lorenz/Lorenz-PSTricks.tex

   1 \documentclass{article}
   2 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
   3 \usepackage[T1]{fontenc}
   4 \usepackage[latin1]{inputenc}%
   5 \usepackage[garamond]{mathdesign}
   6 \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
   7 \usepackage{pst-node,pst-eqdf}
   8 \usepackage{amsmath}
   9 \usepackage{url}
  10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  11 % Essai de Manuel Luque 19 février 2003
  12 % transformé par Denis Girou le 25 février 2003
  13 % révision le 14 septembre 2011
  14 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  15 \makeatletter
  16 \pst@addfams{pst-plothsb}
  17
  18 \define@key[psset]{pst-plothsb}{HueBegin}{% Between 0 and 1
  19 \edef\PstParametricplotHSB@HueBegin{#1}}
  20
  21 \define@key[psset]{pst-plothsb}{HueEnd}{% Between 0 and 1
  22 \edef\PstParametricplotHSB@HueEnd{#1}}
  23
  24 \newif\ifPst@HSB
  25 \define@key[psset]{pst-plothsb}{HSB}[true]{\@nameuse{Pst@HSB#1}}
  26
  27 % Default values
  28 \psset{HueBegin=0,HueEnd=1,HSB=true}
  29
  30 \def\parametricplotHSB{\pst@object{parametricplotHSB}}
  31 \def\parametricplotHSB@i{\@ifnextchar[{\parametricplotHSB@do}{\parametricplotHSB@do[]}}
  32 \def\parametricplotHSB@do[#1]#2#3#4{{%
  33 \psset{#1}%
  34 \begin@ClosedObj
  35 \addto@pscode{%
  36 /t  #2 def
  37 /dt #3 t sub \psk@plotpoints\space div def
  38 /t t dt sub def
  39 /Counter 0 def
  40 \psk@plotpoints {
  41   /t t dt add def
  42   /Counter Counter 1 add def
  43 /F@pstplot \ifPst@algebraic (#4)
  44                     tx@AlgToPs begin AlgToPs end cvx
  45                  \else { #4 }
  46           \fi
  47    def
  48 \ifPst@algebraic
  49    F@pstplot
  50     \else  #4
  51 \fi
  52   \pst@number\psyunit mul exch
  53   \pst@number\psxunit mul exch
  54   1 Counter eq
  55     {moveto}                    % First point
  56     {\ifPst@HSB                 % Other points than the first one
  57        /PointY exch def
  58        /PointX exch def
  59        Counter \psk@plotpoints\space div
  60            \PstParametricplotHSB@HueEnd\space
  61              \PstParametricplotHSB@HueBegin\space sub mul
  62            \PstParametricplotHSB@HueBegin\space add
  63          1 1 sethsbcolor
  64        PointX PointY lineto
  65        stroke
  66        PointX PointY moveto
  67      \else
  68        lineto
  69      \fi} ifelse
  70     } repeat}% fin du code ps
  71 \end@ClosedObj}} % fin de la commande PSTricks
  72
  73 \makeatother
  74
  75 \makeatletter
  76 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  77 % adaptation de \parametricplotHSB
  78 % à \lisplotHSB
  79 % le 10 juin 2012
  80 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  81 \def\listplotHSB{\pst@object{listplotHSB}}
  82 \def\listplotHSB@i#1{%
  83 \begin@ClosedObj
  84   \addto@pscode{%
  85   /Counter 0 def
  86      /XY [ #1 ] def
  87      XY 0 get
  88      XY 1 get
  89   \pst@number\psyunit mul exch
  90   \pst@number\psxunit mul exch
  91        moveto
  92      /L XY length def
  93      2 2 L 2 sub {/i exch def
  94    /x1  XY i get \pst@number\psxunit mul def
  95    /y1  XY i 1 add get \pst@number\psyunit mul def
  96     x1 y1
  97     \ifPst@HSB
  98     Counter L 2 div div
  99     \PstParametricplotHSB@HueEnd\space
 100     \PstParametricplotHSB@HueBegin\space sub mul
 101     \PstParametricplotHSB@HueBegin\space add
 102     1 1 sethsbcolor
 103     /Counter Counter 1 add def
 104     \fi
 105      lineto
 106      stroke
