2 \documentclass{article
}
3 \usepackage[a4paper,margin=
2cm
]{geometry
}
4 \usepackage[T1]{fontenc}
5 \usepackage[latin1]{inputenc}%
6 \usepackage[garamond
]{mathdesign
}
7 \usepackage{pst-eqdf,pst-node,pst-tools,pst-grad
}
8 \usepackage{array,amsmath
}
12 \newpsstyle{vecteurA
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
13 \newpsstyle{vecteurB
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=
{[rgb
]{0 0.5 1}}}
14 \newpsstyle{vecteurC
}{arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2,linecolor=
{[rgb
]{1 0 0}}}
16 %% adapté de \psRandom du package pstricks-add
17 %% pour rendre aléatoire la taille des étoiles
20 \def\psset@sizeStar
#1{\pssetlength\pssizeStar{#1}}
22 \define@key
[psset
]{pst-eqd
}{randomPoints
}[1000]{\def\psk@randomPoints
{#1}}
23 \psset[pst-eqd
]{randomPoints=
1000}
24 \define@boolkey
[psset
]{pst-eqd
}[Pst@
]{color}[true
]{}
25 \psset[pst-eqd
]{color=false
}
26 \def\psRandomStar{\pst@object
{psRandomStar
}}%
27 \def\psRandomStar@i
{\@ifnextchar(
{\psRandomStar@ii
}{\psRandomStar@iii(
0,
0)(
1,
1)
}}
28 \def\psRandomStar@ii(
#1)
{\@ifnextchar(
{\psRandomStar@iii(
#1)
}{\psRandomStar@iii(
0,
0)(
#1)
}}
29 \def\psRandomStar@iii(
#1)(
#2)
#3{%
31 \ifx\pst@tempA
\pst@empty
\psclip{\psframe(
#2)
}\else\psclip{#3}\fi
32 \pst@getcoor
{#1}\pst@tempA
33 \pst@getcoor
{#2}\pst@tempB
36 \pst@tempA
\space /yMin exch def
38 \pst@tempB
\space /yMax exch def
42 rrand srand
% initializes the random generator
43 /getRandReal
{ rand
2147483647 div
} def
45 /DS
\pst@number
\pssizeStar\space getRandReal mul def
46 \@nameuse
{psds@
\psk@dotstyle
}
47 \ifPst@
color getRandReal
1 1 sethsbcolor
\fi
48 getRandReal dx mul xMin add
49 getRandReal dy mul yMin add
51 \ifx\psk@fillstyle
\psfs@solid fill
\fi stroke
61 \begin{filecontents
}{kepler16Nasa.dat
}
297 \title{Gravitation : une planète à deux soleils - partie
2}
298 \date{12 juillet
2\,
012}
301 \section{Explications sur la représentation à partir des données de la NASA
}
302 Nous avons vu que le site de la NASA dédié à cette planète
\footnote{\url{http://kepler.nasa.gov/Mission/discoveries/kepler16b/
}}, fournit un grand nombre de renseignements sur les étoiles et la planète, ce qui permet de reconstituer leurs trajectoires respectives. Je rappelle les caractéristiques utiles pour le schéma et l'animation de ces trois corps.
304 \begin{tabular
}{|ll|
}
306 \textbf{ Paramètres
}&
\textbf{Valeurs
}\\
\hline
307 \textit{Étoile A
}&\\
\hline
308 Masse, $M_A(M_
{\astrosun})$&
0.6897\\
309 Rayon, $R_A(R_
{\astrosun})$&
0.6489\\
\hline
310 \textit{Étoile B
}&\\
\hline
311 Masse, $M_B(M_
{\astrosun})$&
0.20255\\
312 Rayon, $R_B(R_
{\astrosun})$&
0.22623\\
\hline
313 \textit{Planète b
}&\\
\hline
314 Masse, $M_b(M_
{\jupiter})$&
0.333\\
315 Rayon, $R_b(R_
{\jupiter})$&
0.7538\\
\hline
316 \textit{Orbite de l'étoile binaire
}&\\
\hline
317 Période(jours)&
41.076\\
318 Demi-grand axe(ua) $
\mathrm{a_1
}$&
0.22431\\
319 Excentricité $
\mathrm{e_1
}$&
0.15944\\
320 Argument du périastre(deg) $
\omega_1$&
263.464\\
\hline
321 \textit{Orbite de la planète circumbinaire
} &\\
\hline
322 Période(jours)&
228.776\\
323 Demi-grand axe(ua)$
\mathrm{a_2
}$&
0.7048\\
324 Excentricité $
\mathrm{e_2
}$&
0.0069\\
325 Argument du périastre(deg) $
\omega_2$&
318\\
\hline
328 Voici quelques explications qui permettront, je l'espère, de comprendre comment on peut reconstituer le mouvement de la planète ``Kepler-
16b'' orbitant autour d'une étoile binaire, ainsi que ceux des
2 étoiles ``Kepler-
16A'' et ``Kepler-
16B'', à partir de ces données.
