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[pst-eqdf.git] / gravitation / eqdf-grav_01.tex
1 \documentclass{article}
2 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
3 \usepackage[latin1]{inputenc}
4 \usepackage{pstricks-add,pst-eucl,pst-func}
5 \usepackage{array,amsmath}
6 \newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.125,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
7 \newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}
8 \newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
10 \title{Interaction gravitationnelle avec PSTricks}
11 \date{19 juin 2\,012}
12 \begin{document}
13 \maketitle
14 \def\eqsatellite{%
15 y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
16 \section{Mise en orbite d'un satellite}
17 \begin{figure}[htbp]
18 \begin{center}
19 \psset{unit=2}
20 \begin{pspicture}(-6,-2)(2,5)
21 \pstVerb{
22 /GM 1 def
23 /theta0 -35 def
24 /r0 1 def
25 /x0 r0 theta0 cos mul def
26 /y0 r0 theta0 sin mul def
27 /v0 1.3 def
28 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
29 /v0y v0 theta0 cos mul def
30 /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
31 /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
32 % excentricité
33 /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
34 %%%%%%%%%%%%%%
35 /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
36 /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
37 /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
38 % vitesse à l'apogée
39 /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
40 % vitesse au périgée
41 /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
42 % coordonnées de vA
43 /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
44 /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
45 % coordonnées de vP
46 /vPx vP theta0 90 add cos mul def
47 /vPy vP theta0 90 add sin mul def
48 % Apogée
49 /xA par 1 exc sub div theta0 cos mul neg def
50 /yA par 1 exc sub div theta0 sin mul neg def
51 % Périgée
52 /xP par 1 exc add div theta0 cos mul def
53 /yP par 1 exc add div theta0 sin mul def
54 % Centre
55 /xO xP xA add 2 div def
56 /yO yP yA add 2 div def
57 }%
58 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
59 \psdot[dotstyle=+](0,0)
60 \uput[d](0,0){O}
61 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-2)(2,5)
62 \rput(1,4){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{0000}s}}
63 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
64 radius t cos mul
65 radius t sin mul}
66 \pscircle*(!x0 y0){0.05}
67 \pnode(!xP yP){P} % périgée
68 \pnode(!xA yA){A} % Apogée
69 \pnode(!xO yO){O} % centre
70 \rput(!x0 y0){\psline[style=vecteurB]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x v0y){$\overrightarrow{v_0}$}}
71 \psline[linestyle=dashed](A)(P)
72 \pscircle*(A){0.05}
73 \uput[ul](A){$A$}
74 \uput[dr](P){$P$}
75 % position du satellite à un instant quelconque
76 \pstVerb{/theta_i 170 def
77 /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
78 /xS radius theta_i cos mul def
79 /yS radius theta_i sin mul def
80 /ux theta_i cos 1 mul def
81 /uy theta_i sin 1 mul def
82 /xi xS ux sub def
83 /yi yS uy sub def
84 /xi2 xS ux 2 div sub def
85 /yi2 yS uy 2 div sub def}%
86 \pnode(!xi2 yi2){Mi2}
87 \pnode(!xi yi){Mi}
88 \pnode(!xS yS){S}
89 \pscircle*(S){0.05}
90 \psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
91 \psline[style=vecteurA]{->}(S)(Mi)
92 \uput[l](S){S}
93 \uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
94 \psarcn{->}(0,0){0.4}{0}{!theta0}
95 \uput{0.5}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
96 \rput(A){\psline[style=vecteurB]{->}(!vAx vAy)}
97 %\rput(P){\psline[style=vecteurB]{->}(!vPx vPy)}
98 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(2,0)(0,0)(0,5)
99 \uput[r](0,4.9){$y$}\uput[u](1.9,0){$x$}
100 \psdot(O)\uput[r](O){$\Omega$}
101 \rput{!90 theta0 add}(O){\psline[linestyle=dashed](!b_2 neg 0)(!b_2 0)}
102 \end{pspicture}
103 \caption{Mouvement d'un satellite}
104 \end{center}
105 \end{figure}
106 Soit (M) la masse de l'astre et (m) celle du satellite avec $m\ll M$. Le centre de masse du système \{M,m\} est confondu avec le centre de l'astre attracteur. La mise en orbite s'effectue à partir du point $M_0(x_0,y_0)$ avec une vitesse $\overrightarrow{v_0}(v_{0_x},v_{0_x})$. $\theta_0$ est l'angle que fait $\overrightarrow{Ox}$ avec $\overrightarrow{OM_0}$. Le satellite (S), supposé ponctuel, subit de la part de l'astre une force d'attraction gravitationnelle :
107 \[
108 \overrightarrow{F}=-\mathcal{G}\frac{Mm}{r^2}\overrightarrow{u}\qquad \text{avec}\quad \overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}\quad \text{et}\quad \overrightarrow{r}=\overrightarrow{OS}
109 \]
110 Tous les \textit{bons} livres de mécanique\footnote{Comme celui, par exemple, de José-Philippe Pérez, aux éditions Masson.} établissent les relations suivantes :
111 \[
112 r=\frac{p}{1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)}
113 \]
114 Paramètres et excentricité ont pour expressions respectives, avec les notations suivantes : $K=\mathcal{G}Mm$, $\mathcal{E}$ l'énergie du système et $L$ le moment cinétique.
