gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex

   1 \documentclass[fleqn]{article}
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   3 \usepackage[latin1]{inputenc}
   4 \usepackage[distiller]{pstricks}
   5 \usepackage{pst-slpe}
   6 \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func,pst-solides3d}
   7 \usepackage{array,amsmath}
   8
   9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  10 \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
  11
  12 \begin{document}
  13
  14 \section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau d'or}
  15
  16 \subsection{L'exp\'{e}rience d'Ernest Rutherford en 1909}
  17
  18 Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) une mince feuille d'or.
  19 \begin{center}
  20 \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
  21 \def\Kernradius{7.5pt}
  22 \def\KernabstandHe{7.5pt}
  23 \def\ColorProton{red}
  24 \def\ColorNeutron{gray!20}
  25
  26 \newpsstyle{proton}{linecolor={[rgb]{0.72 0 0}},slopebegin=red!50,sloperadius=0.15,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid}
  27 \newpsstyle{neutron}{linecolor=gray!50,slopebegin=white,sloperadius=0.11,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid}
  28
  29 \def\Proton{\psBall[style=proton](0,0){\ColorProton}{\Kernradius}}
  30 \def\Neutron{\psBall[style=neutron](0,0){\ColorNeutron}{\Kernradius}}
  31
  32 \def\AtomKernHe{%
  33 \multido{\iAngle=40+180}{2}{%
  34 \rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Proton}%
  35 }%
  36 \multido{\iAngle=130+180}{2}{%
  37 \rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Neutron}%
  38 }%
  39 }%
  40 \rput(0,0){\AtomKernHe}
  41 \rput(1.5,0){$^{4}_{2}$He$^{2+}$}
  42 \end{pspicture}
  43 \end{center}
  44
  45 \subsection{Montage exp\'{e}rimental}
  46
  47 \begin{center}
  48 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)
  49 \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20}
  50 \psSolid[object=cube,a=1,fillcolor=orange,incolor=red!20](0,7.5,0)
  51 \psLineIIID[linecolor=red](0,7,0)(0,0,0)
  52 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(45 sin 4 mul,45 cos 4 mul,0)
  53 \psPolygonIIID[fillcolor=yellow,fillstyle=solid,opacity=0.5](-1.2,0,-1.2)(1.2,0,-1.2)(1.2,0,1.2)(-1.2,0,1.2)
  54 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(140 sin 4 mul,140 cos 4 mul,0)
  55 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(160 sin 4 mul,160 cos 4 mul,0)
  56 \defFunction{G}(t)
  57    {t sin 4 mul}
  58    {t cos 4 mul}
  59    {-0.5}
  60 \psSolid[object=cylindre,
  61    range=10 350,
  62    h=1,
  63    function=G,
  64    axe=0 0 1, %% valeur par d\'{e}faut
  65    ngrid=4 108,
  66    incolor=green!20,
  67    fillcolor=green!20,
  68    linecolor=gray!50,
  69    opacity=0.7]
  70 \psPoint(0,7.5,1){emit}
  71 \uput[u](emit){\'{E}metteur de particules $\alpha$}
  72 \psPoint(45 sin 4.3 mul,45 cos 4.3 mul,0){fluor}
  73 \uput[r](fluor){\'{E}cran fluorescent}
  74 \psSolid[object=plan,definition=equation,args={[0 -1 0 0]},name=pro,action=none]
  75 \psProjection[object=texte,text=Feuille d'or,plan=pro](0,0.7)
  76 \end{pspicture}
  77 \end{center}
  78
  79 \def\eqRuth{%
  80 y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
  81
  82 \section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboliques}
  83
  84 Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'une particule $\alpha$ a pour coordonn\'{e}s $(x/y)$ et vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. La particule d'or est plac\'{e}e dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$.