329 \subsection{Le couple d'étoiles
}
330 Pour le couple d'étoiles $A$ et $B$, les données de la
\textsc{nasa
} caractérisent le mouvement dans le repère barycentrique, d'un corps fictif de masse égale à la masse réduite :
332 \mu=
\frac{m_Am_B
}{m_A+m_B
}
334 placé en un point $M$ tels que $
\overrightarrow{r_1
}=
\overrightarrow{CM
}=
\overrightarrow{AB
}=
\overrightarrow{r_B
}-
\overrightarrow{r_A
}$, comme s'il subissait l'attraction gravitationnelle d'un corps fictif placé au barycentre, de masse égale à la somme des masses de deux étoiles
\footnote{On pourra consulter le
document suivant, dédié au problème des deux corps :
\newline \url{http://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-eqdf/depotgit/gravitation/pb_2corps_doc.pdf
}\newline
335 dont on trouvera aussi le fichier source à la même adresse :
\newline\url{http://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-eqdf/depotgit/gravitation/
}}.
337 Ce corps décrit une ellipse dont le centre de masse du système un foyer. Son équation paramétrique s'écrit :
339 r_1=
\frac{p_1
}{1+e_1
\cos(
\theta-
\omega_1)
}
341 On en déduit le paramètre de cette ellipse :
345 Les équations respectives des deux étoiles se déduisent de la relation barycentrique :
347 \overrightarrow{r_A
}=-
\frac{m_B
}{m_A+m_B
}\overrightarrow{r_1
}\quad\mbox{et
}\quad \overrightarrow{r_B
}=
\frac{m_A
}{m_A+m_B
}\overrightarrow{r_1
}
349 Ce sont deux ellipses de même excentricité, mais dont les paramètres et demi-grand axes sont différents :
351 p_A=p_1
\frac{m_B
}{m_A+m_B
}\quad ;
\quad p_B=p_1
\frac{m_A
}{m_A+m_B
}
353 On peut en déduire les demi-grand axes :
355 a_A=
\frac{p_A
}{1-e_1^
2}\quad ;
\quad a_B=
\frac{p_B
}{1-e_1^
2}
357 Les équations paramétriques s'écrivent :
359 r_A=-
\frac{p_A
}{1+e_1
\cos(
\theta-
\omega_1)
}\quad ;
\quad r_B=
\frac{p_B
}{1+e_1
\cos(
\theta-
\omega_1)
}
362 \begin{pspicture
}(-
5,-
5)(
5,
5)
363 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]%
364 \pstVerb{% pour le système binaire d'étoiles
365 /a1
0.22431 def
% semi-major axis
366 /e1
0.15944 def
% eccentricity
367 /w1
263.464 def
% argument of periaspe
368 /MA
0.6897 def
% masse of star A
369 /MB
0.20255 def
% masse of star B
370 /Mt MA MB add def
% masse totale
371 /P1
41.076 def
% period (day)
373 /Mb
0.3333 def
% masse of planet b (M_Jupiter)
374 /a2
0.7048 def
% semi-major axis
375 /e2
0.0069 def
% eccentricity
376 /w2
318 def
% argument of periaspe
377 /P2
228.776 def
% period (day)
378 % on en déduit le paramètre de chacune des ellipses
379 /p1 a1
1 e1 dup mul add mul def
380 /p2 a2
1 e2 dup mul add mul def
382 \pnode(!/radius p1
1 e1 w1 w1 sub cos mul add div def
383 radius w1 cos mul
5 mul
384 radius w1 sin mul
5 mul)
{Mu
}
386 \parametricplot[plotpoints=
360,unit=
5,linestyle=dashed
]{0}{360}{
387 /radius p1
1 e1 t w1 sub cos mul add div def
390 \pnode(!/radius p1
1 e1 w1 w1 sub cos mul add div neg def
391 /radius1 radius MB Mt div mul def
392 radius1 w1 cos mul
5 mul
393 radius1 w1 sin mul
5 mul)
{MA0
}
394 \parametricplot[plotpoints=
360,unit=
5,,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}]{0}{360}{
395 /radius p1
1 e1 t w1 sub cos mul add div neg def
396 /radius1 radius MB Mt div mul def
399 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow!
