gravitation/gravitation_01_distiller.tex

   1 \documentclass{article}
   2 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   3 \usepackage[latin1]{inputenc}
   4 \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func}
   5 \usepackage{array,amsmath}
   6 %\usepackage{listings}
   7 \newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.125,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
   8 \newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}
   9 \newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
  10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  11 \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
  12 \title{Interaction gravitationnelle avec PSTricks}
  13 \date{19 juin 2\,012}
  14 \begin{document}
  15 \maketitle
  16 \def\eqsatellite{%
  17 y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
  18 \section{Mise en orbite d'un satellite}
  19 \begin{figure}[htbp]
  20   \begin{center}
  21 \psset{unit=2}
  22 \begin{pspicture}(-6,-2)(2,5)
  23 \pstVerb{
  24     /GM 1 def
  25     /theta0 -35 def
  26     /r0 1 def
  27     /x0 r0 theta0 cos mul def
  28     /y0 r0 theta0 sin mul def
  29     /v0 1.3 def
  30     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
  31     /v0y v0 theta0 cos mul def
  32     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
  33     /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
  34 % excentricit\'{e}
  35     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
  36 %%%%%%%%%%%%%%
  37     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
  38     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
  39     /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
  40 % vitesse \`{a} l'apog\'{e}e
  41     /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
  42 % vitesse au p\'{e}rig\'{e}e
  43     /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
  44 % coordonn\'{e}es de vA
  45     /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
  46     /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
  47 % coordonn\'{e}es de vP
  48     /vPx vP theta0 90 add cos mul def
  49     /vPy vP theta0 90 add sin mul def
  50 % Apog\'{e}e
  51     /xA par 1 exc sub div theta0 cos mul neg def
  52     /yA par 1 exc sub div theta0 sin mul neg def
  53 % P\'{e}rig\'{e}e
  54    /xP par 1 exc add div theta0 cos mul def
  55    /yP par 1 exc add div theta0 sin mul def
  56 % Centre
  57    /xO xP xA add 2 div def
  58    /yO yP yA add 2 div def
  59 }%
  60 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
  61 \psdot[dotstyle=+](0,0)
  62 \uput[d](0,0){O}
  63 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-2)(2,5)
  64 \rput(1,4){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{0000}s}}
  65 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
  66  radius t cos mul
  67  radius t sin mul}
  68 \pscircle*(!x0 y0){0.05}
  69 \pnode(!xP yP){P} % p\'{e}rig\'{e}e
  70 \pnode(!xA yA){A} % Apog\'{e}e
  71 \pnode(!xO yO){O} % centre
  72 \rput(!x0 y0){\psline[style=vecteurB]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x v0y){$\overrightarrow{v_0}$}}
  73 \psline[linestyle=dashed](A)(P)
  74 \pscircle*(A){0.05}
  75 \uput[ul](A){$A$}
  76 \uput[dr](P){$P$}
  77 % position du satellite \`{a} un instant quelconque
  78 \pstVerb{/theta_i 170 def
  79  /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
  80  /xS radius theta_i cos mul def
  81  /yS radius theta_i sin mul def
  82  /ux theta_i cos 1 mul def
  83  /uy theta_i sin 1 mul def
  84  /xi xS ux sub def
  85  /yi yS uy sub def
  86  /xi2 xS ux 2 div sub def
  87  /yi2 yS uy 2 div sub def}%
  88 \pnode(!xi2 yi2){Mi2}
  89 \pnode(!xi yi){Mi}
  90 \pnode(!xS yS){S}
  91 \pscircle*(S){0.05}
  92 \psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
  93 \psline[style=vecteurA]{->}(S)(Mi)
  94 \uput[l](S){S}
  95 \uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
  96 \psarcn{->}(0,0){0.4}{0}{!theta0}
  97 \uput{0.5}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
  98 \rput(A){\psline[style=vecteurB]{->}(!vAx vAy)}
