gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex

   1 \documentclass[fleqn]{article}
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  11 \usepackage{url}
  12
  13 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
  14 \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
  15
  16 \begin{document}
  17
  18 \section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau d'or}
  19
  20 \subsection{L'exp\'{e}rience d'Ernest Rutherford en 1909}
  21
  22 Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) une mince feuille d'or.
  23 \begin{center}
  24 \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
  25 \def\Kernradius{7.5pt}
  26 \def\KernabstandHe{7.5pt}
  27 \def\ColorProton{red}
  28 \def\ColorNeutron{gray!20}
  29
  30 \newpsstyle{proton}{linecolor={[rgb]{0.72 0 0}},slopebegin=red!50,sloperadius=0.15,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid}
  31 \newpsstyle{neutron}{linecolor=gray!50,slopebegin=white,sloperadius=0.11,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid}
  32
  33 \def\Proton{\psBall[style=proton](0,0){\ColorProton}{\Kernradius}}
  34 \def\Neutron{\psBall[style=neutron](0,0){\ColorNeutron}{\Kernradius}}
  35
  36 \def\AtomKernHe{%
  37 \multido{\iAngle=40+180}{2}{%
  38 \rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Proton}%
  39 }%
  40 \multido{\iAngle=130+180}{2}{%
  41 \rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Neutron}%
  42 }%
  43 }%
  44 \rput(0,0){\AtomKernHe}
  45 \rput(1.5,0){$^{4}_{2}$He$^{2+}$}
  46 \end{pspicture}
  47 \end{center}
  48
  49 \subsection{Montage exp\'{e}rimental}
  50
  51 \begin{center}
  52 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)
  53 \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20}
  54 \psSolid[object=cube,a=1,fillcolor=orange,incolor=red!20](0,7.5,0)
  55 \psLineIIID[linecolor=red](0,7,0)(0,0,0)
  56 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(45 sin 4 mul,45 cos 4 mul,0)
  57 \psPolygonIIID[fillcolor=yellow,fillstyle=solid,opacity=0.5](-1.2,0,-1.2)(1.2,0,-1.2)(1.2,0,1.2)(-1.2,0,1.2)
  58 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(140 sin 4 mul,140 cos 4 mul,0)
  59 \psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(160 sin 4 mul,160 cos 4 mul,0)
  60 \defFunction{G}(t)
  61    {t sin 4 mul}
  62    {t cos 4 mul}
  63    {-0.5}
  64 \psSolid[object=cylindre,
  65    range=10 350,
  66    h=1,
  67    function=G,
  68    axe=0 0 1, %% valeur par d\'{e}faut
  69    ngrid=4 108,
  70    incolor=green!20,
  71    fillcolor=green!20,
  72    linecolor=gray!50,
  73    opacity=0.7]
  74 \psPoint(0,7.5,1){emit}
  75 \uput[u](emit){\'{E}metteur de particules $\alpha$}
  76 \psPoint(45 sin 4.3 mul,45 cos 4.3 mul,0){fluor}
  77 \uput[r](fluor){\'{E}cran fluorescent}
  78 \psSolid[object=plan,definition=equation,args={[0 -1 0 0]},name=pro,action=none]
  79 \psProjection[object=texte,text=Feuille d'or,plan=pro](0,0.7)
  80 \end{pspicture}
  81 \end{center}
  82
  83
  84 \textbf{Observation :}
  85
  86 L'exp\'{e}rience est r\'{e}alis\'{e}e sous vide. De la mati\`{e}re radioactive \'{e}mettant des particules $\alpha$ (noyaux d'h\'{e}lium, He$^{2+}$) est plac\'{e}e dans une bo\^{\i}te et le faisceau de particule $\alpha$ est orient\'{e} en direction d'une fine feuille d'or (6000~{\AA}). Derri\`{e}re cette couche d'or, un \'{e}cran est plac\'{e} ; il est enrichi d'une substance chimique (sulfure de zinc: ZnS) permettant de visualiser, par un scintillement lumineux, la collision par les particules $\alpha$.
