gravitation/eqdf-grav_01.tex

   1 \documentclass{article}
   2 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   3 \usepackage[latin1]{inputenc}
   4 \usepackage{pstricks-add,pst-eucl,pst-func}
   5 \usepackage{array,amsmath}
   6 \newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.125,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
   7 \newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}
   8 \newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
   9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  10 \title{Interaction gravitationnelle avec PSTricks}
  11 \date{19 juin 2\,012}
  12 \begin{document}
  13 \maketitle
  14 \def\eqsatellite{%
  15 y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
  16 \section{Mise en orbite d'un satellite}
  17 \begin{figure}[htbp]
  18   \begin{center}
  19 \psset{unit=2}
  20 \begin{pspicture}(-6,-2)(2,5)
  21 \pstVerb{
  22     /GM 1 def
  23     /theta0 -35 def
  24     /r0 1 def
  25     /x0 r0 theta0 cos mul def
  26     /y0 r0 theta0 sin mul def
  27     /v0 1.3 def
  28     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
  29     /v0y v0 theta0 cos mul def
  30     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
  31     /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
  32 % excentricité
  33     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
  34 %%%%%%%%%%%%%%
  35     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
  36     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
  37     /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
  38 % vitesse à l'apogée
  39     /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
  40 % vitesse au périgée
  41     /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
  42 % coordonnées de vA
  43     /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
  44     /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
  45 % coordonnées de vP
  46     /vPx vP theta0 90 add cos mul def
  47     /vPy vP theta0 90 add sin mul def
  48 % Apogée
  49     /xA par 1 exc sub div theta0 cos mul neg def
  50     /yA par 1 exc sub div theta0 sin mul neg def
  51 % Périgée
  52    /xP par 1 exc add div theta0 cos mul def
  53    /yP par 1 exc add div theta0 sin mul def
  54 % Centre
  55    /xO xP xA add 2 div def
  56    /yO yP yA add 2 div def
  57 }%
  58 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
  59 \psdot[dotstyle=+](0,0)
  60 \uput[d](0,0){O}
  61 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-2)(2,5)
  62 \rput(1,4){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{0000}s}}
  63 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
  64  radius t cos mul
  65  radius t sin mul}
  66 \pscircle*(!x0 y0){0.05}
  67 \pnode(!xP yP){P} % périgée
  68 \pnode(!xA yA){A} % Apogée
  69 \pnode(!xO yO){O} % centre
  70 \rput(!x0 y0){\psline[style=vecteurB]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x v0y){$\overrightarrow{v_0}$}}
  71 \psline[linestyle=dashed](A)(P)
  72 \pscircle*(A){0.05}
  73 \uput[ul](A){$A$}
  74 \uput[dr](P){$P$}
  75 % position du satellite à un instant quelconque
  76 \pstVerb{/theta_i 170 def
  77  /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
  78  /xS radius theta_i cos mul def
  79  /yS radius theta_i sin mul def
  80  /ux theta_i cos 1 mul def
  81  /uy theta_i sin 1 mul def
  82  /xi xS ux sub def
  83  /yi yS uy sub def
  84  /xi2 xS ux 2 div sub def
  85  /yi2 yS uy 2 div sub def}%
  86 \pnode(!xi2 yi2){Mi2}
  87 \pnode(!xi yi){Mi}
  88 \pnode(!xS yS){S}
  89 \pscircle*(S){0.05}
  90 \psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
  91 \psline[style=vecteurA]{->}(S)(Mi)
  92 \uput[l](S){S}
  93 \uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