115 \[
116 \mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{2\mathcal{E}L^2}{mK^2}}\qquad p=\frac{L^2}{mK}
117 \]
118 On choisit une vitesse initiale $\overrightarrow{v_0}$ perpendiculaire à $\overrightarrow{OM_0}$, dans ces conditions le moment cinétique et l'énergie, qui restent constants, valent :
119 \[
120 L=mr_0v_0\qquad \mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2
121 \]
122 En remplaçant $L$ et $\mathcal{E}$, on obtient pour l'excentricité et le paramètre les expressions suivantes :
123 \[
124 \mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{1}{\mathcal{G}^2M^2}\Big(\frac{1}{2}v_0^4r_0^2-\mathcal{G}Mr_0v_0^2\Big)}
125 \]
126 \[
127 p=\frac{v_0^2r_0^2}{\mathcal{G}M}
128 \]
129 On se limite au cas du mouvement elliptique, avec, en conséquence, la condition :
130 \[
131 \mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2 < 0
132 \]
133 Le demi-grand axe $a$, le demi-petit axe $b$ sont :
134 \[
135 a=\frac{p}{1-\mathrm{e}^2}\qquad b=\frac{p}{\sqrt{1-\mathrm{e}^2}}
136 \]
137 La période $T$ qui obéit à la troisième loi de Képler :
138 \[
139 T^2=\frac{4\pi^2a^3}{\mathcal{G}M}
140 \]
141 La vitesse, en un point de l'ellipse, se calcule par :
142 \[
143 v^2=\mathcal{G}M\Big( \frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Big)
144 \]
145 Sachant que $r_p=\dfrac{p}{1+\mathrm{e}}$ et $r_A=\dfrac{p}{1-\mathrm{e}}$, on en déduit les vitesses au périgée et à l'apogée :
146 \[
147 v_P=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1+\mathrm{e})\qquad v_A=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1-\mathrm{e})
148 \]
149
150 \section{L'étude avec PSTricks}
151 \subsection{La trajectoire}
152 \def\parametres{
153 /GM 1 def % 4e14 def % GxM
154 /x0 6.5e6 def % position initiale
155 /y0 0 def
156 /vx0 0 def % vitesse initiale
157 /vy0 1e4 def
158 }
159 % x0 y0 x'0 y'0
160 % y[0] y[1] y[2] y[3]
161 \[
162 \left\{
163 \begin{array}{rcl}
164 \ddot{x}&=&-\dfrac{GM}{r^3}x\\[1em]
165 \ddot{y}&=&-\dfrac{GM}{r^3}y\\
166 \end{array}
167 \right.
168 \label{eq1}
169 \qquad r=\sqrt{x^2+y^2}
170 \]
171
172 On peut dessiner la trajectoire du satellite et de ses caractéristiques de deux façons :
173 \begin{itemize}
174 \item par l'utilisation de \verb+\parametricplot+ ;
175 \item ou celle de \verb+\psplotDiffEqn+.
176 \end{itemize}
177 \verb+\parametricplot+ utilise l'expression exacte de l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires :
178 \begin{verbatim}
179 \parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{%
180 /radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
181 radius t cos mul
182 radius t sin mul}
183 \end{verbatim}
184 L'excentricité, la période, demi-grand axe et demi-petit axe sont calculés par quelques lignes de code \textsf{postscript}. Il faut s'assurer que les conditions initiales choisies vérifient bien la condition d'une trajectoire elliptique, pour cela il faut que l'énergie initiale $\mathcal{E}_0<0$, sinon cela entraînera une erreur lors du passage à l'interpréteur \textsf{postscript}.