 107   x1 y1 moveto
 108   } for
 109   }%
 110 \end@ClosedObj}
 111 \makeatother
 112 \def\formules{%
 113     /xObservateur abscisse Sin1 mul neg ordonnee Cos1 mul add def
 114     /yObservateur abscisse Cos1Sin2 mul neg ordonnee Sin1Sin2 mul sub cote Cos2 mul add def
 115     /zObservateur abscisse neg Cos1Cos2 mul ordonnee Sin1Cos2 mul sub cote Sin2 mul sub Dobs add def
 116     /xScreen DScreen xObservateur mul zObservateur div def
 117     /yScreen DScreen yObservateur mul zObservateur div def
 118   xScreen yScreen}
 119
 120 \makeatletter
 121 \pst@addfams{pst-pnodeTroisD}
 122
 123 \define@key[psset]{pst-pnodeTroisD}{THETA}{\edef\psk@TroisD@Theta{#1 }}
 124 \define@key[psset]{pst-pnodeTroisD}{PHI}{\edef\psk@TroisD@Phi{#1 }}
 125 \define@key[psset]{pst-pnodeTroisD}{Dobs}{\edef\psk@TroisD@Dobs{#1 }}
 126 \define@key[psset]{pst-pnodeTroisD}{Decran}{\edef\psk@TroisD@Ecran{#1 }}
 127 \psset{THETA=300,PHI=20,Dobs=200,Decran=25}
 128 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 129 \def\pnodeTroisD{\@ifnextchar[{\pst@pnodeTroisD}{\pst@pnodeTroisD[]}}
 130
 131 \def\pst@pnodeTroisD[#1](#2,#3,#4)#5{{%
 132 \pst@killglue
 133 \psset{#1}%
 134 \pnode(!
 135  /THETA \psk@TroisD@Theta\space def
 136  /PHI \psk@TroisD@Phi\space def
 137  /Dobs \psk@TroisD@Dobs\space def
 138  /DScreen \psk@TroisD@Ecran\space def
 139  /Sin1 THETA sin def
 140  /Sin2 PHI sin def
 141  /Cos1 THETA cos def
 142  /Cos2 PHI cos def
 143  /Cos1Sin2 Cos1 Sin2 mul def
 144  /Sin1Sin2 Sin1 Sin2 mul def
 145  /Cos1Cos2 Cos1 Cos2 mul def
 146  /Sin1Cos2 Sin1 Cos2 mul def
 147  /xObservateur #2 Sin1 mul neg #3 Cos1 mul add def
 148  /yObservateur #2 Cos1Sin2 mul neg #3 Sin1Sin2 mul sub #4 Cos2 mul add def
 149  /zObservateur #2 neg Cos1Cos2 mul #3 Sin1Cos2 mul sub #4 Sin2 mul sub Dobs add def
 150  /xScreen DScreen xObservateur mul zObservateur div def
 151  /yScreen DScreen yObservateur mul zObservateur div def
 152   xScreen yScreen){#5}}}
 153 \makeatother
 154 \title{L'attracteur de Lorenz avec PSTricks}
 155 \date{12 juin 2012}
 156 \begin{document}
 157 \maketitle
 158 \section{Présentation}
 159 Ceci n'est pas un cours sur l'attracteur de Lorenz, il existe sur internet un grand nombre de sites qui lui sont consacrés très complets et d'une grande qualité pédagogique. Il s'agit, plus simplement, de montrer que l'utilisation de PSTricks permet d'illustrer ce modèle très convenablement.
 160
 161 Pour résoudre numériquement le système de Lorenz :
 162 \[
 163 \left\{
 164 \begin{array}{rcl}
 165 \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=&\sigma(x-y)\\
 166 \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=&rx-y-z\\
 167 \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}&=&xy-\beta z
 168 \end{array}
 169 \right.
 170 \]
 171 j'utilise une version très simplifiée de la macro \verb+\psplotDiffEqn+ de Dominique Rodriguez qui est incluse dans le package \verb+pstricks-add+, mais qui était, à l'origine, un package `\verb+pst-eqdf+' à elle seule. Dominique m'a donné la permission de modifier sa macro afin de pouvoir sauvegarder dans un tableau \verb+postscript+, et/ou dans un fichier, toutes les valeurs nécessaires au dessin des figures et en particulier à la représentation en 3D du \textit{papillon }de Lorenz. Cette macro simplifiée, qui utilise la méthode Runge-Kutta~4 est incluse dans un tout petit package dont j'ai gardé le même nom \verb+pst-eqdf+, mais la macro a changé de nom \verb+\psequadiff+ car elle ne trace plus les fonctions directement.