  94 \psarcn{->}(0,0){0.4}{0}{!theta0}
  95 \uput{0.5}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
  96 \rput(A){\psline[style=vecteurB]{->}(!vAx vAy)}
  97 %\rput(P){\psline[style=vecteurB]{->}(!vPx vPy)}
  98 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(2,0)(0,0)(0,5)
  99 \uput[r](0,4.9){$y$}\uput[u](1.9,0){$x$}
 100 \psdot(O)\uput[r](O){$\Omega$}
 101 \rput{!90 theta0 add}(O){\psline[linestyle=dashed](!b_2 neg 0)(!b_2 0)}
 102 \end{pspicture}
 103 \caption{Mouvement d'un satellite}
 104   \end{center}
 105 \end{figure}
 106 Soit (M) la masse de l'astre et (m) celle du satellite avec $m\ll M$. Le centre de masse du système \{M,m\} est confondu avec le centre de l'astre attracteur. La mise en orbite s'effectue à partir du point $M_0(x_0,y_0)$ avec une vitesse $\overrightarrow{v_0}(v_{0_x},v_{0_x})$. $\theta_0$ est l'angle que fait $\overrightarrow{Ox}$ avec $\overrightarrow{OM_0}$. Le satellite (S), supposé ponctuel, subit de la part de l'astre une force d'attraction gravitationnelle :
 107 \[
 108 \overrightarrow{F}=-\mathcal{G}\frac{Mm}{r^2}\overrightarrow{u}\qquad \text{avec}\quad \overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}\quad \text{et}\quad \overrightarrow{r}=\overrightarrow{OS}
 109 \]
 110 Tous les \textit{bons} livres de mécanique\footnote{Comme celui, par exemple, de José-Philippe Pérez, aux éditions Masson.} établissent les relations suivantes :
 111 \[
 112 r=\frac{p}{1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)}
 113 \]
 114 Paramètres et excentricité ont pour expressions respectives, avec les notations suivantes : $K=\mathcal{G}Mm$, $\mathcal{E}$ l'énergie du système et $L$ le moment cinétique.
 115 \[
 116 \mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{2\mathcal{E}L^2}{mK^2}}\qquad p=\frac{L^2}{mK}
 117 \]
 118 On choisit une vitesse initiale $\overrightarrow{v_0}$ perpendiculaire à $\overrightarrow{OM_0}$, dans ces conditions le moment cinétique et l'énergie, qui restent constants, valent :
 119 \[
 120 L=mr_0v_0\qquad \mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2
 121 \]
 122 En remplaçant $L$ et $\mathcal{E}$, on obtient pour l'excentricité et le paramètre les expressions suivantes :
 123 \[
 124 \mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{1}{\mathcal{G}^2M^2}\Big(\frac{1}{2}v_0^4r_0^2-\mathcal{G}Mr_0v_0^2\Big)}
 125 \]
 126 \[
 127 p=\frac{v_0^2r_0^2}{\mathcal{G}M}
 128 \]
 129 On se limite au cas du mouvement elliptique, avec, en conséquence, la condition :
 130 \[
 131 \mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2 < 0
 132 \]
 133 Le demi-grand axe $a$, le demi-petit axe $b$ sont :
 134 \[
 135 a=\frac{p}{1-\mathrm{e}^2}\qquad b=\frac{p}{\sqrt{1-\mathrm{e}^2}}
 136 \]
 137 La période $T$ qui obéit à la troisième loi de Képler :
 138 \[
 139 T^2=\frac{4\pi^2a^3}{\mathcal{G}M}
 140 \]
 141 La vitesse, en un point de l'ellipse, se calcule par :
 142 \[
 143 v^2=\mathcal{G}M\Big( \frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Big)
 144 \]
 145 Sachant que $r_p=\dfrac{p}{1+\mathrm{e}}$ et $r_A=\dfrac{p}{1-\mathrm{e}}$, on en déduit les vitesses au périgée et à l'apogée :
 146 \[
 147 v_P=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1+\mathrm{e})\qquad v_A=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1-\mathrm{e})
 148 \]
 149
 150 \section{L'étude avec PSTricks}
 151 \subsection{La trajectoire}
 152 \def\parametres{
 153     /GM 1 def % 4e14 def % GxM
 154     /x0 6.5e6 def % position initiale
 155     /y0 0 def
 156     /vx0 0 def    % vitesse initiale
 157     /vy0 1e4 def
 158 }
 159 %  x0   y0   x'0   y'0
 160 % y[0] y[1] y[2]  y[3]
 161 \[
 162 \left\{
 163 \begin{array}{rcl}
 164 \ddot{x}&=&-\dfrac{GM}{r^3}x\\[1em]
 165 \ddot{y}&=&-\dfrac{GM}{r^3}y\\
 166 \end{array}
 167 \right.