  99 %\rput(P){\psline[style=vecteurB]{->}(!vPx vPy)}
 100 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(2,0)(0,0)(0,5)
 101 \uput[r](0,4.9){$y$}\uput[u](1.9,0){$x$}
 102 \psdot(O)\uput[r](O){$\Omega$}
 103 \rput{!90 theta0 add}(O){\psline[linestyle=dashed](!b_2 neg 0)(!b_2 0)}
 104 \end{pspicture}
 105 \caption{Mouvement d'un satellite}
 106   \end{center}
 107 \end{figure}
 108 Soit (M) la masse de l'astre et (m) celle du satellite avec $m\ll M$. Le centre de masse du syst\`{e}me \{M,m\} est confondu avec le centre de l'astre attracteur. La mise en orbite s'effectue \`{a} partir du point $M_0(x_0,y_0)$ avec une vitesse $\overrightarrow{v_0}(v_{0_x},v_{0_x})$. $\theta_0$ est l'angle que fait $\overrightarrow{Ox}$ avec $\overrightarrow{OM_0}$. Le satellite (S), suppos\'{e} ponctuel, subit de la part de l'astre une force d'attraction gravitationnelle :
 109 \[
 110 \overrightarrow{F}=-\mathcal{G}\frac{Mm}{r^2}\overrightarrow{u}\qquad \text{avec}\quad \overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}\quad \text{et}\quad \overrightarrow{r}=\overrightarrow{OS}
 111 \]
 112 Tous les \textit{bons} livres de m\'{e}canique\footnote{Comme celui, par exemple, de Jos\'{e}-Philippe P\'{e}rez, aux \'{e}ditions Masson.} \'{e}tablissent les relations suivantes :
 113 \[
 114 r=\frac{p}{1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)}
 115 \]
 116 Param\`{e}tres et excentricit\'{e} ont pour expressions respectives, avec les notations suivantes : $K=\mathcal{G}Mm$, $\mathcal{E}$ l'\'{e}nergie du syst\`{e}me et $L$ le moment cin\'{e}tique.
 117 \[
 118 \mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{2\mathcal{E}L^2}{mK^2}}\qquad p=\frac{L^2}{mK}
 119 \]
 120 On choisit une vitesse initiale $\overrightarrow{v_0}$ perpendiculaire \`{a} $\overrightarrow{OM_0}$, dans ces conditions le moment cin\'{e}tique et l'\'{e}nergie, qui restent constants, valent :
 121 \[
 122 L=mr_0v_0\qquad \mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2
 123 \]
 124 En rempla\c{c}ant $L$ et $\mathcal{E}$, on obtient pour l'excentricit\'{e} et le param\`{e}tre les expressions suivantes :
 125 \[
 126 \mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{1}{\mathcal{G}^2M^2}\Big(\frac{1}{2}v_0^4r_0^2-\mathcal{G}Mr_0v_0^2\Big)}
 127 \]
 128 \[
 129 p=\frac{v_0^2r_0^2}{\mathcal{G}M}
 130 \]
 131 On se limite au cas du mouvement elliptique, avec, en cons\'{e}quence, la condition :
 132 \[
 133 \mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2 < 0
 134 \]
 135 Le demi-grand axe $a$, le demi-petit axe $b$ sont :
 136 \[
 137 a=\frac{p}{1-\mathrm{e}^2}\qquad b=\frac{p}{\sqrt{1-\mathrm{e}^2}}
 138 \]
 139 La p\'{e}riode $T$ qui ob\'{e}it \`{a} la troisi\`{e}me loi de K\'{e}pler :
 140 \[
 141 T^2=\frac{4\pi^2a^3}{\mathcal{G}M}
 142 \]
 143 La vitesse, en un point de l'ellipse, se calcule par :
 144 \[
 145 v^2=\mathcal{G}M\Big( \frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Big)
 146 \]
 147 Sachant que $r_p=\dfrac{p}{1+\mathrm{e}}$ et $r_A=\dfrac{p}{1-\mathrm{e}}$, on en d\'{e}duit les vitesses au p\'{e}rig\'{e}e et \`{a} l'apog\'{e}e :
 148 \[
 149 v_P=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1+\mathrm{e})\qquad v_A=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1-\mathrm{e})
 150 \]
 151
 152 \section{L'\'{e}tude avec PSTricks}
 153 \subsection{La trajectoire}
 154 \def\parametres{
 155     /GM 1 def % 4e14 def % GxM
 156     /x0 6.5e6 def % position initiale
 157     /y0 0 def
 158     /vx0 0 def    % vitesse initiale
 159     /vy0 1e4 def
 160 }
 161 %  x0   y0   x'0   y'0
 162 % y[0] y[1] y[2]  y[3]
 163 \[
 164 \left\{
 165 \begin{array}{rcl}
 166 \ddot{x}&=&-\dfrac{GM}{r^3}x\\[1em]
 167 \ddot{y}&=&-\dfrac{GM}{r^3}y\\
 168 \end{array}
 169 \right.
 170 \label{eq1}
 171 \qquad r=\sqrt{x^2+y^2}
 172 \]
 173
 174 On peut dessiner la trajectoire du satellite et de ses caract\'{e}ristiques de deux fa\c{c}ons :
 175 \begin{itemize}
 176   \item par l'utilisation de \verb+\parametricplot+ ;
 177   \item ou celle de \verb+\psplotDiffEqn+.