 172
 173 Pour les couleurs, j'utilise une macro \verb+\listplotHSB+ qui est un complément à celle-ci : \verb+\parametricplotHSB+\footnote{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/courbes-arc-en-ciel/}}, que nous avions mise au point avec Denis Girou.
 174
 175 \section{Les étapes de la construction des figures}
 176 \subsection{Équations, paramètres et conditions initiales}
 177 Il faut d'abord définir les équations en notation algébrique pour la macro \verb+\psequadiff+ :
 178 \begin{verbatim}
 179 % y[0] y[1] y[2]
 180 % x    y    z
 181 \def\Lorenz{
 182 Pr*(y[1]-y[0])|%
 183 Rh*y[0]-y[1]-y[0]*y[2]|%
 184 y[0]*y[1]-b*y[2]%
 185 }
 186 \end{verbatim}
 187 ainsi que les paramètres :
 188 \begin{verbatim}
 189 \def\parametres{
 190     /Pr 10 def
 191     /Rh 28 def
 192     /b 8 3 div def
 193 }%
 194 \end{verbatim}
 195 puis les conditions initiales :
 196 \begin{verbatim}
 197                          x0 y0 z0
 198 \def\conditionsInitiales{10 10 30}
 199 \end{verbatim}
 200 Ce sont ces deux dernières définitions qu'il faudra modifier si on veut changer les conditions initiales et les paramètres.
 201 \subsection{L'utilisation de la commande \textbackslash{}psequadiff}
 202 \begin{verbatim}
 203 \pstVerb{\parametres}%
 204   \psequadiff[% x,y
 205   tabname=tabXY,
 206   method=rk4,
 207   whichabs=0,whichord=1,
 208   saveData,filename=LorenzXY.dat,
 209   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 210 \end{verbatim}
 211 Dans cet exemple, l'intervalle de temps choisi est de 0 à 25 s. Les grandeurs prises sur la pile sont $(x,y)$. Le nombre de points calculés vaut 2501.
 212 Les valeurs, sur cet intervalle de temps, sont stockées dans le tableau \verb+postscript+ :  \textsf{[\textbf{tabname}=tabXY]} avec \textsf{tabXY} qui est le nom que l'on choisit soi-même.
 213
 214 Pour ne pas refaire le calcul, on peut choisir d'enregistrer la liste de valeurs du couple $(x,y)$, en positionnant le booléen \textsf{[saveData]} à true, on choisit un nom pour le fichier avec : \textsf{[\textbf{filename}=LorenzXY.dat]}. Par défaut, aucun fichier n'est enregistré.
 215 \begin{verbatim}
 216  saveData,filename=LorenzXY.dat,
 217 \end{verbatim}
 218 Pour utiliser ce fichier, il suffit de faire :
 219 \begin{verbatim}
 220     \pstVerb{/XY {(LorenzXY.dat) run } def}%
 221     \listplotHSB{XY}
 222 \end{verbatim}
 223 Vous pouvez utiliser la commande \textbf{\textsf{lisplot}} du package \textsf{pst-plot} qui offre davantage d'options que \textsf{\textbf{listplotHSB}}.
 224 \subsection{Le tracé de la courbe}
 225 \begin{verbatim}
 226 \listplotHSB[unit=0.25]{tabXY aload pop}%
 227 \end{verbatim}
 228 \verb+\listplotHSB+ permet de faire varier la couleur tout au long du tracé. Par défaut le paramètre \textsf{hue} de la définition d'une couleur dans le système \textsf{hsb} varie de 0 à 1. On peut fixer la plage de valeurs avec les 2 options suivantes :
 229 \begin{itemize}
 230   \item \textsf{\textbf{HueBegin}} avec une valeur comprise entre 0 et 1.
 231   \item \textsf{\textbf{HueEnd}} avec une valeur comprise entre 0 et 1.
 232 \end{itemize}
 233 Pour avoir une couleur uniforme tout au long du tracé, il faut désactiver l'option \textsf{[\textbf{HSB}=false]} ainsi le tracé prendra la couleur que vous avez choisie avec l'option habituelle \textsf{linecolor}.