 168 \label{eq1}
 169 \qquad r=\sqrt{x^2+y^2}
 170 \]
 171
 172 On peut dessiner la trajectoire du satellite et de ses caractéristiques de deux façons :
 173 \begin{itemize}
 174   \item par l'utilisation de \verb+\parametricplot+ ;
 175   \item ou celle de \verb+\psplotDiffEqn+.
 176 \end{itemize}
 177 \verb+\parametricplot+ utilise l'expression exacte de l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires :
 178 \begin{verbatim}
 179    \parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{%
 180      /radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
 181       radius t cos mul
 182       radius t sin mul}
 183 \end{verbatim}
 184 L'excentricité, la période, demi-grand axe et demi-petit axe sont calculés par quelques lignes de code \textsf{postscript}. Il faut s'assurer que les conditions initiales choisies vérifient bien la condition d'une trajectoire elliptique, pour cela il faut que l'énergie initiale $\mathcal{E}_0<0$, sinon cela entraînera une erreur lors du passage à l'interpréteur \textsf{postscript}.
 185 \begin{verbatim}
 186 \pstVerb{
 187     /GM 1 def
 188     /theta0 -45 def
 189     /r0 0.5 def
 190     /x0 r0 theta0 cos mul def
 191     /y0 r0 theta0 sin mul def
 192     /v0 1.92 def
 193     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 194     /v0y v0 theta0 cos mul def
 195     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 196     /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
 197 % excentricité
 198     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul
 199          v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 200 %demi-grand axe
 201     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 202 %demi-petit axe
 203     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 204 % période
 205     /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
 206 }%
 207 \end{verbatim}
 208 \verb+\psplotDiffEqn+ utilise les équations différentielles du mouvement, en notation algébrique :
 209 \begin{verbatim}
 210 %  x0   y0   x'0   y'0
 211 % y[0] y[1] y[2]  y[3]
 212 \def\eqsatellite{%
 213 y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}
 214  \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,%
 215                 linecolor=blue,linewidth=0.1,%
 216                 method=rk4,plotpoints=1000,%
 217                 algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 218 \end{verbatim}
 219 Ce qui permet, par ailleurs de vérifier la qualité du tracé par la méthode numérique, en bleu, tandis que le tracé à partir de l'expression exacte est en trait fin en rouge.
