gravitation/pb_2corps_doc_part3.tex

   1
   2 \documentclass{article}
   3 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   4 \usepackage[T1]{fontenc}
   5 \usepackage[latin1]{inputenc}%
   6 \usepackage[garamond]{mathdesign}
   7 \usepackage{pst-eqdf,pst-node,pst-tools}
   8 \usepackage{array,amsmath}
   9 \usepackage{animate}
  10 \newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
  11 \newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}
  12 \newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0 0}}}
  13 %timeline
  14 \begin{filecontents}{pb2corps.dat}
  15 ::0x0
  16 ::1
  17 ::2
  18 ::3
  19 ::4
  20 ::5
  21 ::6
  22 ::7
  23 ::8
  24 ::9
  25 ::10
  26 ::11
  27 ::12
  28 ::13
  29 ::14
  30 ::15
  31 ::16
  32 ::17
  33 ::18
  34 ::19
  35 ::20
  36 ::21
  37 ::22
  38 ::23
  39 ::24
  40 ::25
  41 ::26
  42 ::27
  43 ::28
  44 ::29
  45 ::30
  46 ::31
  47 ::32
  48 ::33
  49 ::34
  50 ::35
  51 ::36
  52 ::37
  53 ::38
  54 ::39
  55 ::40
  56 ::41
  57 ::42
  58 ::43
  59 ::44
  60 ::45
  61 ::46
  62 ::47
  63 ::48
  64 ::49
  65 ::50
  66 ::51
  67 ::52
  68 ::53
  69 ::54
  70 ::55
  71 ::56
  72 ::57
  73 ::58
  74 ::59
  75 ::60
  76 ::61
  77 ::62
  78 ::63
  79 ::64
  80 ::65
  81 ::66
  82 ::67
  83 ::68
  84 ::69
  85 ::70
  86 ::71
  87 ::72
  88 ::73
  89 ::74
  90 ::75
  91 ::76
  92 ::77
  93 ::78
  94 ::79
  95 ::80
  96 ::81
  97 ::82
  98 ::83
  99 ::84
 100 ::85
 101 ::86
 102 ::87
 103 ::88
 104 ::89
 105 ::90
 106 ::91
 107 ::92
 108 ::93
 109 ::94
 110 ::95
 111 ::96
 112 ::97
 113 ::98
 114 ::99
 115 ::100
 116 ::101
 117 ::102
 118 ::103
 119 ::104
 120 ::105
 121 ::106
 122 ::107
 123 ::108
 124 ::109
 125 ::110
 126 ::111
 127 ::112
 128 ::113
 129 ::114
 130 ::115
 131 ::116
 132 ::117
 133 ::118
 134 ::119
 135 ::120
 136 ::121
 137 ::122
 138 ::123
 139 ::124
 140 ::125
 141 ::126
 142 ::127
 143 ::128
 144 ::129
 145 ::130
 146 ::131
 147 ::132
 148 ::133
 149 ::134
 150 ::135
 151 ::136
 152 ::137
 153 ::138
 154 ::139
 155 ::140
 156 ::141
 157 ::142
 158 ::143
 159 ::144
 160 ::145
 161 ::146
 162 ::147
 163 ::148
 164 ::149
 165 ::150
 166 ::151
 167 ::152
 168 ::153
 169 ::154
 170 ::155
 171 ::156
 172 ::157
 173 ::158
 174 ::159
 175 ::160
 176 ::161
 177 ::162
 178 ::163
 179 ::164
 180 ::165
 181 ::166
 182 ::167
 183 ::168
 184 ::169
 185 ::170
 186 ::171
 187 ::172
 188 ::173
 189 ::174
 190 ::175
 191 ::176
 192 ::177
 193 ::178
 194 ::179
 195 ::180
 196 ::181
 197 ::182
 198 ::183
 199 ::184
 200 ::185
 201 ::186
 202 ::187
 203 ::188
 204 ::189
 205 ::190
 206 ::191
 207 ::192
 208 ::193
 209 ::194
 210 ::195
 211 ::196
 212 ::197
 213 ::198
 214 ::199
 215 ::200
 216 \end{filecontents}
 217 \title{Gravitation : le problème des deux corps avec PSTricks\\ partie 3}
 218 \date{6 juillet 2\,012}
 219 \begin{document}
 220 \maketitle
 221 \section{Mouvements dans le repère du centre de masse}
 222 D'abord un petit rappel des documents précédents :
 223
 224 On considère un système de deux corps en interaction gravitationnelle $M_1$ de masse $m_1$ et $M_2$ de masse $m_2$ dans le repère galiléen \textit{inertiel} $\mathcal{R}$. Ils sont supposés ponctuels.