 234 \section{Le tracé des courbes}
 235 \subsection{Le tracé de XY}
 236 % y[0] y[1] y[2]
 237  % x    y     z
 238 \def\Lorenz{
 239 Pr*(y[1]-y[0])|%
 240 Rh*y[0]-y[1]-y[0]*y[2]|%
 241 y[0]*y[1]-beta*y[2]%
 242 }
 243 \def\conditionsInitiales{10 10 30}
 244 \def\parametres{
 245     /Pr 10 def
 246     /Rh 28 def
 247     /beta 8 3 div def
 248 }%
 249 \begin{center}
 250 \begin{pspicture}(-8,-6)(8,8)
 251 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 252 \pstVerb{\parametres}%
 253   \psequadiff[% x,y
 254   tabname=tabXY,
 255   method=rk4,
 256   whichabs=0,whichord=1,
 257   saveData,filename=LorenzXY.dat,
 258   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 259 \listplotHSB[unit=0.25]{tabXY aload pop}%
 260 \uput[r](8,0){$x$}
 261 \uput[u](0,8){$y$}
 262 \end{pspicture}
 263 \end{center}
 264 \begin{verbatim}
 265 \begin{pspicture}(-8,-6)(8,8)
 266 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 267 \pstVerb{\parametres}%
 268   \psequadiff[% x,y
 269   tabname=tabXY,
 270   method=rk4,
 271   whichabs=0,whichord=1,
 272   saveData,filename=LorenzXY.dat,
 273   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 274 \listplotHSB[unit=0.25]{tabXY aload pop}%
 275 \uput[r](8,0){$x$}
 276 \uput[u](0,8){$y$}
 277 \end{pspicture}
 278 \end{verbatim}
 279 \subsection{Le tracé de X(t)}
 280 \begin{center}
 281 \begin{pspicture}(0,-5)(13,5.5)
 282 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](0,-5)(13,5)%
 283 \pstVerb{\parametres}%
 284   \psequadiff[% t,x
 285   tabname=tabtX,
 286   method=rk4,
 287   whichord=0,
 288   saveData,filename=LorenztX.dat,
 289   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 290 \listplotHSB[yunit=0.2,xunit=0.5,HSB=false]{tabtX aload pop}%
 291 \uput[r](13,0){$t$}
 292 \uput[u](0,5){$x$}
 293 \psline{<->}(13,0)(0,0)(0,5)
 294 \end{pspicture}
 295 \end{center}
 296 \begin{verbatim}
 297 \begin{pspicture}(0,-5)(13,5)
 298 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 299 \pstVerb{\parametres}%
 300   \psequadiff[% t,x
 301   tabname=tabtX,
 302   method=rk4,
 303   whichord=0,
 304   saveData,filename=LorenztX.dat,
 305   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 306 \listplotHSB[yunit=0.2,xunit=0.5,HSB=false]{tabtX aload pop}%
 307 \uput[r](12.5,0){$t$}
 308 \uput[u](0,5){$x$}
 309 \end{pspicture}
 310 \end{verbatim}
 311 \subsection{Le tracé de XZ}
 312 \begin{center}
 313 \begin{pspicture}(-8,0)(8,12)
 314 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 315 \pstVerb{\parametres}%
 316   \psequadiff[% x,z
 317   tabname=tabXZ,
 318   method=rk4,
 319   whichabs=0,
 320   whichord=2,
 321   saveData,filename=LorenzXZ.dat,
 322   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 323 \listplotHSB[linecolor=green,unit=0.25,HueBegin=.25,HueEnd=0.65]{tabXZ aload pop}%
 324 \uput[r](8,0){$x$}
 325 \uput[u](0,12){$z$}
 326 \end{pspicture}
 327 \end{center}
 328 \begin{verbatim}
 329 \begin{pspicture}(-8,0)(8,12)
 330 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 331 \pstVerb{\parametres}%
 332   \psequadiff[% x,z
 333   tabname=tabXZ,
 334   method=rk4,
 335   whichabs=0,
 336   whichord=2,
 337   saveData,filename=LorenzXZ.dat,