 220 %
 221 \begin{center}
 222 \begin{pspicture}(-12,-2)(4,10)
 223 \pstVerb{
 224     /GM 1 def
 225     /theta0 -45 def
 226     /r0 0.5 def
 227     /x0 r0 theta0 cos mul def
 228     /y0 r0 theta0 sin mul def
 229     /v0 1.92 def
 230     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 231     /v0y v0 theta0 cos mul def
 232     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 233     /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
 234 % excentricité
 235     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 236 %%%%%%%%%%%%%%
 237     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 238     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 239     /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
 240 }%
 241 \psframe*[linecolor=white](-3,-0.2)(0,0.2)
 242 \pscircle[fillcolor=blue!50,fillstyle=solid](0,0){0.5}
 243 \psgrid[unit=2,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-1)(2,5)
 244 \rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}
 245   \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,linewidth=0.1,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 246 \parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
 247  radius t cos mul
 248  radius t sin mul}
 249 \psdot[unit=2,dotsize=0.12](!x0 y0)
 250 \rput(!x0 2 mul y0 2 mul){\psline[style=vecteurC]{->}(!v0x v0y)}
 251 \end{pspicture}
 252 \end{center}
 253 \subsection{La vitesse}
 254 \verb+\psplotDiffEqn+ permet de voir comment varie la vitesse sur l'ellipse :
 255 \begin{verbatim}
 256 %  x0   y0   x'0   y'0
 257 % y[0] y[1] y[2]  y[3]
 258  \psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,%
 259                 plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
 260                 linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,
 261                 algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 262 \end{verbatim}
 263 \begin{center}
 264 \begin{pspicture}(0,-1)(10,7)
 265 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]
 266 \pstVerb{/GM 1 def
 267     /theta0 -35 def
 268     /r0 1 def
 269     /x0 r0 theta0 cos mul def
 270     /y0 r0 theta0 sin mul def
 271     /v0 1.3 def
 272     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 273     /v0y v0 theta0 cos mul def}%
 274 \psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,
 275   plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
 276   ,linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 277  \multido{\i=1+1,\I=5+5}{9}{\uput[u](\i,0){\I}}
 278 \pnode(! 36.4 5 div 0){P}
 279 \psdot(P)\uput[d](P){Périgée}
 280 \psline[linestyle=dashed](P)(! 36.4 5 div 7)
 281 \pnode(! 36.4 10 div 0){A}
 282 \psdot(A)\uput[d](A){Apogée}
 283 \psline[linestyle=dashed](A)(! 36.4 10 div 7)
 284 \uput[l](0,6.5){$v$}
 285 \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(10,0)(0,0)(0,7)
 286 \uput[u](10,0){$t$(s)}
 287 \uput[ul](0,0){0}
 288 \end{pspicture}
 289 \end{center}
 290 On peut obtenir les caractéristiques de la vitesse en un point quelconque, car le moment cinétique $L=mr\dot{\theta}$ étant constant, pour chaque valeur de $\theta$, on en déduit $r$ puis $\dot{\theta}$. En coordonnées polaires, la vitesse s'exprime par :
 291 \[
 292 \overrightarrow{v}=\dot{r}\overrightarrow{e_r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}}
 293 \]
 294 $\dot{\theta}$ et $\dot{r}$ s'obtiennent par les relations suivantes :
 295 \[
 296 \dot{\theta}^2=\frac{r_0v_0}{r}
 297 \]
 298 \[
 299 \dot{r}=-\frac{p(-\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)}{(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0))^2}=\frac{r^2}{p}\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)
 300 \]
 301 La chaîne de calculs est la suivante : $\theta\Longrightarrow r\Longrightarrow \dot{\theta}\Longrightarrow \dot{r}\Longrightarrow \overrightarrow{v}$.
 302 \section{Mouvement circulaire}
 303  \begin{center}
 304 \psset{unit=1}
 305 \begin{pspicture}(-5,-5.5)(5,5.5)
 306 \pstVerb{
 307     /GM 1 def
 308     /theta0 60 def
 309     /r0 5 def
 310     /x0 r0 theta0 cos mul def
 311     /y0 r0 theta0 sin mul def
 312     /v0 GM r0 div sqrt def
 313     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 314     /v0y v0 theta0 cos mul def