 225 \begin{center}
 226 \begin{pspicture}(-3,-1)(5,6)
 227 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 228 \pstVerb{/x01 -2 def /y01 1 def
 229          /x02  5 def /y02 4 def
 230          /xr0 x02 x01 sub def
 231          /yr0 y02 y01 sub def
 232          /M1 3 def
 233          /M2 1 def
 234          /Mt M1 M2 add def
 235          /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def
 236          /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def}%
 237 \pnode(0,0){O}
 238 \pnode(!x01 y01){M1}
 239 \pnode(!x02 y02){M2}
 240 \pnode(!xG0 yG0){C}
 241 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!50](M1){0.21}
 242 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50](M2){0.07}
 243 \psdot(C)
 244 \psline[linestyle=dotted](M1)(M2)
 245 \psline[linestyle=dashed](M2)(O)(M1)
 246 \psline{<->}(5,0)(0,0)(0,6)
 247 \uput[dl](O){$O$}
 248 \uput[r](0,5.8){$y$}
 249 \uput[u](4.8,0){$x$}
 250 \uput[l](0,5.8){$\mathcal{R}$}
 251 \uput{0.22}[l](M1){$M_1$}
 252 \uput{0.1}[u](M2){$M_2$}
 253 \uput[u](C){$C$}
 254 \pcline[offset=5pt,linestyle=none](M1)(M2)
 255 \ncput*[nrot=:U]{$r$}
 256 \rput(M1){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div yr0 5 div)\uput[u](!xr0 10 div yr0 10 div){$\overrightarrow{F}_{2/1}$}}
 257 \rput(M2){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[u](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}_{1/2}$}}
 258 \end{pspicture}
 259 \end{center}
 260 On note $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{M_1M_2}$. $M_2$ subit de la part de $M_1$ une force attractive $\overrightarrow{F}_{1/2}$ et réciproquement $M_1$ subit de la part de $M_2$ une force attractive $\overrightarrow{F}_{2/1}$ telles que :
 261 \[
 262 \overrightarrow{F}_{1/2}=-\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}\quad \overrightarrow{F}_{2/1}=+\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}
 263 \]
 264 La loi de Newton appliquée à chacune des particules s'écrit :
 265 \[
 266 m_1\frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t^2}=\hphantom{-}\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}
 267 \]
 268 \[
 269 m_2\frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t^2}=-\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}
 270 \]
 271 Sachant que $r=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$, nous obtenons un système de quatre équations différentielles :
 272 \[
 273 \left\{
 274 \begin{array}[m]{l}
 275  \ddot{x_1}=\hphantom{-}\mathcal{G}\displaystyle\frac{m_2}{r^3}(x_2-x_1)\\[1em]
 276  \ddot{y_1}=\hphantom{-}\mathcal{G}\displaystyle\frac{m_2}{r^3}(y_2-y_1)\\[1em]
 277  \ddot{x_2}=-\mathcal{G}\displaystyle\frac{m_1}{r^3}(x_2-x_1)\\[1em]
 278  \ddot{y_2}=-\mathcal{G}\displaystyle\frac{m_1}{r^3}(y_2-y_1)
 279 \end{array}
 280 \right.
 281 \]
 282
 283 %  x    y    x'   y'
 284 % y[0] y[1] y[2] y[3]
 285 \def\FictifAlg{%
 286   y[2]|y[3]|%
 287   -(M1+M2)*y[0]/(y[0]^2+y[1]^2)^1.5|%
 288   -(M1+M2)*y[1]/(y[0]^2+y[1]^2)^1.5}
 289 Voici comment placer sur la pile les différentes variables, ainsi que le système d'équations en notation algébrique. Il faut retenir la notation utilisée pour représenter les variables en fonction de leurs positions respectives sur la pile :
 290 \begin{verbatim}
 291 %   0    1    2    3    4    5    6    7
 292 % y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5] y[6] y[7]