50](MA0)
{0.3}
400 \parametricplot[plotpoints=
360,unit=
5,linecolor=red
]{0}{360}{
401 /radius p1
1 e1 t w1 sub cos mul add div def
402 /radius2 radius MA Mt div mul def
405 \pnode(!/radius p1
1 e1 w1 w1 sub cos mul add div def
406 /radius1 radius MA Mt div mul def
407 radius1 w1 cos mul
5 mul
408 radius1 w1 sin mul
5 mul)
{MB0
}
409 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red
](MB0)
{0.15}
410 \parametricplot[plotpoints=
360,unit=
5,linecolor=blue
]{0}{360}{
411 /radius p2
1 e2 t w2 sub cos mul add div def
414 \pnode(!/radius p2
1 e2 w2 w2 sub cos mul add div def
415 radius w2 cos mul
5 mul
416 radius w2 sin mul
5 mul)
{Mb0
}
417 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue
](Mb0)
{0.07}
420 Pour décrire complètement le mouvement des
3 corps, il faut pouvoir déterminer leurs positions respectives à un instant donné. Cela est possible puisque nous connaissons leurs périodes de révolution. Pour cela il faut résoudre
\textit{l'équation de Kepler
} qui est la relation entre l'
\textit{anomalie moyenne
} et l'
\textit{anomalie excentrique
}\footnote{Un angle compté à partir de la direction du périhélie porte le nom de d'
\textit{anomalie
} (cf. Guy Sérane)
}.
422 %AE=AM +\mathrm{e}\sin AE
425 Guy Sérane dans ``
\textit{Astronomie \& Ordinateur
}'' publié chez Dunod en
1987 propose une intéressante démonstration géométrique de cette relation. Sur le schéma, les angles $E$ et $v$ représentent respectivement l'
\textit{anomalie excentrique
} et l'
\textit{anomalie vraie
}. Sa démonstration a été adaptée aux notations du schéma suivant :
427 \begin{pspicture
}(-
8,-
5)(
3,
5)
428 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]%
429 \pstVerb{/par
2 def /exc
0.7 def /a_2 par
1 exc dup mul sub div def /b_2 a_2
1 exc dup mul sub sqrt mul def
}%
430 \parametricplot[plotpoints=
360,linecolor=red
]{0}{360}{
431 /radius par
1 exc t cos mul add div def
434 \pnode(! a_2 exc mul neg
0)
{C
} % centre de l'ellipse
435 \rput(C)
{\psline(! a_2 neg
0)(! a_2
0)
\psline[linestyle=dashed
](!
0 a_2)(!
0 a_2 neg)
%
436 \pscircle(
0,
0)
{!a_2
}}
437 \pnode(
0,
0)
{O
}% foyer
438 \pscircle*(
0,
0)
{0.05}\pscircle(
0,
0)
{0.1}
439 \uput[dl
](C)
{O
}\uput[d
](O)
{F
}
440 \pstVerb{/AV
120 def
}%
441 \pnode(! /radius par
1 exc AV cos mul add div def
443 radius AV sin mul)
{P
} % planète
444 \uput{0.1}[ur
](P)
{$S$
}
445 \psdot(P)
\psline(O)(P)
446 %\pstVerb{% équation de Kepler
448 % AM Excentric 180 mul 3.14159 div AE sin mul add def
449 % /AE AETemp def} repeat
451 \pstVerb{/tan
{dup sin exch cos div
} def
458 /AE
1 exc sub
1 exc add div sqrt AV
2 div tan mul arctan
2 mul def
459 /xP1 AE cos a_2 mul def
460 /yP1 AE sin a_2 mul def
}
461 \rput(C)
{\pnode(!xP1 yP1)
{P1
}\pnode(!xP1
0)
{H
}}
462 \rput(C)
{\pnode(!a_2 neg
0)
{A
}\pnode(!