 338   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 339 \listplotHSB[linecolor=green,unit=0.25,HueBegin=.25,HueEnd=0.65]{tabXZ aload pop}%
 340 \uput[r](8,0){$x$}
 341 \uput[u](0,12){$z$}
 342 \end{pspicture}
 343 \end{verbatim}
 344 \subsection{Le tracé de YZ}
 345 \begin{center}
 346 \begin{pspicture}(-8,0)(8,12)
 347 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 348 \pstVerb{\parametres}%
 349   \psequadiff[% y,z
 350   tabname=tabYZ,
 351   method=rk4,
 352   whichabs=1,
 353   whichord=2,
 354   saveData,filename=LorenzYZ.dat,
 355   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 356 \listplotHSB[linecolor=magenta,unit=0.25,HueBegin=0.65,HueEnd=1]{tabYZ aload pop}%
 357 \uput[r](8,0){$y$}
 358 \uput[u](0,12){$z$}
 359 \end{pspicture}
 360 \end{center}
 361 \begin{verbatim}
 362 \begin{pspicture}(-8,0)(8,12)
 363 \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%
 364 \pstVerb{\parametres}%
 365   \psequadiff[% y,z
 366   tabname=tabYZ,
 367   method=rk4,
 368   whichabs=1,
 369   whichord=2,
 370   saveData,filename=LorenzYZ.dat,
 371   plotpoints=2501,algebraic]{0}{25}{\conditionsInitiales}{\Lorenz}
 372 \listplotHSB[linecolor=magenta,unit=0.25,HueBegin=0.65,HueEnd=1]{tabYZ aload pop}%
 373 \uput[r](8,0){$y$}
 374 \uput[u](0,12){$z$}
 375 \end{pspicture}
 376 \end{verbatim}
 377 \subsection{Le tracé du papillon de Lorenz en 3D}
 378 Le tracé en 3D est l'étape la plus délicate, puisqu'il faut réunir les fichiers $(x,y)$, $(x,z)$ et $(y,z)$ en un seul fichier $(x,y,z)$. Ce qu'on réalise ainsi :
 379 \begin{verbatim}
 380 \pstVerb{/XY [(LorenzXY.dat) run ] def
 381          /XZ [(LorenzXZ.dat) run ] def
 382          /YZ [(LorenzYZ.dat) run ] def
 383 /tabXYZ [
 384     0 2 XY length 2 sub {/i exch def
 385     [ XY i get
 386       XY i 1 add get
 387       YZ i 1 add get
 388     ]
 389     } for
 390    ]def
 391 /fichierpoints (XYZLorenz.dat) (w) file def
 392 0 1 tabXYZ length 1 sub  {/i exch def
 393     tabXYZ i get aload pop
 394     /zi exch def
 395     /yi exch def
 396     /xi exch def
 397       fichierpoints xi 15 string cvs writestring
 398       fichierpoints 32 write %% espace
 399       fichierpoints yi 15 string cvs writestring
 400       fichierpoints 32 write %% espace
 401       fichierpoints zi 15 string cvs writestring
 402       fichierpoints 10 write %% CR
 403 } for
 404 fichierpoints closefile
 405 \end{verbatim}
 406 Les dernières lignes permettent d'enregistrer, si on le souhaite, le fichier de points.
 407 \begin{center}
 408 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,12)
 409 \psset{THETA=-70,PHI=20,Dobs=2000,Decran=400}
 410 \pstVerb{/XY [(LorenzXY.dat) run ] def
 411          /XZ [(LorenzXZ.dat) run ] def
 412          /YZ [(LorenzYZ.dat) run ] def
 413 /tabXYZ [
 414     0 2 XY length 2 sub {/i exch def
 415     [ XY i get
 416       XY i 1 add get
 417       YZ i 1 add get
 418     ]
 419     } for
 420    ]def
 421 /fichierpoints (XYZLorenz.dat) (w) file def
 422 0 1 tabXYZ length 1 sub  {/i exch def
 423     tabXYZ i get aload pop
 424     /zi exch def
 425     /yi exch def
 426     /xi exch def
 427       fichierpoints xi 15 string cvs writestring