 293 % x1    y1  x'1  y'1  x2   y2   x'2  y'2
 294 \def\GravAlgIIcorps{%
 295   y[2]|y[3]|%
 296   M2*(y[4]-y[0])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%
 297   M2*(y[5]-y[1])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%
 298   y[6]|y[7]|%
 299   M1*(y[0]-y[4])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%
 300   M1*(y[1]-y[5])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5}
 301 \end{verbatim}
 302 Les conditions initiales, positions et vitesses respectives des deux corps, déterminent l'évolution du système.
 303 \begin{verbatim}
 304 \def\InitCond{x01 y01 v0x1 v0y1 x02 y02 v0x2 v0y2}
 305 \end{verbatim}
 306 Elles sont définies dans l'environnement \verb+\begin{pspicture}+ :
 307 \begin{verbatim}
 308 \pstVerb{
 309         /x01 2 def
 310         /y01 2 def
 311         /v0x1 .2 def
 312         /v0y1 0.25 def
 313         /x02 -3 def
 314         /y02 0 def
 315         /v0x2 -0.25 def
 316         /v0y2 -0.5 def
 317         /M1 3 def
 318         /M2 1 def
 319         }%
 320 \end{verbatim}
 321 Dans cette même variable \verb+\pstVerb+, il est utile de faire d'autres calculs, comme la période du mouvement afin de bien choisir l'intervalle de temps sur lequel on dessine les trajectoires. Les calculs s'effectuent en \textsf{postscript} et l'affichage du résultat utilise, par exemple, le package \textsf{pst-tools}.
 322 \begin{verbatim}
 323 \rput(-2,0){\psPrintValue[decimals=4]{periode}\hphantom{00000}s}
 324 \end{verbatim}
 325 On désactivera cette ligne par \% au début, une fois la période connue. Dans l'exemple proposé $T=41,0688\,\mathrm{s}$. On étudie le mouvement sur trois périodes environ.
 326 %%  0  1   2   3  4  5   6   7
 327 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
 328 \def\GravAlgIIcorps{%
 329   y[2]|y[3]|%
 330   M2*(y[4]-y[0])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%
 331   M2*(y[5]-y[1])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%
 332   y[6]|y[7]|%
 333   M1*(y[0]-y[4])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%
 334   M1*(y[1]-y[5])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5}
 335 %\newpage
 336
 337 Dans $\mathcal{R}$ la position de $C$ est déterminée par la relation :
 338 \[
 339 \overrightarrow{OC}=\frac{m_1\overrightarrow{OM_1}+m_2\overrightarrow{OM_2}}{m_1+m_2}
 340 \]
 341 Avec les conventions utilisées les coordonnées de $C$ seront calculées en postscript ainsi :
 342 \begin{verbatim}
 343     M1 y[0] mul M2 y[4] mul add M1 M2 add div % abscisse de C
 344     M1 y[1] mul M2 y[5] mul add M1 M2 add div % ordonnée de C
 345 \end{verbatim}
 346
 347 Dans le repère $\mathcal{R}^*$ lié au centre de masse, les coordonnées des deux points se calculent par :
 348
 349 \[
 350 \left\{
 351 \begin{array}[m]{l}
 352 x^*_1=x_1-x_C\\
 353 y^*_1=x_1-y_C\\
 354 x^*_2=x_2-x_C\\
 355 y^*_2=y_2-y_C\\
 356 \end{array}
 357 \right.
 358 \]
 359 Ce qui en postscript s'écrira :
 360 \begin{verbatim}
 361     y[0]                                      % abscisse de M1
 362     M1 y[0] mul M2 y[4] mul add M1 M2 add div % abscisse de C
 363     sub
 364     y[1]                                      % ordonnée de M1
 365     M1 y[1] mul M2 y[5] mul add M1 M2 add div % ordonnée de C
 366     sub
 367 \end{verbatim}
 368 \begin{verbatim}
 369     y[4]                                      % abscisse de M2
 370     M1 y[0] mul M2 y[4] mul add M1 M2 add div % abscisse de C
 371     sub
 372     y[5]                                      % ordonnée de M2
 373     M1 y[1] mul M2 y[5] mul add M1 M2 add div % ordonnée de C
 374     sub
 375 \end{verbatim}
 376
 377 Les deux options \texttt{[plotfuncx]} et \texttt{[plotfuncy]} permettent justement de faire les calculs nécessaires à ce changement de repère. \texttt{Mt} désignant la masse totale calculée dans la variable \verb+\pstVerb+ :
 378 \begin{verbatim}
 379     /Mt M1 M2 add def
 380 \end{verbatim}
 381 \begin{verbatim}
 382     plotfuncx=y 0 get
 383               y 4 get M2 mul
 384               y 0 get M1 mul add
 385               Mt div sub ,
 386     plotfuncy=1 get
 387               y 1 get
 388               M1 mul
 389               y 5 get M2 mul add
 390               Mt div sub,
 391 \end{verbatim}
 392 Par défaut, c'est la variable de la fonction étudiée, ici le temps $t$, qui est notée \texttt{x}, qui est placée en abscisse. Toutes les grandeurs calculées :
 393 \begin{verbatim}
 394 %   0    1    2    3    4    5    6    7
 395 % y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5] y[6] y[7]
 396 %  x1   y1  x'1  y'1  x2   y2   x'2  y'2
 397 \end{verbatim}
 398 sont placées(empilées) dans un tableau noté \texttt{y}, c'est donc dans ce tableau qu'il faut \textit{aller à la pêche} avec l'instruction \textsf{postscript} \texttt{get}.
