /AE AETemp def
 640     } repeat
 641     }def
 642 % étoiles A et B
 643 % T=41.076 jours e=0.15944
 644 % planète
 645 % T=228.776 j    e=0.0069
 646 % on calcule sur la periode la planète
 647 % on construit les tableaux des positions
 648 % à 1 jour d'intervalle
 649 /tabStarA [
 650  0 1 229 {/i exch def
 651   i 41.076 e1 Kepler
 652   /radius pA 1 e1 AV cos mul add div neg def
 653    radius AV w1 add cos mul
 654    radius AV w1 add sin mul
 655   } for
 656   ] def
 657 /tabStarB [
 658  0 1 229 {/i exch def
 659   i 41.076 e1 Kepler
 660   /radius pB 1 e1 AV cos mul add div def
 661    radius AV w1 add cos mul
 662    radius AV w1 add sin mul
 663   } for
 664   ] def
 665  /tabPlanet [
 666  0 1 229 {/i exch def
 667   i 228.776 e2 Kepler
 668   /radius p2 1 e2 AV cos mul add div def
 669    radius AV w2 add cos mul
 670    radius AV w2 add sin mul
 671   } for
 672   ] def
 673     }%
 674 \psframe*[linecolor={[cmyk]{1 1 0 0.7}}](-8,-8)(8,8)
 675 \psRandomStar[linecolor={[rgb]{1,1,0.5}},
 676     randomPoints=1000,sizeStar=1pt](-8,-8)(8,8){\psframe[linestyle=none](-8,-8)(8,8)}
 677 %\listplot[unit=10,linecolor=gray]{tabStarA aload pop}
 678 %\listplot[unit=10,linecolor=gray]{tabStarB aload pop}
 679 %\listplot[unit=10,linecolor=gray]{tabPlanet aload pop}
 680 \newframe
 681 \multiframe{\nFrames}{i=0+2}{%
 682 \pstVerb{/i1 \i\space def
 683   /xA tabStarA i1 get 10 mul def
 684   /yA tabStarA i1 1 add get 10 mul def
 685   /xB tabStarB i1 get 10 mul def
 686   /yB tabStarB i1 1 add get 10 mul def
 687   /xP tabPlanet i1 get 10 mul def
 688   /yP tabPlanet i1 1 add get 10 mul def
 689        }%
 690 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=0,gradend=yellow,GradientCircle=true,gradbegin=yellow!50!red!50](!xA yA){0.6}
 691 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=0,gradend=red,GradientCircle=true,gradbegin=red!50](!xB yB){0.2}
 692 \pscircle*[linecolor=white](!xP yP){0.1}
 693 }
 694 \end{animateinline}
 695 \end{center}
 696 \end{document}
 697