  87
  88 Plusieurs minutes apr\`{e}s la disposition du mat\'{e}riel, diff\'{e}rents points lumineux apparaissent sur l'\'{e}cran et ces points ne sont pas dans l'orientation du faisceau, mais \'{e}tal\'{e}s sur de grands angles.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}}
  89
  90 \textbf{Interpretation :}
  91
  92 La majorit\'{e} des particules $\alpha$ traversent la feuille d'or, sans \^{e}tre d\'{e}vi\'{e}es mais une partie de ces particules, de l'ordre de 0,01~\%, a \'{e}t\'{e} d\'{e}vi\'{e}e. De cette exp\'{e}rience, nous pouvons d\'{e}duire que la mati\`{e}re est une structure lacunaire. Elle est constitu\'{e}e essentiellement de vide c'est pour cela que la plupart des particules ne sont pas d\'{e}vi\'{e}es. Il existe de m\^{e}me des \^{\i}lots de charge positive qui repoussent les particules $\alpha$. L'ordre de grandeur de ces \^{\i}lots est tr\`{e}s petit par rapport \`{a} l'atome (de l'ordre de 100 000 fois plus petit).
  93
  94 En fait, Rutherford a observ\'{e} la diffusion in\'{e}lastique en pensant que c'\'{e}tait la diffusion \'{e}lastique. Le taux de diffusion \'{e}lastique est supprim\'{e} par un facteur de forme qui prend en compte le mouvement du noyau comme un nuage positif (ou bien \emph{p\^{a}te}). En plus, la transmission de l'\'{e}nergie aux \emph{noyaux} li\'{e}s excite les atomes (diffusion in\'{e}lastique). Seulement la somme de tous les diff\'{e}rents \'{e}v\'{e}nements (avec participation des voisins donc) cr\'{e}e l'image d'un noyau ponctuel.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}}
  95
  96
  97
  98 \def\eqRuth{%
  99 y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
 100
 101 \section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboliques}
 102
 103 Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'une particule $\alpha$ a pour coordonn\'{e}s $(x/y)$ et vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. La particule d'or est plac\'{e}e dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$.
 104
 105 L'en\'{e}rgie cin\'{e}tique a pour expression :
 106 \[
 107 T(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)
 108 \]
 109 L'\'{e}nergie potentielle coulombienne :
 110 \[
 111 U(x,y)=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{dont} \quad k=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0}
 112 \]
 113 Le Lagrangien est :
 114 \[
 115 L(x,y,\dot{x},\dot{y})=T-U=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}
 116 \]
 117 Les \'{e}quations de Lagrange s'\'{e}crivent :
 118 Pour $x,\,\dot{x}$ :
 119 \begin{align*}
 120 \frac{\partial L}{\partial x}&=k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}\\
 121 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\dot{x}\\
 122 \frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\ddot{x}
 123 \end{align*}
 124 Alors
 125 \[
 126 m_0\ddot{x}-k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=0
 127 \]
 128 En divisant par $m_0$
 129 \[
 130 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
 131 \ddot{x}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
 132 }
 133 \]
 134 Le Lagrangien \'{e}tant sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors :
 135 \[
 136 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
 137 \ddot{y}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
 138 }
 139 \]
 140
 141 \section{La sym\'{e}trie des trajectoires}
 142
 143 \begin{center}
 144
 145 \begin{pspicture}(-5,-1)(5,4)
 146 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-0.5)(5,3)
 147 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-5,1)(5,1)
 148 \uput[0](5,0){$x$}
 149 \uput[90](0,3){$y$}
 150 \psline{<->}(-4.5,0)(-4.5,1)
 151 \uput[180](-4.5,0.5){$b$}
 152 \rput{20}(0,0){%
 153 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-0.5,1)(5,1)
 154 }
 155 \psdot[dotsize=0.25cm,linecolor=yellow](0,0)
 156 \psarc{->}(0,1){2}{0}{20}
 157 \uput{1.25cm}[10](0,1){$\vartheta$}
 158 \rput{10}(0,0){%
 159 \pscurve[linecolor=blue](-5,2)(0,1.5)(5,2)
 160 \psdot(0,1.5)
 161 \rput(0,1.75){$B$}
 162 }
 163 %\psgrid
 164 \psline[linecolor=red]{->}(0,0)(-0.3,1.5)
 165 \uput[0](-0.15,0.75){\textcolor{red}{$\vec{r}_B=\vec{r}_{\text{min}}$}}