0 b_2)
{B
}\pnode(!a_2
0)
{Per
}}
463 \pscustom[fillstyle=hlines
]{%
465 \parametricplot[plotpoints=
360,linecolor=red
]{0}{AV
}{
466 /radius par
1 exc t cos mul add div def
470 \pscustom[fillstyle=vlines
]{%
472 \psarc(C)
{!a_2
}{0}{!AE
}
474 \psdot(P1)
\uput[u
](P1)
{$M$
}\psline(C)(P1)
\psline(H)(P1)
476 \psarc[linecolor=white,linewidth=
0.1](O)
{0.7}{0}{!AV
}
478 \psarc[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{->
}(O)
{0.7}{0}{!AV
}
479 \rput(O)
{\uput{0.75}[!AV
2 div
](
0,
0)
{\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,framesep=
2pt
]{$v$
}}}
480 \psarc[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{->
}(C)
{0.5}{0}{!AE
}
481 \rput(C)
{\uput{0.55}[!AE
2 div
](
0,
0)
{$E$
}}
482 \pcline[offset=-
0.65cm
]{<->
}(C)(O)
483 \ncput*
[nrot=:U
]{$c$
}
485 \ncput*
[nrot=:U
]{$a$
}
488 \rput(
2.2,-
0.3)
{périastre
}
490 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{->
}(
2.8,-
0.5)(
1.5,-
0.5)(Per)
491 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=blue
]{<->
}(
3,
0)(
0,
0)(
0,
5)
492 \uput[r
](
0,
4.8)
{$y$
}\uput[u
](
2.9,
0)
{$x$
}
495 $v$ est appelé
\textit{anomalie vraie
} et $E$ est appelé
\textit{anomalie excentrique
}.
497 On passe du cercle de centre $O$ et de rayon $a$ dit
\textit{cercle auxiliaire principal
}, à l'ellipse de même centre, de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ par une affinité de rapport $b/a$ suivant l'axe des ordonnées.
499 \frac{HS
}{HM
}=
\frac{b
}{a
}=
\sqrt{1-e^
2}
501 On se place dans le repère $Fxy$, $F$ étant le foyer de l'ellipse décrite par l'astre, c'est-à dire pour le cas qui nous intéresse le barycentre des deux étoiles. Les coordonnées de l'astre $(P)$ s'expriment en fonction de $v$ ou de $E$ ; $r=FS$. On obtient facilement :
505 x=r
\cos v=a(
\cos E-
\mathrm{e
})\\
[1em
]
506 y=r
\sin v=a
\sqrt{1-
\mathrm{e
}^
2}\sin E\\
[1em
]
511 Nous pouvons en déduire l'anomalie vraie $(v)$ en fonction de $E$ :
515 \cos v=
\dfrac{\cos E-
\mathrm{e
}}{1-
\cos E
}\\
[1em
]
516 \sin v=
\dfrac{\sqrt{1-
\mathrm{e
}^
2\sin E
}}{1-
\cos E
}
520 On utilise les formules de bissection pour calculer $v$ en fonction de $E$ :
522 \tan^
2\dfrac{v
}{2}=
\dfrac{1-
\cos v
}{1+
\cos v
}=
\dfrac{1+
\mathrm{e
}}{1-
\mathrm{e
}}\tan^
2\dfrac{E
}{2}
525 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!
20]{%
526 \tan\dfrac{v
}{2}=
\sqrt{\dfrac{1+
\mathrm{e
}}{1-
\mathrm{e
}}}\tan\dfrac{E
}{2}
529 \textbf{La démonstration de Guy Sérane qui établit la relation de Képler :
}
531 Le rayon vecteur $FM$ balaye sur le cercle en partant de $P$, une aire $S_1$ telle que :
533 $S_1=$ (aire du secteur $POM$) $-$ (aire du triangle $OMF$) de base $OF=c=a
\mathrm{e
}$ et de hauteur $HM=a
\sin E$ .