 399
 400 Ainsi |\texttt{y 0 get}| donne : \texttt{y[0]} soit \texttt{x1}, |\texttt{y 1 get}| donne : \texttt{y[1]} soit \texttt{y1} etc.
 401 \begin{center}
 402 \begin{pspicture}(-6,-8)(3,3)
 403 \pstVerb{
 404 /arccos {
 405    dup
 406    dup mul neg 1 add sqrt
 407    exch
 408    atan
 409 } def
 410         /G 1 def
 411         /x01 2 def
 412         /y01 2 def
 413         /v0x1 .2 def
 414         /v0y1 0.25 def
 415         /x02 -3 def
 416         /y02 0 def
 417         /v0x2 -0.25 def
 418         /v0y2 -0.5 def
 419         /M1 3 def
 420         /M2 1 def
 421         /Mt M1 M2 add def
 422         /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite
 423         /K G Mt mul def
 424         /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
 425         /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
 426         /vG0x M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def
 427         /vG0y M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def
 428         /K1 M2 Mt div neg def
 429         /K2 M1 Mt div def
 430 % conditions initiales pour le point réduit
 431         /xr0 x02 x01 sub def
 432         /yr0 y02 y01 sub def
 433         /theta_0 yr0 xr0 atan def
 434         /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def
 435         /v0xr v0x2 v0x1 sub def
 436         /v0yr v0y2 v0y1 sub def
 437         /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def
 438 % constante des aires
 439         /Cste xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def % Cste des aires
 440         /Energie 0.5 mu mul v0r_2 mul % 1/2 mv^2
 441                  G M1 M2 mul mul r0 div sub
 442          def
 443          /par Cste dup mul K div def % p
 444          /exc 2 Cste dup mul mul Energie mul mu div K dup mul div 1 add sqrt def % e
 445          /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 446          /b_2 a_2 1 exc dup mul sub sqrt mul def % demi-petit axe
 447          /c_2 a_2 exc mul def % distance focale
 448          % phase
 449          /Phi theta_0 par r0 div 1 sub exc div arccos sub def
 450          /rP par 1 exc add div def
 451          /rA par 1 exc sub div def
 452 % vitesses à l'apogée et au périgée
 453          /vA G Mt mul 2 rA div 1 a_2 div sub mul sqrt def
 454          /vP G Mt mul 2 rP div 1 a_2 div sub mul sqrt def
 455 % positions du périgée et de l'apogée
 456          /xP rP Phi cos mul def
 457          /yP rP Phi sin mul def
 458          /xA rA Phi cos mul neg def
 459          /yA rA Phi sin mul neg def
 460          /xW xA xP add 2 div def
 461          /yW yA yP add 2 div def
 462 % periode
 463        /periode 6.28 a_2 3 exp G div Mt div sqrt mul def
 464        /radius {par 1 exc t Phi sub cos mul add div} def
 465        /xE {radius t cos mul} def
 466        /yE {radius t sin mul}def
 467         }%
 468 %%  0  1   2   3  4  5   6   7
 469 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
 470 \def\InitCond{ x01  y01  v0x1  v0y1 x02 y02  v0x2   v0y2}
 471 \psset{method=rk4}
 472 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](-6,-8)(3,3)%
 473 % mouvement de M2 par rapport à M1
 474 %\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 475 %            plotfuncx=y dup 4 get exch 0 get sub ,
 476 %            plotfuncy=dup 5 get exch 1 get sub,
 477 %            tabname=XY1]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 478 %\listplot[unit=1,linecolor=green]{XY1 aload pop}
 479 % mouvement de M1 par rapport à M2