  85
  86 L'en\'{e}rgie cin\'{e}tique a pour expression :
  87 \[
  88 T(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)
  89 \]
  90 L'\'{e}nergie potentielle coulombienne :
  91 \[
  92 U(x,y)=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{dont} \quad k=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0}
  93 \]
  94 Le Lagrangien est :
  95 \[
  96 L(x,y,\dot{x},\dot{y})=T-U=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}
  97 \]
  98 Les \'{e}quations de Lagrange s'\'{e}crivent :
  99 Pour $x,\,\dot{x}$ :
 100 \begin{align*}
 101 \frac{\partial L}{\partial x}&=k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}\\
 102 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\dot{x}\\
 103 \frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\ddot{x}
 104 \end{align*}
 105 Alors
 106 \[
 107 m_0\ddot{x}-k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=0
 108 \]
 109 En divisant par $m_0$
 110 \[
 111 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
 112 \ddot{x}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
 113 }
 114 \]
 115 Le Lagrangien \'{e}tant sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors :
 116 \[
 117 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
 118 \ddot{y}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
 119 }
 120 \]
 121
 122 \section{La sym\'{e}trie des trajectoires}
 123
 124 \begin{center}
 125
 126 \begin{pspicture}(-5,-1)(5,4)
 127 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-0.5)(5,3)
 128 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-5,1)(5,1)
 129 \uput[0](5,0){$x$}
 130 \uput[90](0,3){$y$}
 131 \psline{<->}(-4.5,0)(-4.5,1)
 132 \uput[180](-4.5,0.5){$b$}
 133 \rput{20}(0,0){%
 134 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-0.5,1)(5,1)
 135 }
 136 \psdot[dotsize=0.25cm,linecolor=yellow](0,0)
 137 \psarc{->}(0,1){2}{0}{20}
 138 \uput{1.25cm}[10](0,1){$\vartheta$}
 139 \rput{10}(0,0){%
 140 \pscurve[linecolor=blue](-5,2)(0,1.5)(5,2)
 141 \psdot(0,1.5)
 142 \rput(0,1.75){$B$}
 143 }
 144 %\psgrid
 145 \psline[linecolor=red]{->}(0,0)(-0.3,1.5)
 146 \uput[0](-0.15,0.75){\textcolor{red}{$\vec{r}_B=\vec{r}_{\text{min}}$}}
 147 \psline{->}(0,0)(-3,1.2)
 148 \uput[-90](-1.5,0.6){$\vec{r}$}
 149 \psarc{->}(0,0){0.5}{0}{155}
 150 \uput[45](0,0){$\varphi$}
 151 \rput(7,2){\parbox{3cm}{Le vecteur $\vec{r}_B$ est l'axe de sym\'{e}trie de la hyperbole}}
 152 \end{pspicture}
 153 \end{center}
 154 Prenons des coordonn\'{e}es polaires avec les transformations usuelles :
 155 \[
 156 \vec{r}=\begin{pmatrix}
 157   x\\y
 158 \end{pmatrix}
 159 =\begin{pmatrix}
 160 r\cos\varphi\\
 161 r\sin\varphi
 162 \end{pmatrix}
 163 \]
 164 \c{C}a donne pour la vitesse :
 165 \[
 166 \vec{v}=\begin{pmatrix}
 167 \dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\
 168 \dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi
 169 \end{pmatrix}
 170 \]
 171 Le moment cin\'{e}tique :
 172 \[
 173 \vec{L}=m_0\vec{r}\times \vec{v}=m_0\begin{pmatrix}
 174 r\cos\varphi\\
 175 r\sin\varphi\\
 176 0
 177 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
 178 \dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\
 179 \dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi\\
 180 0
 181 \end{pmatrix}=m_0\begin{pmatrix}
 182 0\\
 183 0\\
 184 r^2 \dot{\varphi}
 185 \end{pmatrix}
 186 \]
 187 Conservation du moment cin\'{e}tique demande que
 188 \[
 189 \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{0}
 190 \]
 191 autrement dit :
 192 \[
 193 r^2\dot{\varphi}=\text{cste}\quad \Rightarrow\quad \dot{\varphi}=\frac{1}{r^2}\cdot \text{cste}
 194 \]
 195 La transformation $\varphi=\arctan\frac{y}{x}$ se d\'{e}rive par rapport au temps :
 196 \[