 315     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 316     /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
 317 % excentricité
 318     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 319 %%%%%%%%%%%%%%
 320     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 321     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 322     /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
 323 % vitesse à l'apogée
 324     /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
 325 % vitesse au périgée
 326     /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
 327 % coordonnées de vA
 328     /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
 329     /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
 330 % coordonnées de vP
 331     /vPx vP theta0 90 add cos mul def
 332     /vPy vP theta0 90 add sin mul def
 333 }%
 334 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.75}
 335 \psdot[dotstyle=+](0,0)
 336 \uput[d](0,0){O}
 337 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(5,5)
 338 \rput(0,-2){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{000000}s}}
 339 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
 340  radius t cos mul
 341  radius t sin mul}
 342 \pscircle*(!x0 y0){0.1}
 343 %\pnode(!par 1 exc add div theta0 cos mul par 1 exc add div theta0 sin mul){P} % périgée
 344 %\pnode(!par 1 exc sub div theta0 cos mul neg par 1 exc sub div theta0 sin mul neg){A} % Apogée
 345 \rput(!x0 y0){\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}},unit=4]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x 2 mul v0y 2 mul){$\overrightarrow{v_0}$}}
 346 \uput[ur](!x0 y0){$M_0$}
 347 \psline[linestyle=dashed](0,0)(!x0 y0)
 348 % position du satellite à un instant quelconque
 349 \pstVerb{/theta_i 170 def
 350  /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
 351  /xS radius theta_i cos mul def
 352  /yS radius theta_i sin mul def
 353  /ux theta_i cos 1 mul def
 354  /uy theta_i sin 1 mul def
 355  /xi xS ux sub def
 356  /yi yS uy sub def
 357  /xi2 xS ux 2 div sub def
 358  /yi2 yS uy 2 div sub def}%
 359 \pnode(!xi2 yi2){Mi2}
 360 \pnode(!xi yi){Mi}
 361 \pnode(!xS yS){S}
 362 \pscircle*(S){0.1}
 363 \psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
 364 \psline[style=vecteurC]{->}(S)(Mi)
 365 \uput[l](S){S}
 366 \uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
 367 \psarc{->}(0,0){1}{0}{!theta0}
 368 \uput{1.1}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
 369 \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
 370 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
 371 \uput[u](0,5){$y$}\uput[r](5,0){$x$}
 372 \end{pspicture}
 373  \end{center}
 374 Il s'obtient très facilement à partir de l'étude précédente si on sait que dans ce cas :
 375 \[
 376 v_0=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{r_0}}
 377 \]
 378 \begin{verbatim}
 379 \pstVerb{
 380     /GM 1 def
 381     /theta0 60 def
 382     /r0 5 def
 383     /x0 r0 theta0 cos mul def
 384     /y0 r0 theta0 sin mul def
 385     /v0 GM r0 div sqrt def
 386     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 387     /v0y v0 theta0 cos mul def }%
 388 \end{verbatim}
 389
 390 \end{document}
 391 \begin{figure}[htbp]
 392   \begin{center}
 393 %\begin{pspicture}[shift=-2,showgrid=true](-3,-1.75)(2,1.5)
 394 \begin{pspicture}(-12,-6)(4,6)
 395 \pstVerb{\parametres}%
 396 \psdot[dotsize=1](0,0)
 397   \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{36.5}{1 0 0 1.3}{\eqsatellite}%
 398 %  \psplotDiffEqn[whichabs=0,whichord=1,linecolor=red, plotpoints=200,method=varrkiv, varsteptol=.00001,algebraic,showpoints]{0}{35}{5 0 0 %0.25}{\eqsatellite}
 399 \psgrid[unit=2](-6,-3)(2,3)
 400 \end{pspicture}
 401 \caption{Mouvement d'un satellite}
 402   \end{center}
 403 \end{figure}
 404
 405 \begin{figure}[htbp]
 406   \begin{center}
 407 %\begin{pspicture}[shift=-2,showgrid=true](-3,-1.75)(2,1.5)
 408 \begin{pspicture}(-12,-6)(4,6)
 409 \pstVerb{\parametres}%
 410 \psset{unit=2}%
 411 \psdot[dotsize=1](0,0)
 412   \psplotDiffEqn[whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{50}{1 0 0.2 1.25}{\eqsatellite}%
 413 \psdot(1,0)
 414 \rput(1,0){\psline[style=vecteurA]{->}(0.2,1.25)}
 415 \psgrid(-6,-3)(2,3)
 416 \end{pspicture}
 417 \caption{Mouvement d'un satellite 3}
 418   \end{center}
 419 \end{figure}