 166 \psline{->}(0,0)(-3,1.2)
 167 \uput[-90](-1.5,0.6){$\vec{r}$}
 168 \psarc{->}(0,0){0.5}{0}{155}
 169 \uput[45](0,0){$\varphi$}
 170 \rput(7,2){\parbox{3cm}{Le vecteur $\vec{r}_B$ est l'axe de sym\'{e}trie de la hyperbole}}
 171 \end{pspicture}
 172 \end{center}
 173 Prenons des coordonn\'{e}es polaires avec les transformations usuelles :
 174 \[
 175 \vec{r}=\begin{pmatrix}
 176   x\\y
 177 \end{pmatrix}
 178 =\begin{pmatrix}
 179 r\cos\varphi\\
 180 r\sin\varphi
 181 \end{pmatrix}
 182 \]
 183 \c{C}a donne pour la vitesse :
 184 \[
 185 \vec{v}=\begin{pmatrix}
 186 \dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\
 187 \dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi
 188 \end{pmatrix}
 189 \]
 190 Le moment cin\'{e}tique :
 191 \[
 192 \vec{L}=m_0\vec{r}\times \vec{v}=m_0\begin{pmatrix}
 193 r\cos\varphi\\
 194 r\sin\varphi\\
 195 0
 196 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
 197 \dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\
 198 \dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi\\
 199 0
 200 \end{pmatrix}=m_0\begin{pmatrix}
 201 0\\
 202 0\\
 203 r^2 \dot{\varphi}
 204 \end{pmatrix}
 205 \]
 206 Conservation du moment cin\'{e}tique demande que
 207 \[
 208 \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{0}
 209 \]
 210 autrement dit :
 211 \[
 212 r^2\dot{\varphi}=\text{cste}\quad \Rightarrow\quad \dot{\varphi}=\frac{1}{r^2}\cdot \text{cste}
 213 \]
 214 La transformation $\varphi=\arctan\frac{y}{x}$ se d\'{e}rive par rapport au temps :
 215 \[
 216 \dot{\varphi}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\varphi=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\arctan\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{r^2}(x\dot{y}-\dot{x}y)
 217 \]
 218 On peut d\'{e}duire que $x\dot{y}-\dot{x}y$ est constante pour chaque temps $t$, alors aussi pour le temps $t_0=0$ (les conditions initiales) : $x=x_0,\,y=b,\,\dot{x}=v_0,\,\dot{y}=0$
 219 \[
 220 \frac{1}{r^2}=-\frac{1}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}
 221 \]
 222 Prenons la composante $y$ de la force coulombienne :
 223 \[
 224 F_y=m_0\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t}=\frac{k}{r^2}\sin\varphi=-\frac{k}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi
 225 \]
 226 Int\'{e}grant l'\'{e}quation entre $t_0$ et $t_E$ (presque infini)
 227 \[
 228 m_0\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t} \,\text{d}t=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi\,\text{d}t
 229 \]
 230 Substitutions des limites de l'int\'{e}gral :
 231 \[
 232 m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_E)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_E)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi
 233 \]
 234 Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_E)=v_0\sin\vartheta$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_E)=\vartheta$
 235 \[
 236 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_0\sin\vartheta}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^\vartheta
 237 \]
 238 puis
 239 \begin{align*}
 240 m_0v_0\sin\vartheta&=\frac{k}{bv_0}(\cos\vartheta +1)\\
 241 b&=\frac{k}{m_0v_0^2}\frac{\cos\vartheta +1}{\sin\vartheta}=\frac{k}{m_0v_0^2}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 242 \end{align*}
 243 Nommons l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 244 \[
 245 b(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 246 \]
 247 \section{La distance minimale entre le particule $\alpha$ et le noyau d'or}
 248
 249 Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est
 250 \[
 251 L_B=m_0r_Bv_B
 252 \]
 253 Le moment cin\'{e}tique initiale est $L_0=m_0bv_0$. La conservation du moment cin\'{e}tique $L_B=L_0$ donne :
 254 \[
 255 r_B=\frac{v_0}{v_B}b
 256 \]
 257 Prenons encore l'int\'{e}grale de la force coulombienne en direction $y$, mais seulement au point $B$ par le temps $t_B$ :
 258 \[
 259 m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_B)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_B)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi
 260 \]
