gravitation/gravitation_02.tex

   1 \documentclass{article}
   2 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   3 \usepackage[latin1]{inputenc}
   4 \usepackage{pst-eqdf,pst-func}
   5 \usepackage{array,amsmath}
   6 \newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.125,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
   7 \newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}
   8 \newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
   9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  10 \title{L'hodographe du mouvement d'un satellite}
  11 \date{23 juin 2\,012}
  12 \begin{document}
  13 \maketitle
  14 \def\eqsatellite{%
  15 y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
  16 On rappelle qu'en coordonnées polaires le vecteur-vitesse s'écrit :
  17 \[
  18 \overrightarrow{v}=\dot{r}\overrightarrow{u_r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}
  19 \]
  20 \[
  21 \dot{\theta}=\frac{r_0v_0}{r^2}
  22 \]
  23 \[
  24 \dot{r}=-\frac{p(-\mathrm{e}\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)}{(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0))^2}=\frac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)
  25 \]
  26 On peut exprimer $v$ uniquement en fonction de $\theta$ :
  27 \[
  28 \overrightarrow{v}=\frac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\overrightarrow{u_r}+\frac{r_0v_0}{p}\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)\overrightarrow{u_\theta}
  29 \]
  30 Ses composantes dans la base $(\overrightarrow{u_r},u_\theta)$ sont :
  31 \[
  32 \left\{
  33 \begin{array}{rcl}
  34 v_r&=&\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\\[1em]
  35 v_\theta&=&\dfrac{r_0v_0}{p}\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)
  36 \end{array}
  37 \right.
  38 \label{eqv1}
  39 \]
  40 On repasse aux coordonnées cartésiennes par une rotation d'angle $(-\theta)$.
  41 \[
  42 \left\{
  43 \begin{array}{rcl}
  44 \dot{x}&=&v_r\cos\theta-v_\theta\sin\theta\\[1em]
  45 \dot{y}&=&v_r\sin\theta+v_\theta\cos\theta
  46 \end{array}
  47 \right.
  48 \label{eqv2}
  49 \]
  50 \[
  51 \left\{
  52 \begin{array}{rcl}
  53 \dfrac{p}{r_0v_0}\dot{x}&=&\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\cos\theta-\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)\sin\theta\\[1em]
  54 \dfrac{p}{r_0v_0}\dot{y}&=&\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\sin\theta+\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)\cos\theta
  55 \end{array}
  56 \right.
  57 \label{eqv3}
  58 \]
  59 En utilisant les relations trigonométriques de soustraction :
  60 \[
  61 \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\qquad \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)
  62 \]
  63 On obtient :
  64 \[
  65 \left\{
  66 \begin{array}{rcl}
  67 \dfrac{p}{r_0v_0}\dot{x}&=&-\mathrm{e}\sin\theta_0-\sin\theta\\[1em]
  68 \dfrac{p}{r_0v_0}\dot{y}&=&\hphantom{-}\mathrm{e}\cos\theta_0+\cos\theta
  69 \end{array}
  70 \right.
  71 \label{eqv4}
  72 \]
  73 \[
  74 \left\{
  75 \begin{array}{rcl}
  76 \dot{x}+\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin\theta_0&=&-\dfrac{r_0v_0}{p}\sin\theta\\[1em]
  77 \dot{y}-\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\cos\theta_0&=&\dfrac{r_0v_0}{p}\cos\theta
  78 \end{array}
  79 \right.
  80 \label{eqv5}
  81 \]
  82 L'équation de l'hodographe :
  83 \[
  84 \left(\dot{x}+\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin\theta_0\right)^2+\left(\dot{y}-\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\cos\theta_0\right)^2=\left(\dfrac{r_0v_0}{p}\right)^2
  85 \]
  86 est celle d'un cercle centré en $\Big(\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin\theta_0,\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\cos\theta_0\Big)$, de rayon $R=\dfrac{r_0v_0}{p}$. Ce qu'on vérifie sur le graphe suivant : en rouge l'hodographe a été obtenu à partir de l'équation différentielle et en noir avec un trait plus fin par l'expression exacte de l'équation du cercle.