 178 \end{itemize}
 179 \verb+\parametricplot+ utilise l'expression exacte de l'\'{e}quation de la trajectoire en coordonn\'{e}es polaires :
 180 \begin{verbatim}
 181    \parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{%
 182      /radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
 183       radius t cos mul
 184       radius t sin mul}
 185 \end{verbatim}
 186 L'excentricit\'{e}, la p\'{e}riode, demi-grand axe et demi-petit axe sont calcul\'{e}s par quelques lignes de code \textsf{postscript}. Il faut s'assurer que les conditions initiales choisies v\'{e}rifient bien la condition d'une trajectoire elliptique, pour cela il faut que l'\'{e}nergie initiale $\mathcal{E}_0<0$, sinon cela entra\^{\i}nera une erreur lors du passage \`{a} l'interpr\'{e}teur \textsf{postscript}.
 187 \begin{verbatim}
 188 \pstVerb{
 189     /GM 1 def
 190     /theta0 -45 def
 191     /r0 0.5 def
 192     /x0 r0 theta0 cos mul def
 193     /y0 r0 theta0 sin mul def
 194     /v0 1.92 def
 195     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 196     /v0y v0 theta0 cos mul def
 197     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 198     /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
 199 % excentricit\'{e}
 200     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul
 201          v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 202 %demi-grand axe
 203     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 204 %demi-petit axe
 205     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 206 % p\'{e}riode
 207     /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
 208 }%
 209 \end{verbatim}
 210 \verb+\psplotDiffEqn+ utilise les \'{e}quations diff\'{e}rentielles du mouvement, en notation alg\'{e}brique :
 211 \begin{verbatim}
 212 %  x0   y0   x'0   y'0
 213 % y[0] y[1] y[2]  y[3]
 214 \def\eqsatellite{%
 215 y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}
 216  \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,%
 217                 linecolor=blue,linewidth=0.1,%
 218                 method=rk4,plotpoints=1000,%
 219                 algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 220 \end{verbatim}
 221 Ce qui permet, par ailleurs de v\'{e}rifier la qualit\'{e} du trac\'{e} par la m\'{e}thode num\'{e}rique, en bleu, tandis que le trac\'{e} \`{a} partir de l'expression exacte est en trait fin en rouge.
 222 %
 223 \begin{center}
 224 \begin{pspicture}(-12,-2)(4,10)
 225 \pstVerb{
 226     /GM 1 def
 227     /theta0 -45 def
 228     /r0 0.5 def
 229     /x0 r0 theta0 cos mul def
 230     /y0 r0 theta0 sin mul def
 231     /v0 1.92 def
 232     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 233     /v0y v0 theta0 cos mul def
 234     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 235     /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
 236 % excentricit\'{e}
 237     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 238 %%%%%%%%%%%%%%
 239     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 240     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 241     /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
 242 }%
 243 \psframe*[linecolor=white](-3,-0.2)(0,0.2)
 244 \pscircle[fillcolor=blue!50,fillstyle=solid](0,0){0.5}
 245 \psgrid[unit=2,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-1)(2,5)
 246 \rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}
 247   \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,linewidth=0.1,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 248 \parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
 249  radius t cos mul
 250  radius t sin mul}
 251 \psdot[unit=2,dotsize=0.12](!x0 y0)