185 \begin{verbatim}
186 \pstVerb{
187 /GM 1 def
188 /theta0 -45 def
189 /r0 0.5 def
190 /x0 r0 theta0 cos mul def
191 /y0 r0 theta0 sin mul def
192 /v0 1.92 def
193 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
194 /v0y v0 theta0 cos mul def
195 /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
196 /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
197 % excentricité
198 /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul
199 v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
200 %demi-grand axe
201 /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
202 %demi-petit axe
203 /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
204 % période
205 /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
206 }%
207 \end{verbatim}
208 \verb+\psplotDiffEqn+ utilise les équations différentielles du mouvement, en notation algébrique :
209 \begin{verbatim}
210 % x0 y0 x'0 y'0
211 % y[0] y[1] y[2] y[3]
212 \def\eqsatellite{%
213 y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}
214 \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,%
215 linecolor=blue,linewidth=0.1,%
216 method=rk4,plotpoints=1000,%
217 algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
218 \end{verbatim}
219 Ce qui permet, par ailleurs de vérifier la qualité du tracé par la méthode numérique, en bleu, tandis que le tracé à partir de l'expression exacte est en trait fin en rouge.
220 %
221 \begin{center}
222 \begin{pspicture}(-12,-2)(4,10)
223 \pstVerb{
224 /GM 1 def
225 /theta0 -45 def
226 /r0 0.5 def
227 /x0 r0 theta0 cos mul def
228 /y0 r0 theta0 sin mul def
229 /v0 1.92 def
230 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
231 /v0y v0 theta0 cos mul def
232 /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
233 /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
234 % excentricité
235 /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
236 %%%%%%%%%%%%%%
237 /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
238 /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
239 /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
240 }%
241 \psframe*[linecolor=white](-3,-0.2)(0,0.2)
242 \pscircle[fillcolor=blue!50,fillstyle=solid](0,0){0.5}
243 \psgrid[unit=2,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-1)(2,5)
244 \rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}
245 \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,linewidth=0.1,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
246 \parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
247 radius t cos mul
248 radius t sin mul}
249 \psdot[unit=2,dotsize=0.12](!x0 y0)
250 \rput(!x0 2 mul y0 2 mul){\psline[style=vecteurC]{->}(!v0x v0y)}
251 \end{pspicture}
252 \end{center}
253 \subsection{La vitesse}
254 \verb+\psplotDiffEqn+ permet de voir comment varie la vitesse sur l'ellipse :
255 \begin{verbatim}
256 % x0 y0 x'0 y'0
257 % y[0] y[1] y[2] y[3]
258 \psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,%
259 plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
260 linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,
261 algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
262 \end{verbatim}
263 \begin{center}
264 \begin{pspicture}(0,-1)(10,7)
265 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]
266 \pstVerb{/GM 1 def
267 /theta0 -35 def
268 /r0 1 def
269 /x0 r0 theta0 cos mul def
270 /y0 r0 theta0 sin mul def
271 /v0 1.3 def
272 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
273 /v0y v0 theta0 cos mul def}%
274 \psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,
275 plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
276 ,linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
277 \multido{\i=1+1,\I=5+5}{9}{\uput[u](\i,0){\I}}
278 \pnode(! 36.4 5 div 0){P}
279 \psdot(P)\uput[d](P){Périgée}
280 \psline[linestyle=dashed](P)(! 36.4 5 div 7)
281 \pnode(! 36.4 10 div 0){A}
282 \psdot(A)\uput[d](A){Apogée}
283 \psline[linestyle=dashed](A)(! 36.4 10 div 7)
284 \uput[l](0,6.5){$v$}
285 \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(10,0)(0,0)(0,7)
286 \uput[u](10,0){$t$(s)}
287 \uput[ul](0,0){0}
288 \end{pspicture}
289 \end{center}
290 On peut obtenir les caractéristiques de la vitesse en un point quelconque, car le moment cinétique $L=mr\dot{\theta}$ étant constant, pour chaque valeur de $\theta$, on en déduit $r$ puis $\dot{\theta}$. En coordonnées polaires, la vitesse s'exprime par :
291 \[
292 \overrightarrow{v}=\dot{r}\overrightarrow{e_r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}}
293 \]
294 $\dot{\theta}$ et $\dot{r}$ s'obtiennent par les relations suivantes :
295 \[
296 \dot{\theta}^2=\frac{r_0v_0}{r}
297 \]
298 \[
299 \dot{r}=-\frac{p(-\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)}{(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0))^2}=\frac{r^2}{p}\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)
300 \]
301 La chaîne de calculs est la suivante : $\theta\Longrightarrow r\Longrightarrow \dot{\theta}\Longrightarrow \dot{r}\Longrightarrow \overrightarrow{v}$.