535 S_1=
\dfrac{E
}{2}a^
2-
\dfrac{\mathrm{e
}a^
2\sin E
}{2}=
\frac{a^
2}{2}\left(E-
\mathrm{e
}\sin E
\right)
537 Si $S_2$ est la surface balayée par le rayon vecteur $FS$ sur l'ellipse, pendant la même durée, en utilisant la propriété énoncée au début : ``
\textit{l'ellipse se déduit du cercle principal par une affinité de rapport $b/a$ suivant l'axe des ordonnées
}'', et en remarquant que la transformation ne porte que sur une dimension ($y$), on peut en déduire que les surfaces balayées sur l'ellipse et sur le cercle principal sont dans le même rapport :
539 S_2=S_1
\dfrac{b
}{a
}=
\dfrac{ab
}{2}\left(E-
\mathrm{e
}\sin E
\right)
541 Sur une période de révolution du satellite(ou la planète, ou de l'astre) notée $T$, le rayon vecteur $FS$ balaye l'ellipse de surface $
\pi ab$. D'après la deuxième loi de Képler, ou loi des aires, si $t-t_P$ est la durée du parcours entre le périastre et la position considérée, nous pouvons écrire :
543 t-t_P=T
\dfrac{\text{aire
} S_2
}{\text{aire ellipse
}}=T
\dfrac{\dfrac{ab
}{2}\left(E-
\mathrm{e
}\sin E
\right)
}{\pi ab
}
545 Cette méthode géométrique permet donc d'établir l'équation de Kepler :
547 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!
20]{%
548 \dfrac{2\pi}{T
}(t-t_P)=E-
\mathrm{e
}\sin E
}
550 $
\dfrac{2\pi}{T
}$ est le
\textit{mouvement moyen
} de l'astre, et $
\dfrac{2\pi}{T
}(t-t_P)$ l'
\textit{anomalie moyenne
}.
551 %L'équation de Kepler :
553 %\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
554 %E-\mathrm{e}\sin E=\frac{2\pi}{T}(t-t_P)
557 Cette équation permettra de connaître l'anomalie excentrique $E$ à un instant donné $(t)$. On pourra en déduire l'anomalie vraie.
559 Avec les données de la
\textsc{Nasa
}, nous pouvons maintenant déterminer les positions des
2 étoiles et de la planète dans le repère barycentrique à un instant quelconque, en résolvant l'équation de Képler.
560 \section{La résolution de l'équation de Képler
}
561 Le livre de Guy Sérane donne deux solutions : par un calcul itératif ou bien en utilisant un développement en série.
562 \subsection{Calcul par itérations pour obtenir l'anomalie excentrique
}
563 On donne une valeur initiale, arbitraire, à l'anomalie excentrique, par exemple celle de l'anomalie moyenne et on effectue un nombre limité d'itérations, car la valeur se stabilise très rapidement, on peut éventuellement mettre une condition sur la précision pour sortir de la boucle. On fixe l'origine des temps à l'instant du passage au périastre $t_P=
0$. Les données de la
\textsc{Nasa
} ne contiennent pas de renseignements sur le décalage temporel du passage au périastre des étoiles et de la planète. On suppose donc que les trois corps, à l'instant initial choisi, passent au même instant par leur périastre respectif.
566 % les angles doivent être en degrés
567 % pour calculer les sinus, cosinus
569 /rad2deg
{ 180 mul Pi div
} bind def
% radians -> degrés
570 /AM t
2Pi mul T div def
% anomalie moyenne à la date t
571 /AE AM def
% valeur initiale de anomalie excentrique
574 /AETemp
% anomalie excentrique provisoire
575 AM excentricite rad2deg AE sin mul add
581 \subsection{Développement en série pour obtenir l'anomalie vraie
}
582 Désignons par $a_m$ l'anomalie moyenne et $a_v$ l'anomalie vraie.
584 a_v=a_m+
\left(
2\mathrm{e
}-
\dfrac{\mathrm{e
}^
3}{4}\right)
\sin a_m +
\left(
\dfrac{5}{4}\mathrm{e
}^
2-
\dfrac{11}{24}\mathrm{e
}^
4\right)
\sin2a_m+
585 \dfrac{13}{12}\mathrm{e
}^
3\sin3a_m+
\dfrac{103}{96}\mathrm{e
}^
4\sin4a_m+
\ldots
587 \textit{La convergence de ce développement en série est assurée pour de faibles excentricités
}(cf.Guy Sérane).