 252 \rput(!x0 2 mul y0 2 mul){\psline[style=vecteurC]{->}(!v0x v0y)}
 253 \end{pspicture}
 254 \end{center}
 255 \subsection{La vitesse}
 256 \verb+\psplotDiffEqn+ permet de voir comment varie la vitesse sur l'ellipse :
 257 \begin{verbatim}
 258 %  x0   y0   x'0   y'0
 259 % y[0] y[1] y[2]  y[3]
 260  \psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,%
 261                 plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
 262                 linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,
 263                 algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 264 \end{verbatim}
 265 \begin{center}
 266 \begin{pspicture}(0,-1)(10,7)
 267 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]
 268 \pstVerb{/GM 1 def
 269     /theta0 -35 def
 270     /r0 1 def
 271     /x0 r0 theta0 cos mul def
 272     /y0 r0 theta0 sin mul def
 273     /v0 1.3 def
 274     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 275     /v0y v0 theta0 cos mul def}%
 276 \psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,
 277   plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
 278   ,linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 279  \multido{\i=1+1,\I=5+5}{9}{\uput[u](\i,0){\I}}
 280 \pnode(! 36.4 5 div 0){P}
 281 \psdot(P)\uput[d](P){P\'{e}rig\'{e}e}
 282 \psline[linestyle=dashed](P)(! 36.4 5 div 7)
 283 \pnode(! 36.4 10 div 0){A}
 284 \psdot(A)\uput[d](A){Apog\'{e}e}
 285 \psline[linestyle=dashed](A)(! 36.4 10 div 7)
 286 \uput[l](0,6.5){$v$}
 287 \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(10,0)(0,0)(0,7)
 288 \uput[u](10,0){$t$(s)}
 289 \uput[ul](0,0){0}
 290 \end{pspicture}
 291 \end{center}
 292 On peut obtenir les caract\'{e}ristiques de la vitesse en un point quelconque, car le moment cin\'{e}tique $L=mr\dot{\theta}$ \'{e}tant constant, pour chaque valeur de $\theta$, on en d\'{e}duit $r$ puis $\dot{\theta}$. En coordonn\'{e}es polaires, la vitesse s'exprime par :
 293 \[
 294 \overrightarrow{v}=\dot{r}\overrightarrow{u_r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}
 295 \]
 296 $\dot{\theta}$ et $\dot{r}$ s'obtiennent par les relations suivantes :
 297 \[
 298 \dot{\theta}=\frac{r_0v_0}{r^2}
 299 \]
 300 \[
 301 \dot{r}=-\frac{p(-\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)}{(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0))^2}=\frac{r_0v_0}{p}\sin(\theta-\theta_0)
 302 \]
 303 La cha\^{\i}ne de calculs est la suivante : $\theta\Longrightarrow r\Longrightarrow \dot{\theta}\Longrightarrow \dot{r}\Longrightarrow \overrightarrow{v}$.
 304
 305 Le package `\textsf{pst-eqdf}' comprend la commande \verb+\psequadiff+ qui est une version simplifi\'{e}e de \verb+\psplotDiffEqn+, dont elle ne reprend que la m\'{e}thode Runge-Kutta~4. Elle permet de sauvegarder sous forme de tableaux et/ou de fichiers toutes les variables et les d\'{e}riv\'{e}es de la fonction \'{e}tudi\'{e}e, cette possibilit\'{e} est int\'{e}ressante pour d\'{e}terminer les caract\'{e}ristiques de la vitesse au cours du temps et elle est particuli\`{e}rement utile pour cr\'{e}er une animation. Nous allons l'utiliser pour dessiner le vecteur-vitesse \`{a} quelques instants.
 306
 307 On sauve successivement le tableau des positions et celui des vitesses.
 308 \begin{verbatim}
 309 \psequadiff[method=rk4,plotpoints=1000,
 310             algebraic,
 311             whichabs=0,whichord=1,
 312             tabname=XiYi]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 313 \end{verbatim}
 314 \begin{verbatim}
 315 \psequadiff[method=rk4,plotpoints=1000,
 316             algebraic,
 317             whichabs=2,whichord=3,
 318             tabname=vxvy]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 319 \end{verbatim}