 261 Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_B)=v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_B)=\frac{\pi+\vartheta}{2}$
 262 \[
 263 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^{\frac{\pi+\vartheta}{2}}
 264 \]
 265 on re\c{c}oit
 266 \[
 267 m_0v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{k}{bv_0}\left[\cos\left(\frac{\pi+\vartheta}{2}\right)+1\right]
 268 \]
 269 Avec la formule trigonom\'{e}trique $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\vartheta}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$ :
 270 \[
 271 v_B=\frac{k}{bm_0v_0}\frac{1-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}
 272 \]
 273 Substituant $r_B=\frac{v_0}{v_B}b$ et avec l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 274 \[
 275 r_\text{min}=r_B(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=b(\vartheta)\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}
 276 \]
 277
 278 \section{Point de retour}
 279
 280 Soit $b=0$, le particule $\alpha$ mouve directement vers le noyau d'or sur l'axe $x$ et \`{a} une distance $r_C$ du noyau d'or (point $C$) sa vitesse devient $v_C=0$. Prenons la conservation de l'\'{e}nergie :
 281 \[
 282 \frac{1}{2}m_0v_0^2=\frac{k}{r_0}+\frac{1}{2}m_0\underbrace{v_C^2}_{=0}
 283 \]
 284 \c{C}a donne
 285 \[
 286 r_C=\frac{2k}{m_0v_0^2}
 287 \]
 288 et avec la notation de l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit :
 289 \[
 290 r_C=\frac{k}{E_0}
 291 \]
 292
 293
 294 \section{L'enveloppe des trajectoires}
 295
 296 \emph{La parabole est la courbe d'\'{e}quidistance entre un point (le foyer $F$) et une droite (la directrice $d$).}
 297 \begin{center}
 298 \begin{pspicture*}(-5,-4)(8,4)
 299 \psaxes[ticks=none,labels=none,yAxis=false]{->}(0,0)(-4,-3.5)(7,3.5)
 300 \psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot]{-200}{200}{1 x cos sub 1 neg exp 2 mul}
 301 \psdot(0,0)
 302 \uput[135](0,0){$F$}
 303 \psdot(-1,0)
 304 \uput[135](-1,0){$C$}
 305 \psline(-2,-3)(-2,3)
 306 \uput[90](-2,3){Directrice $d$}
 307 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](0,0)(0,-3)
 308 \psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-1,0)(-1,-2.5)
 309 \psline{<->}(0,-2.25)(-1,-2.25)
 310 \uput[90](-0.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
 311 \psline{<->}(-2,-2.25)(-1,-2.25)
 312 \uput[90](-1.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
 313 \psline{<->}(0,-2.75)(-2,-2.75)
 314 \uput[-90](-1,-2.75){$p$}
 315 \psline[linecolor=red](0,0)(1,2.8)(-2,2.8)
 316 \rput(0.8,1.3){\textcolor{red}{$x$}}
 317 \uput[-90](-0.7,2.8){\textcolor{red}{$x$}}
 318 \psdot[linecolor=red](1,2.8)
 319 \uput[135](1,2.8){\textcolor{red}{$M$}}
 320 %\psgrid
 321 \end{pspicture*}
 322 \end{center}
 323 Une parabole en nommation polaire :
 324 \[
 325 r(\varphi)=\frac{p}{1-\cos\varphi}
 326 \]
 327 Le param\`{e}tre $p$ est la distance du foyer $F$ de la parabole \`{a} la directrice $d$.
 328
 329 L'enveloppe des trajectoires hyperboles est une parabole avec $p=2r_C$ :
 330 \[
 331 r(\varphi)=\frac{2r_C}{1-\cos\varphi}
 332 \]
 333
 334
 335 \newpage
 336
 337 \section{Les trajectoires des particules $\alpha$}
 338
 339 Les param\`{e}tres suivants de l'exp\'{e}rience originale sont :
 340 \begin{align*}
 341 m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
 342 e_0&=1,6\cdot10^{-19}\,\text{C}\\
 343 \varepsilon_0&=8,85\cdot10^{-12}\,\frac{\text{A\,s}}{\text{kg\,m}^3}\\
 344 Z_1&=2\\
 345 Z_2&=79\\
 346 v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 347 \end{align*}
 348
 349 \begin{center}
 350 \begin{pspicture*}(-6,-9)(6,9)
 351 %\psset{unit=2}%
 352 \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-9)(6,9)
 353 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
 354 \uput[0](5,0){$x$}
 355 \uput[90](0,8){$y$}
 356 \rput(3,0.3){Zone d'ombre}
 357 %\uput[135](-0.6,0){$C$}
 358 \multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
 359 \pstVerb{%
 360     /Pi 3.1415 def
 361 %    /m0 6.64e-27 def
 362     /m0 0.25 def
 363     /Z1 2 def
 364     /Z2 79 def
 365     /e0 1.6e-19 def
 366     /epsil 8.85e-12 def
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