589 \section{L'animation à partir des données de la
\textsc{Nasa
}}
591 \def\nFrames{230}% 230 images (229 jours)
592 \begin{animateinline
}[controls,timeline=kepler16Nasa.dat,loop,
%
593 begin=
{\begin{pspicture
}(-
8,-
8)(
8,
8)
},
594 end=
{\end{pspicture
}}]{10}% 10 images/s
596 /Pi
3.14159265359 def
597 /
2Pi
6.28318530718 def
598 % les angles doivent être en degrés
599 % pour calculer les sinus, cosinus
601 /rad2deg
{ 180 mul Pi div
} bind def
% radians -> degrés
602 /deg2rad
{ 180 div Pi mul
} bind def
% degrés -> radians
603 /tan
{dup sin exch cos div
} def
610 /AV
{ % anomalie vraie
611 1 exc add
1 exc sub div sqrt AE rad2deg
2 div tan mul arctan
2 mul
613 /mA
0.6897 def
% masse étoile A
614 /mB
0.20255 def
% masse étoile B
615 /mt mA mB add def
% masse totale
616 /mP
3e-4 def
% masse planète
617 /a1
0.22431 def
% a pour le point réduit
618 /e1
0.15944 def
% excentricité
619 /p1 a1
1 e1 dup mul sub mul def
% paramètre
620 /pA p1 mB mul mt div def
% paramètre star A
621 /pB p1 mA mul mt div def
% paramètre star B
622 /e2
0.0069 def
% excentricité planète
623 /a2
0.7048 def
% demi-grand axe planète
624 /w1
263.464 def
% arguument
625 /w2
318 def
% arguument planète
626 /p2 a2
1 e2 dup mul sub mul def
% paramètre planète
628 % date periode excentricité -> Kepler -> anomalie excentrique
633 /AM ti
2Pi mul Ti div def
% anomalie moyenne à la date t
634 /AE AM def
% valeur initiale de anomalie excentrique
636 /AETemp
% anomalie excentrique provisoire
637 AM exc rad2deg AE sin mul add
643 % T=41.076 jours e=0.15944
645 % T=228.776 j e=0.0069
646 % on calcule sur la periode la planète
647 % on construit les tableaux des positions
648 % à 1 jour d'intervalle
652 /radius pA
1 e1 AV cos mul add div neg def
653 radius AV w1 add cos mul
654 radius AV w1 add sin mul
660 /radius pB
1 e1 AV cos mul add div def
661 radius AV w1 add cos mul
662 radius AV w1 add sin mul
668 /radius p2
1 e2 AV cos mul add div def
669 radius AV w2 add cos mul
670 radius AV w2 add sin mul
674 \psframe*
[linecolor=
{[cmyk
]{1 1 0 0.7}}](-
8,-
8)(
8,
8)
675 \psRandomStar[linecolor=
{[rgb
]{1,
1,
0.5}},
676 randomPoints=
1000,sizeStar=
1pt
](-
8,-
8)(
8,
8)
{\psframe[linestyle=none
](-
8,-
8)(
8,
8)
}
677 %\listplot[unit=10,linecolor=gray]{tabStarA aload pop}
678 %\listplot[unit=10,linecolor=gray]{tabStarB aload pop}
679 %\listplot[unit=10,linecolor=gray]{tabPlanet aload pop}
681 \multiframe{\nFrames}{i=
0+
2}{%
682 \pstVerb{/i1
\i\space def
683 /xA tabStarA i1 get
10 mul def
684 /yA tabStarA i1
1 add get
10 mul def
685 /xB tabStarB i1 get
10 mul def
686 /yB tabStarB i1
1 add get
10 mul def
687 /xP tabPlanet i1 get
10 mul def
688 /yP tabPlanet i1
1 add get
10 mul def
690 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=
0,gradend=yellow,GradientCircle=true,gradbegin=yellow!
50!red!
50](!xA yA)
{0.6}
691 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=
0,gradend=red,GradientCircle=true,gradbegin=red!
50](!xB yB)
{0.2}
692 \pscircle*
[linecolor=white
](!xP yP)
{0.1}