 480 %\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 481 %            plotfuncx=y dup 0 get exch 4 get sub ,
 482 %            plotfuncy=dup 1 get exch 5 get sub,
 483 %            tabname=XY2]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 484 %\listplot[unit=1,linecolor=magenta]{XY2 aload pop}
 485 % mouvement de M1 par rapport à G
 486 \psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 487             plotfuncx=y 0 get
 488                       y 4 get M2 mul
 489                       y 0 get M1 mul add
 490                       Mt div sub ,
 491             plotfuncy=1 get
 492                       y 1 get
 493                       M1 mul
 494                       y 5 get M2 mul add
 495                       Mt div sub,
 496             tabname=XY1G,
 497             saveData,filename=XY1G.dat
 498             ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 499 \listplot[unit=1,linecolor=red]{XY1G aload pop}
 500 % mouvement de M2 par rapport à G
 501 \psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 502             plotfuncx=y 4 get
 503                       y 4 get M2 mul
 504                       y 0 get M1 mul add
 505                       Mt div sub ,
 506             plotfuncy=5 get
 507                       y 1 get M1 mul
 508                       y 5 get M2 mul add
 509                      Mt div sub,
 510             tabname=XY2G,
 511             saveData,filename=XY2G.dat
 512             ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 513 \listplot[unit=1,linecolor=blue]{XY2G aload pop}
 514 % centre de masse
 515 %\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 516 %            plotfuncx=y dup 0 get M1 mul exch
 517 %                      4 get M2 mul add
 518 %                      Mt div,
 519 %            plotfuncy=dup 1 get M1 mul exch
 520 %                      5 get M2 mul add
 521 %                      Mt div,
 522 %            tabname=XGYG
 523 %            ,saveData,filename=XYG.dat
 524 %            ]{0}{120}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 525 %\listplot[unit=1,linecolor=cyan]{XGYG aload pop}
 526 \pnode(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub){M01}
 527 \pnode(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub){M02}
 528 %\pnode(!xG0 yG0){G0}
 529 \psdots(M01)(M02)
 530 %\psdot[linecolor=cyan](G0)
 531 \rput(M01){\psline[unit=5,linecolor=red]{->}(!v0x1 vG0x sub v0y1 vG0y sub)}
 532 \rput(M02){\psline[unit=5,linecolor=blue]{->}(!v0x2 vG0x sub v0y2 vG0y sub)}
 533 %\rput(G0){\psline[unit=5]{->}(!vG0x vG0y)}
 534 \psline{<->}(3,0)(0,0)(0,3)
 535 \rput(-2,2){\psPrintValue[decimals=4]{periode}\hphantom{0000000}s}
 536 \end{pspicture}
 537 \end{center}
 538 %\end{document}
 539 La partie suivante est une animation en \textit{temps réel}.
 540
 541 Pour faciliter les calculs les positions successives des deux corps ont été enregistrées, avec l'option \texttt{saveData}, dans deux fichiers. Voici pour le premier :
 542 \begin{verbatim}
 543 \psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 544             plotfuncx=y 0 get
 545                       y 4 get M2 mul
 546                       y 0 get M1 mul add
 547                       Mt div sub ,
 548             plotfuncy=1 get
 549                       y 1 get
 550                       M1 mul
 551                       y 5 get M2 mul add
 552                       Mt div sub,
 553             tabname=XY1G,
 554             saveData,filename=XY1G.dat
 555             ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 556 \end{verbatim}