 320
 321 Pour ensuite dessiner la trajectoire et les vecteurs-vitesse.
 322 \begin{verbatim}
 323 %\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
 324 % on dessine la vitesse un point sur 100
 325 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
 326 \multido{\i=0+100}{20}{%
 327 \pstVerb{/vX vxvy \i\space get def
 328          /vY vxvy \i\space 1 add get def
 329          /xi XiYi \i\space get def
 330          /yi XiYi \i\space 1 add get def}%
 331 \rput(!xi yi){\psline[style=vecteurA]{->}(! vX 2 mul vY 2 mul)}}
 332 \end{verbatim}
 333 \begin{center}
 334 \begin{pspicture}(-10,-10)(6,7)
 335 \psset{unit=2}%
 336 \pstVerb{/GM 1 def
 337     /theta0 30 def
 338     /r0 2 def
 339     /x0 r0 theta0 cos mul def
 340     /y0 r0 theta0 sin mul def
 341     /v0 0.85 def
 342     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 343     /v0y v0 theta0 cos mul def
 344     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 345     /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
 346 % excentricit\'{e}
 347     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 348 %%%%%%%%%%%%%%
 349     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 350     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 351     /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def}%
 352 \rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}
 353 \psequadiff[method=rk4,
 354             plotpoints=1000,
 355             algebraic,
 356             whichabs=0,
 357             whichord=1,
 358             tabname=XiYi
 359 %           ,saveData,filename=XiYi.dat
 360 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 361 \listplot{XiYi aload pop}
 362 \psequadiff[method=rk4,
 363             plotpoints=1000,
 364             algebraic,
 365             whichabs=2,
 366             whichord=3,
 367             tabname=vxvy
 368 %           ,saveData,filename=vxvy.dat
 369 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 370 %\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
 371 % on dessine la vitesse un point sur 100
 372 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
 373 \multido{\i=0+100}{20}{%
 374 \pstVerb{/vX vxvy \i\space get def
 375          /vY vxvy \i\space 1 add get def
 376          /xi XiYi \i\space get def
 377          /yi XiYi \i\space 1 add get def}%
 378 \rput(!xi yi){\psline[style=vecteurA]{->}(! vX 2 mul vY 2 mul)}}
 379 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(3,3)
 380 \end{pspicture}
 381 \end{center}
 382
 383
 384
 385 \section{Mouvement circulaire}
 386  \begin{center}
 387 \psset{unit=1}
 388 \begin{pspicture}(-5,-5.5)(5,5.5)
 389 \pstVerb{
 390     /GM 1 def
 391     /theta0 60 def
 392     /r0 5 def
 393     /x0 r0 theta0 cos mul def
 394     /y0 r0 theta0 sin mul def
 395     /v0 GM r0 div sqrt def
 396     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 397     /v0y v0 theta0 cos mul def
 398     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 399     /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
 400 % excentricit\'{e}
 401     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 402 %%%%%%%%%%%%%%
 403     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 404     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 405     /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
 406 % vitesse \`{a} l'apog\'{e}e
 407     /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
 408 % vitesse au p\'{e}rig\'{e}e
 409     /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
 410 % coordonn\'{e}es de vA
 411     /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
 412     /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
 413 % coordonn\'{e}es de vP
 414     /vPx vP theta0 90 add cos mul def
 415     /vPy vP theta0 90 add sin mul def
 416 }%
 417 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.75}
 418 \psdot[dotstyle=+](0,0)
 419 \uput[d](0,0){O}
 420 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(5,5)
 421 \rput(0,-2){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{000000}s}}
 422 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
 423  radius t cos mul
 424  radius t sin mul}
 425 \pscircle*(!x0 y0){0.1}
 426 %\pnode(!par 1 exc add div theta0 cos mul par 1 exc add div theta0 sin mul){P} % p\'{e}rig\'{e}e
 427 %\pnode(!par 1 exc sub div theta0 cos mul neg par 1 exc sub div theta0 sin mul neg){A} % Apog\'{e}e
 428 \rput(!x0 y0){\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}},unit=4]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x 2 mul v0y 2 mul){$\overrightarrow{v_0}$}}
 429 \uput[ur](!x0 y0){$M_0$}
 430 \psline[linestyle=dashed](0,0)(!x0 y0)
 431 % position du satellite \`{a} un instant quelconque
 432 \pstVerb{/theta_i 170 def
 433  /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
 434  /xS radius theta_i cos mul def
 435  /yS radius theta_i sin mul def
 436  /ux theta_i cos 1 mul def
 437  /uy theta_i sin 1 mul def
 438  /xi xS ux sub def
 439  /yi yS uy sub def
 440  /xi2 xS ux 2 div sub def
 441  /yi2 yS uy 2 div sub def}%
 442 \pnode(!xi2 yi2){Mi2}
 443 \pnode(!xi yi){Mi}
 444 \pnode(!xS yS){S}
 445 \pscircle*(S){0.1}
 446 \psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
 447 \psline[style=vecteurC]{->}(S)(Mi)
 448 \uput[l](S){S}
 449 \uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
 450 \psarc{->}(0,0){1}{0}{!theta0}
 451 \uput{1.1}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
 452 \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
 453 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
 454 \uput[u](0,5){$y$}\uput[r](5,0){$x$}
 455 \end{pspicture}
 456  \end{center}
 457 Il s'obtient tr\`{e}s facilement \`{a} partir de l'\'{e}tude pr\'{e}c\'{e}dente si on sait que dans ce cas :
 458 \[
 459 v_0=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{r_0}}
 460 \]
 461 \begin{verbatim}
 462 \pstVerb{
 463     /GM 1 def
 464     /theta0 60 def
 465     /r0 5 def
 466     /x0 r0 theta0 cos mul def
 467     /y0 r0 theta0 sin mul def
 468     /v0 GM r0 div sqrt def
 469     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 470     /v0y v0 theta0 cos mul def }%
 471 \end{verbatim}
 472
 473 \end{document}