 197 \dot{\varphi}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\varphi=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\arctan\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{r^2}(x\dot{y}-\dot{x}y)
 198 \]
 199 On peut d\'{e}duire que $x\dot{y}-\dot{x}y$ est constante pour chaque temps $t$, alors aussi pour le temps $t_0=0$ (les conditions initiales) : $x=x_0,\,y=b,\,\dot{x}=v_0,\,\dot{y}=0$
 200 \[
 201 \frac{1}{r^2}=-\frac{1}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}
 202 \]
 203 Prenons la composante $y$ de la force coulombienne :
 204 \[
 205 F_y=m_0\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t}=\frac{k}{r^2}\sin\varphi=-\frac{k}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi
 206 \]
 207 Int\'{e}grant l'\'{e}quation entre $t_0$ et $t_E$ (presque infini)
 208 \[
 209 m_0\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t} \,\text{d}t=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi\,\text{d}t
 210 \]
 211 Substitutions des limites de l'int\'{e}gral :
 212 \[
 213 m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_E)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_E)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi
 214 \]
 215 Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_E)=v_0\sin\vartheta$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_E)=\vartheta$
 216 \[
 217 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_0\sin\vartheta}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^\vartheta
 218 \]
 219 puis
 220 \begin{align*}
 221 m_0v_0\sin\vartheta&=\frac{k}{bv_0}(\cos\vartheta +1)\\
 222 b&=\frac{k}{m_0v_0^2}\frac{\cos\vartheta +1}{\sin\vartheta}=\frac{k}{m_0v_0^2}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 223 \end{align*}
 224 Nommons l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 225 \[
 226 b(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 227 \]
 228 \section{La distance minimale entre le particule $\alpha$ et le noyau d'or}
 229
 230 Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est
 231 \[
 232 L_B=m_0r_Bv_B
 233 \]
 234 Le moment cin\'{e}tique initiale est $L_0=m_0bv_0$. La conservation du moment cin\'{e}tique $L_B=L_0$ donne :
 235 \[
 236 r_B=\frac{v_0}{v_B}b
 237 \]
 238 Prenons encore l'int\'{e}grale de la force coulombienne en direction $y$, mais seulement au point $B$ par le temps $t_B$ :
 239 \[
 240 m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_B)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_B)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi
 241 \]
 242 Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_B)=v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_B)=\frac{\pi+\vartheta}{2}$
 243 \[
 244 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^{\frac{\pi+\vartheta}{2}}
 245 \]
 246 on re\c{c}oit
 247 \[
 248 m_0v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{k}{bv_0}\left[\cos\left(\frac{\pi+\vartheta}{2}\right)+1\right]
 249 \]
 250 Avec la formule trigonom\'{e}trique $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\vartheta}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$ :
 251 \[
 252 v_B=\frac{k}{bm_0v_0}\frac{1-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}
 253 \]
 254 Substituant $r_B=\frac{v_0}{v_B}b$ et avec l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 255 \[
 256 r_\text{min}=r_B(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=b(\vartheta)\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}
 257 \]
 258
 259 \section{Point de retour}
 260
 261 Soit $b=0$, le particule $\alpha$ mouve directement vers le noyau d'or sur l'axe $x$ et \`{a} une distance $r_C$ du noyau d'or (point $C$) sa vitesse devient $v_C=0$. Prenons la conservation de l'\'{e}nergie :
 262 \[
 263 \frac{1}{2}m_0v_0^2=\frac{k}{r_0}+\frac{1}{2}m_0\underbrace{v_C^2}_{=0}
 264 \]
 265 \c{C}a donne