 557 Cette option est ensuite désactivée. Pour l'animation, les fichiers sont lus et les données placées dans un tableau.
 558 \begin{verbatim}
 559 \pstVerb{/XY1 [(XYM1.dat) run] def
 560          /XY2 [(XYM2.dat) run] def
 561 \end{verbatim}
 562 On pourra, éventuellement, tracer un segment joignant les deux corps en activant la ligne :
 563 \begin{verbatim}
 564     %\psline[linestyle=dashed,linecolor=white](!X1 Y1)(!X2 Y2)
 565 \end{verbatim}
 566
 567 \newpage
 568 \section{L'animation}
 569 \begin{center}
 570 \pstVerb{/XY1 [(XY1G.dat) run] def
 571          /XY2 [(XY2G.dat) run] def
 572          }%
 573 \def\nFrames{200}% 200 images
 574 \begin{animateinline}[controls,loop,timeline=pb2corps.dat,%
 575                      begin={\begin{pspicture}(-6,-8)(3,3)},
 576                      end={\end{pspicture}}]{20}% 20 images/s
 577 \psframe*[linecolor={[cmyk]{1 1 0 0.7}}](-6,-8)(3,3)
 578 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=white,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 579 \listplot[linecolor=gray]{XY1 aload pop}
 580 \listplot[linecolor=gray]{XY2 aload pop}
 581 \psdot[linecolor=yellow,dotstyle=+](0,0)
 582 \newframe
 583 \multiframe{\nFrames}{i=0+10}{% 1 point sur 10
 584 \pstVerb{/X1 XY1 \i\space get def
 585          /Y1 XY1 \i\space 1 add get def
 586          /X2 XY2 \i\space get def
 587          /Y2 XY2 \i\space 1 add get def
 588         }%
 589 %\psdot(!X1 Y1)
 590 \pscircle*[linecolor=red](!X1 Y1){0.3}
 591 \pscircle*[linecolor=blue!50](!X2 Y2){0.1}
 592 %\psline[linestyle=dashed,linecolor=white](!X1 Y1)(!X2 Y2)
 593 }
 594 \end{animateinline}
 595 \end{center}
 596 \section{Mouvement d'un corps par rapport à l'autre}
 597 Étudions le mouvement de $M_2$ par rapport à $M_1$. Dans un repère lié à $M_1$ les coordonnées  de $M_2$ s'expriment par :
 598 \[
 599 \left\{
 600 \begin{array}[m]{l}
 601 x_{2/1}=x_2-x_1\\
 602 y_{2/1}=y_2-y_1
 603 \end{array}
 604 \right.
 605 \]
 606 \begin{verbatim}
 607 %   0    1    2    3    4    5    6    7
 608 % y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5] y[6] y[7]
 609 %  x1   y1  x'1  y'1  x2   y2   x'2  y'2
 610    y[4] y[0] sub % x2 - x1
 611    y[5] y[1] sub % y2 - y1
 612 \end{verbatim}
 613
 614 \begin{verbatim}
 615 % mouvement de M2 par rapport à M1
 616 \psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 617             plotfuncx=y dup 4 get exch 0 get sub ,
 618             plotfuncy=dup 5 get exch 1 get sub,
 619             tabname=XY21,
 620             saveData,filename=XY21.dat
 621             ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 622 \end{verbatim}
 623 \begin{center}
 624 \begin{pspicture}(-7,-9)(3,3)
 625 \pstVerb{
 626 /arccos {
 627    dup
 628    dup mul neg 1 add sqrt
 629    exch
 630    atan
 631 } def
 632         /G 1 def
 633         /x01 2 def
 634         /y01 2 def
 635         /v0x1 .2 def
 636         /v0y1 0.25 def
 637         /x02 -3 def
 638         /y02 0 def
 639         /v0x2 -0.25 def
 640         /v0y2 -0.5 def
 641         /M1 3 def
 642         /M2 1 def
 643         /Mt M1 M2 add def
 644         /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite
 645         /K G Mt mul def
 646         /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
 647         /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
 648         /vG0x M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def
 649         /vG0y M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def
 650         /K1 M2 Mt div neg def
 651         /K2 M1 Mt div def
 652 % conditions initiales pour le point réduit
 653         /xr0 x02 x01 sub def
 654         /yr0 y02 y01 sub def
 655         /theta_0 yr0 xr0 atan def
 656         /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def
 657         /v0xr v0x2 v0x1 sub def
 658         /v0yr v0y2 v0y1 sub def
 659         /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def
 660 % constante des aires
 661         /Cste xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def % Cste des aires
 662         /Energie 0.5 mu mul v0r_2 mul % 1/2 mv^2
 663                  G M1 M2 mul mul r0 div sub
 664          def