 428       fichierpoints 32 write %% espace
 429       fichierpoints yi 15 string cvs writestring
 430       fichierpoints 32 write %% espace
 431       fichierpoints zi 15 string cvs writestring
 432       fichierpoints 10 write %% CR
 433 } for
 434 fichierpoints closefile
 435 }%
 436 \makeatletter
 437 \pstVerb{
 438  /THETA \psk@TroisD@Theta def
 439  /PHI \psk@TroisD@Phi def
 440  /Dobs \psk@TroisD@Dobs def
 441  /DScreen \psk@TroisD@Ecran def
 442  /Sin1 THETA sin def
 443  /Sin2 PHI sin def
 444  /Cos1 THETA cos def
 445  /Cos2 PHI cos def
 446  /Cos1Sin2 Cos1 Sin2 mul def
 447  /Sin1Sin2 Sin1 Sin2 mul def
 448  /Cos1Cos2 Cos1 Cos2 mul def
 449  /Sin1Cos2 Sin1 Cos2 mul def
 450  /IIID {
 451  0 1 tabXYZ length 1 sub {/i exch def
 452  /TAB tabXYZ i get def
 453  /abscisse TAB 0 get def
 454  /ordonnee TAB 1 get def
 455  /cote TAB 2 get def
 456  \formules} for
 457  } def
 458  }%
 459  \makeatother
 460 \listplotHSB[unit=1]{IIID}
 461 \psset{unit=2.5,linestyle=dashed}
 462 \pnodeTroisD(0,0,0){O}
 463 \pnodeTroisD(0,0,5){Z}
 464 \pnodeTroisD(5,0,0){X}
 465 \pnodeTroisD(0,5,0){Y}
 466 \pnodeTroisD(-10,-10,0){A}
 467 \pnodeTroisD(-10,-10,20){B}
 468 \pnodeTroisD(-10,10,20){C}
 469 \pnodeTroisD(-10,10,0){D}
 470 \pnodeTroisD(10,-10,0){E}
 471 \pnodeTroisD(10,-10,20){F}
 472 \pnodeTroisD(10,10,20){G}
 473 \pnodeTroisD(10,10,0){H}
 474 \pspolygon(A)(B)(C)(D)
 475 \pspolygon(E)(F)(G)(H)
 476 \psline(A)(E)
 477 \psline(B)(F)
 478 \psline(D)(H)
 479 \psline(C)(G)
 480 \psset{linestyle=solid,linecolor=red}
 481 \psline{->}(O)(X)
 482 \psline{->}(O)(Y)
 483 \psline{->}(O)(Z)
 484 \end{pspicture}
 485 \end{center}
 486 \newpage
 487 Le tracé s'effectue grâce à la commande \verb+\pnodeTroisD+ et ses diverses options.
 488 \begin{verbatim}
 489 \makeatletter
 490 \pstVerb{
 491  /THETA \psk@TroisD@Theta def
 492  /PHI \psk@TroisD@Phi def
 493  /Dobs \psk@TroisD@Dobs def
 494  /DScreen \psk@TroisD@Ecran def
 495  /Sin1 THETA sin def
 496  /Sin2 PHI sin def
 497  /Cos1 THETA cos def
 498  /Cos2 PHI cos def
 499  /Cos1Sin2 Cos1 Sin2 mul def
 500  /Sin1Sin2 Sin1 Sin2 mul def
 501  /Cos1Cos2 Cos1 Cos2 mul def
 502  /Sin1Cos2 Sin1 Cos2 mul def
 503  /IIID {
 504  0 1 tabXYZ length 1 sub {/i exch def
 505  /TAB tabXYZ i get def
 506  /abscisse TAB 0 get def
 507  /ordonnee TAB 1 get def
 508  /cote TAB 2 get def
 509  \formules} for
 510  } def
 511  }%
 512  \makeatother
 513 \listplotHSB[unit=1]{IIID}
 514 \psset{unit=2.5,linestyle=dashed}
 515 \pnodeTroisD(0,0,0){O}
 516 \pnodeTroisD(0,0,5){Z}
 517 \pnodeTroisD(5,0,0){X}
 518 \pnodeTroisD(0,5,0){Y}
 519 \pnodeTroisD(-10,-10,0){A}
 520 \pnodeTroisD(-10,-10,20){B}
 521 \pnodeTroisD(-10,10,20){C}
 522 \pnodeTroisD(-10,10,0){D}
 523 \pnodeTroisD(10,-10,0){E}
 524 \pnodeTroisD(10,-10,20){F}
 525 \pnodeTroisD(10,10,20){G}
 526 \pnodeTroisD(10,10,0){H}
 527 \pspolygon(A)(B)(C)(D)
 528 \pspolygon(E)(F)(G)(H)
 529 \psline(A)(E)
 530 \psline(B)(F)
 531 \psline(D)(H)
 532 \psline(C)(G)
 533 \psset{linestyle=solid,linecolor=red}
 534 \psline{->}(O)(X)
 535 \psline{->}(O)(Y)
 536 \psline{->}(O)(Z)
 537 \end{verbatim}
 538 \section{Animations avec le package animate}
 539 En préparation.
 540 \end{document}
 541