 266 \[
 267 r_C=\frac{2k}{m_0v_0^2}
 268 \]
 269 et avec la notation de l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 270 \[
 271 r_C=\frac{k}{E_0}
 272 \]
 273
 274
 275 \section{L'enveloppe des trajectoires}
 276
 277 \emph{La parabole est la courbe d'\'{e}quidistance entre un point (le foyer $F$) et une droite (la directrice $d$).}
 278 \begin{center}
 279 \begin{pspicture*}(-5,-4)(8,4)
 280 \psaxes[ticks=none,labels=none,yAxis=false]{->}(0,0)(-4,-3.5)(7,3.5)
 281 \psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot]{-200}{200}{1 x cos sub 1 neg exp 2 mul}
 282 \psdot(0,0)
 283 \uput[135](0,0){$F$}
 284 \psdot(-1,0)
 285 \uput[135](-1,0){$C$}
 286 \psline(-2,-3)(-2,3)
 287 \uput[90](-2,3){Directrice $d$}
 288 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](0,0)(0,-3)
 289 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-1,0)(-1,-2.5)
 290 \psline{<->}(0,-2.25)(-1,-2.25)
 291 \uput[90](-0.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
 292 \psline{<->}(-2,-2.25)(-1,-2.25)
 293 \uput[90](-1.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
 294 \psline{<->}(0,-2.75)(-2,-2.75)
 295 \uput[-90](-1,-2.75){$p$}
 296 \psline[linecolor=red](0,0)(1,2.8)(-2,2.8)
 297 \rput(0.8,1.3){\textcolor{red}{$x$}}
 298 \uput[-90](-0.7,2.8){\textcolor{red}{$x$}}
 299 \psdot[linecolor=red](1,2.8)
 300 \uput[135](1,2.8){\textcolor{red}{$M$}}
 301 %\psgrid
 302 \end{pspicture*}
 303 \end{center}
 304 Une parabole en nommation polaire :
 305 \[
 306 r(\varphi)=\frac{p}{1-\cos\varphi}
 307 \]
 308 Le param\`{e}tre $p$ est la distance du foyer $F$ de la parabole \`{a} la directrice $d$.
 309
 310 L'enveloppe des trajectoires hyperboles est une parabole avec $p=2r_C$ :
 311 \[
 312 r(\varphi)=\frac{2r_C}{1-\cos\varphi}
 313 \]
 314
 315
 316 \newpage
 317
 318 \section{Les trajectoires des particules $\alpha$}
 319
 320 Les param\`{e}tres suivants de l'exp\'{e}rience originale sont :
 321 \begin{align*}
 322 m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
 323 e_0&=1,6\cdot10^{-19}\,\text{C}\\
 324 \varepsilon_0&=8,85\cdot10^{-12}\,\frac{\text{A\,s}}{\text{kg\,m}^3}\\
 325 Z_1&=2\\
 326 Z_2&=79\\
 327 v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 328 \end{align*}
 329
 330 \begin{center}
 331 \begin{pspicture*}(-6,-9)(6,9)
 332 %\psset{unit=2}%
 333 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-9)(6,9)
 334 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
 335 \uput[0](5,0){$x$}
 336 \uput[90](0,8){$y$}
 337 \rput(3,0.3){Zone d'ombre}
 338 %\uput[135](-0.6,0){$C$}
 339 \multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
 340 \pstVerb{%
 341     /Pi 3.1415 def
 342 %    /m0 6.64e-27 def
 343     /m0 0.25 def
 344     /Z1 2 def
 345     /Z2 79 def
 346     /e0 1.6e-19 def
 347     /epsil 8.85e-12 def
 348     /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def
 349     /COU 5 m0 div def
 350     /x0 200 neg def
 351     /y0 \rA\space def
 352 %   /v0x 2.1e7 def
 353     /v0x 8 def
 354     /v0y 0 def
 355     /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div neg def
 356     /facteur v0x dup mul COU div 4 div def
 357 }%
 358 \psequadiff[method=rk4,
 359             plotpoints=2000,
 360             algebraic,
 361             whichabs=0,
 362             whichord=1,
 363             tabname=XiYi
 364 %           ,saveData,filename=XiYi.dat
 365 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}%
 366 \listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop}
 367 }
 368 \psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot,fillstyle=solid,fillcolor=blue!40,opacity=0.25]{200}{-200}{1 x cos sub 1 neg exp facteur div}
 369
 370 \pscircle*[linecolor=yellow](0,0){0.3}
 371 \psdot(!r1 0)
 372 \end{pspicture*}
 373 \end{center}
 374
 375
 376 \end{document}