 665          /par Cste dup mul K div def % p
 666          /exc 2 Cste dup mul mul Energie mul mu div K dup mul div 1 add sqrt def % e
 667          /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 668          /b_2 a_2 1 exc dup mul sub sqrt mul def % demi-petit axe
 669          /c_2 a_2 exc mul def % distance focale
 670          % phase
 671          /Phi theta_0 par r0 div 1 sub exc div arccos sub def
 672          /rP par 1 exc add div def
 673          /rA par 1 exc sub div def
 674 % vitesses à l'apogée et au périgée
 675          /vA G Mt mul 2 rA div 1 a_2 div sub mul sqrt def
 676          /vP G Mt mul 2 rP div 1 a_2 div sub mul sqrt def
 677 % positions du périgée et de l'apogée
 678          /xP rP Phi cos mul def
 679          /yP rP Phi sin mul def
 680          /xA rA Phi cos mul neg def
 681          /yA rA Phi sin mul neg def
 682          /xW xA xP add 2 div def
 683          /yW yA yP add 2 div def
 684 % periode
 685        /periode 6.28 a_2 3 exp G div Mt div sqrt mul def
 686        /radius {par 1 exc t Phi sub cos mul add div} def
 687        /xE {radius t cos mul} def
 688        /yE {radius t sin mul}def
 689         }%
 690 %%  0  1   2   3  4  5   6   7
 691 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
 692 \def\InitCond{ x01  y01  v0x1  v0y1 x02 y02  v0x2   v0y2}
 693 \psset{method=rk4}
 694 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](-7,-9)(3,3)%
 695 % mouvement de M2 par rapport à M1
 696 \psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 697             plotfuncx=y dup 4 get exch 0 get sub ,
 698             plotfuncy=dup 5 get exch 1 get sub,
 699             tabname=XY21,
 700             saveData,filename=XY21.dat
 701             ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 702 \listplot[unit=1,linecolor=green]{XY21 aload pop}
 703 % mouvement de M1 par rapport à M2
 704 %\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 705 %            plotfuncx=y dup 0 get exch 4 get sub ,
 706 %            plotfuncy=dup 1 get exch 5 get sub,
 707 %            tabname=XY2]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 708 %\listplot[unit=1,linecolor=magenta]{XY2 aload pop}
 709 \pnode(!x02 x01 sub y02 y01 sub){M021}
 710 \pscircle*[linecolor=red](0,0){0.3}
 711 \pscircle*[linecolor=blue!50](M021){0.1}
 712 \uput[r](M021){$(t_0)$}
 713 \psdot(M021)\uput[l](M021){$M_{2/1}$}
 714 \rput(M021){\psline[unit=5,linecolor=blue]{->}(!v0x2 v0x1 sub v0y2 v0y1 sub)}
 715 \uput{0.3}[d](0,0){$M_1(0)$}
 716 \psline{<->}(3,0)(0,0)(0,3)
 717 \rput(-2,2){\psPrintValue[decimals=4]{periode}\hphantom{0000000}s}
 718 \end{pspicture}
 719 \end{center}
 720 Le mouvement de $M_1$ par rapport à $M_2$ :
 721 \begin{verbatim}
 722 % mouvement de M1 par rapport à M1
 723 \psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 724             plotfuncx=y dup 0 get exch 4 get sub ,
 725             plotfuncy=dup 1 get exch 5 get sub,
 726             tabname=XY12,
 727             saveData,filename=XY12.dat
 728             ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 729 \end{verbatim}
 730 \begin{center}
 731 \begin{pspicture}(-3,-2)(8,8)
 732 \pstVerb{
 733 /arccos {
 734    dup
 735    dup mul neg 1 add sqrt
 736    exch
 737    atan
 738 } def
 739         /G 1 def
 740         /x01 2 def
 741         /y01 2 def
 742         /v0x1 .2 def
 743         /v0y1 0.25 def
 744         /x02 -3 def
 745         /y02 0 def
 746         /v0x2 -0.25 def
 747         /v0y2 -0.5 def
 748         /M1 3 def
 749         /M2 1 def
 750         /Mt M1 M2 add def
 751         /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite
 752         /K G Mt mul def
 753         /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
 754         /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
 755         /vG0x M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def
 756         /vG0y M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def
 757         /K1 M2 Mt div neg def
 758         /K2 M1 Mt div def
 759 % conditions initiales pour le point réduit
 760         /xr0 x02 x01 sub def
 761         /yr0 y02 y01 sub def
 762         /theta_0 yr0 xr0 atan def