  87 \begin{center}
  88 \begin{pspicture}(-10,-2)(4,8)
  89 \psset{unit=2}%
  90 \uput[r](0,4){$y$}\uput[u](2,0){$x$}
  91 \pstVerb{/GM 1 def
  92     /theta0 -35 def
  93     /r0 1 def
  94     /x0 r0 theta0 cos mul def
  95     /y0 r0 theta0 sin mul def
  96     /v0 1.3 def
  97     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
  98     /v0y v0 theta0 cos mul def
  99     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 100     /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
 101 % excentricité
 102     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 103 %%%%%%%%%%%%%%
 104     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 105     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 106     /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
 107 % rayon de l'hodographe
 108    /rH r0 v0 mul par div def
 109 % les coordonnées du centre
 110    /xCH rH exc mul theta0 sin mul neg def
 111    /yCH rH exc mul theta0 cos mul def}%
 112 \psequadiff[method=rk4,
 113             plotpoints=1000,
 114             algebraic,
 115             whichabs=0,
 116             whichord=1,
 117             tabname=XiYi,
 118             saveData,filename=XiYi.dat]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 119 \listplot{XiYi aload pop}
 120 \psequadiff[method=rk4,
 121             plotpoints=1000,
 122             algebraic,
 123             whichabs=2,
 124             whichord=3,
 125             tabname=vxvy,
 126             saveData,filename=vxvy.dat]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 127 \listplot[unit=1,linecolor=red,linewidth=0.075]{vxvy aload pop}
 128 % on dessine la vitesse un point sur 50
 129 \multido{\i=0+50}{40}{%
 130 \pstVerb{ /vX vxvy \i\space get def
 131           /vY vxvy  \i\space 1 add get def
 132           /xi XiYi \i\space get def
 133           /yi XiYi \i\space 1 add get def}%
 134 \rput(!xi yi){\psline[unit=1,linecolor=blue]{->}(!vX vY)}}
 135 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.2}
 136 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-2)(2,4)
 137 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(2,0)(0,0)(0,4)
 138 \pscircle(!xCH yCH){!rH}
 139 \psdot[dotstyle=+](!xCH yCH)
 140 \end{pspicture}
 141 \end{center}
 142 \newpage
 143 \begin{center}
 144 \begin{pspicture}(-10,-10)(6,6)
 145 \psset{unit=2}%
 146 \uput[r](0,3){$y$}\uput[u](3,0){$x$}
 147 \pstVerb{/GM 1 def
 148     /theta0 30 def
 149     /r0 2 def
 150     /x0 r0 theta0 cos mul def
 151     /y0 r0 theta0 sin mul def
 152     /v0 0.85 def
 153     /v0x v0 theta0 sin mul neg def
 154     /v0y v0 theta0 cos mul def
 155     /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
 156     /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse
 157 % excentricité
 158     /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
 159 %%%%%%%%%%%%%%
 160     /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 161     /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
 162     /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def}%
 163 \rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}
 164 \psequadiff[method=rk4,
 165             plotpoints=1000,
 166             algebraic,
 167             whichabs=0,
 168             whichord=1,
 169             tabname=XiYi,
 170 %            saveData,filename=XiYi.dat
 171 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 172 \listplot{XiYi aload pop}
 173 \psequadiff[method=rk4,
 174             plotpoints=1000,
 175             algebraic,
 176             whichabs=2,
 177             whichord=3,
 178             tabname=vxvy,
 179 %            saveData,filename=vxvy.dat
 180 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
 181 \listplot[unit=2,linecolor=red]{vxvy aload pop}
 182 % on dessine la vitesse un point sur 100
 183 \pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
 184 \multido{\i=0+100}{20}{%
 185 \pstVerb{/vX vxvy \i\space get def
 186          /vY vxvy \i\space 1 add get def
 187          /xi XiYi \i\space get def
 188          /yi XiYi \i\space 1 add get def}%
 189 \rput(!xi yi){\psline[style=vecteurA]{->}(! vX 2 mul vY 2 mul)}}
 190 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(3,3)
 191 \psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(3,0)(0,0)(0,3)
 192 \end{pspicture}
 193 \end{center}
 194 \end{document}