302 \section{Mouvement circulaire}
303 \begin{center}
304 \psset{unit=1}
305 \begin{pspicture}(-5,-5.5)(5,5.5)
306 \pstVerb{
307 /GM 1 def
308 /theta0 60 def
309 /r0 5 def
310 /x0 r0 theta0 cos mul def
311 /y0 r0 theta0 sin mul def
312 /v0 GM r0 div sqrt def
313 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
314 /v0y v0 theta0 cos mul def
315 /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
316 /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
317 % excentricité
318 /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
319 %%%%%%%%%%%%%%
320 /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
321 /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
322 /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
323 % vitesse à l'apogée
324 /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
325 % vitesse au périgée
326 /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
327 % coordonnées de vA
328 /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
329 /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
330 % coordonnées de vP
331 /vPx vP theta0 90 add cos mul def
332 /vPy vP theta0 90 add sin mul def
333 }%
334 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.75}
335 \psdot[dotstyle=+](0,0)
336 \uput[d](0,0){O}
337 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(5,5)
338 \rput(0,-2){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{000000}s}}
339 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
340 radius t cos mul
341 radius t sin mul}
342 \pscircle*(!x0 y0){0.1}
343 %\pnode(!par 1 exc add div theta0 cos mul par 1 exc add div theta0 sin mul){P} % périgée
344 %\pnode(!par 1 exc sub div theta0 cos mul neg par 1 exc sub div theta0 sin mul neg){A} % Apogée
345 \rput(!x0 y0){\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}},unit=4]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x 2 mul v0y 2 mul){$\overrightarrow{v_0}$}}
346 \uput[ur](!x0 y0){$M_0$}
347 \psline[linestyle=dashed](0,0)(!x0 y0)
348 % position du satellite à un instant quelconque
349 \pstVerb{/theta_i 170 def
350 /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
351 /xS radius theta_i cos mul def
352 /yS radius theta_i sin mul def
353 /ux theta_i cos 1 mul def
354 /uy theta_i sin 1 mul def
355 /xi xS ux sub def
356 /yi yS uy sub def
357 /xi2 xS ux 2 div sub def
358 /yi2 yS uy 2 div sub def}%
359 \pnode(!xi2 yi2){Mi2}
360 \pnode(!xi yi){Mi}
361 \pnode(!xS yS){S}
362 \pscircle*(S){0.1}
363 \psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
364 \psline[style=vecteurC]{->}(S)(Mi)
365 \uput[l](S){S}
366 \uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
367 \psarc{->}(0,0){1}{0}{!theta0}
368 \uput{1.1}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
369 \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
370 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
371 \uput[u](0,5){$y$}\uput[r](5,0){$x$}
372 \end{pspicture}
373 \end{center}
374 Il s'obtient très facilement à partir de l'étude précédente si on sait que dans ce cas :
375 \[
376 v_0=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{r_0}}
377 \]
378 \begin{verbatim}
379 \pstVerb{
380 /GM 1 def
381 /theta0 60 def
382 /r0 5 def
383 /x0 r0 theta0 cos mul def
384 /y0 r0 theta0 sin mul def
385 /v0 GM r0 div sqrt def
386 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
387 /v0y v0 theta0 cos mul def }%
388 \end{verbatim}
389
390 \end{document}
391 \begin{figure}[htbp]
392 \begin{center}
393 %\begin{pspicture}[shift=-2,showgrid=true](-3,-1.75)(2,1.5)
394 \begin{pspicture}(-12,-6)(4,6)
395 \pstVerb{\parametres}%
396 \psdot[dotsize=1](0,0)
397 \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{36.5}{1 0 0 1.3}{\eqsatellite}%
398 % \psplotDiffEqn[whichabs=0,whichord=1,linecolor=red, plotpoints=200,method=varrkiv, varsteptol=.00001,algebraic,showpoints]{0}{35}{5 0 0 %0.25}{\eqsatellite}
399 \psgrid[unit=2](-6,-3)(2,3)
400 \end{pspicture}
401 \caption{Mouvement d'un satellite}
402 \end{center}
403 \end{figure}
404
405 \begin{figure}[htbp]
406 \begin{center}
407 %\begin{pspicture}[shift=-2,showgrid=true](-3,-1.75)(2,1.5)
408 \begin{pspicture}(-12,-6)(4,6)
409 \pstVerb{\parametres}%
410 \psset{unit=2}%
411 \psdot[dotsize=1](0,0)
412 \psplotDiffEqn[whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{50}{1 0 0.2 1.25}{\eqsatellite}%
413 \psdot(1,0)
414 \rput(1,0){\psline[style=vecteurA]{->}(0.2,1.25)}
415 \psgrid(-6,-3)(2,3)
416 \end{pspicture}
417 \caption{Mouvement d'un satellite 3}
418 \end{center}
419 \end{figure}

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