 763         /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def
 764         /v0xr v0x2 v0x1 sub def
 765         /v0yr v0y2 v0y1 sub def
 766         /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def
 767 % constante des aires
 768         /Cste xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def % Cste des aires
 769         /Energie 0.5 mu mul v0r_2 mul % 1/2 mv^2
 770                  G M1 M2 mul mul r0 div sub
 771          def
 772          /par Cste dup mul K div def % p
 773          /exc 2 Cste dup mul mul Energie mul mu div K dup mul div 1 add sqrt def % e
 774          /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
 775          /b_2 a_2 1 exc dup mul sub sqrt mul def % demi-petit axe
 776          /c_2 a_2 exc mul def % distance focale
 777          % phase
 778          /Phi theta_0 par r0 div 1 sub exc div arccos sub def
 779          /rP par 1 exc add div def
 780          /rA par 1 exc sub div def
 781 % vitesses à l'apogée et au périgée
 782          /vA G Mt mul 2 rA div 1 a_2 div sub mul sqrt def
 783          /vP G Mt mul 2 rP div 1 a_2 div sub mul sqrt def
 784 % positions du périgée et de l'apogée
 785          /xP rP Phi cos mul def
 786          /yP rP Phi sin mul def
 787          /xA rA Phi cos mul neg def
 788          /yA rA Phi sin mul neg def
 789          /xW xA xP add 2 div def
 790          /yW yA yP add 2 div def
 791 % periode
 792        /periode 6.28 a_2 3 exp G div Mt div sqrt mul def
 793        /radius {par 1 exc t Phi sub cos mul add div} def
 794        /xE {radius t cos mul} def
 795        /yE {radius t sin mul}def
 796         }%
 797 %%  0  1   2   3  4  5   6   7
 798 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
 799 \def\InitCond{ x01  y01  v0x1  v0y1 x02 y02  v0x2   v0y2}
 800 \psset{method=rk4}
 801 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](-3,-2)(8,9)%
 802 % mouvement de M2 par rapport à M1
 803 %\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 804 %            plotfuncx=y dup 4 get exch 0 get sub ,
 805 %            plotfuncy=dup 5 get exch 1 get sub,
 806 %            tabname=XY21,
 807 %            saveData,filename=XY21.dat
 808 %            ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 809 %\listplot[unit=1,linecolor=green]{XY21 aload pop}
 810 % mouvement de M1 par rapport à M2
 811 \psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
 812             plotfuncx=y dup 0 get exch 4 get sub ,
 813             plotfuncy=dup 1 get exch 5 get sub,
 814             tabname=XY12,
 815             saveData,filename=XY12.dat
 816             ]{0}{41.07}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
 817 \listplot[unit=1,linecolor=magenta]{XY12 aload pop}
 818 \pnode(!x01 x02 sub y01 y02 sub){M012}
 819 \pscircle*[linecolor=red](M012){0.3}
 820 \pscircle*[linecolor=blue!50](0,0){0.1}
 821 \uput{0.3}[r](M012){$(t_0)$}
 822 \uput[d](0,0){$M_2(0)$}
 823 \psdot(M012)\uput{0.3}[l](M012){$M_{1/2}$}
 824 \rput(M012){\psline[unit=5,linecolor=red]{->}(!v0x1 v0x2 sub v0y1 v0y2 sub)}
 825 %\rput(G0){\psline[unit=5]{->}(!vG0x vG0y)}
 826 \psline{<->}(3,0)(0,0)(0,3)
 827 \rput(-2,2){\psPrintValue[decimals=4]{periode}\hphantom{0000000}s}
 828 \end{pspicture}
 829 \end{center}
 830 \section{Animation du mouvement de $M_1$ par rapport à $M_2$}
 831 \begin{center}
 832 \pstVerb{/XY12 [(XY12.dat) run] def
 833          }%
 834 \def\nFrames{199}% 199 images au lieu de 200 ?
 835 \begin{animateinline}[controls,loop,timeline=pb2corps.dat,%
 836                      begin={\begin{pspicture}(-3,-2)(8,10)},
 837                      end={\end{pspicture}}]{20}% 20 images/s
 838 \psframe*[linecolor={[cmyk]{1 1 0 0.7}}](-3,-2)(8,10)
 839 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=white,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 840 \listplot[linecolor=gray]{XY12 aload pop}
 841 \pscircle*[linecolor=blue!50](0,0){0.1}
 842 \newframe
 843 \multiframe{\nFrames}{i=0+10}{% 1 point sur 10
 844 \pstVerb{/X1 XY12 \i\space get def
 845          /Y1 XY12 \i\space 1 add get def
 846         }%
 847 \pscircle*[linecolor=red](!X1 Y1){0.3}
 848 }
 849 \end{animateinline}
 850 \end{center}
 851 \end{document}