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[pst-eqdf.git] / gravitation / potentiel_coulombien_distiller.tex

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index 541a5b7..c9121b7 100644 (file)
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+++ b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex
@@ -1,9 +1,14 @@
 \documentclass[fleqn]{article}
 \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
 \usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[]{kpfonts}%  f\"{u}r Mathezeichen
+\usepackage{libertine}% f\"{u}r rm und sf
 \usepackage[distiller]{pstricks}
+\usepackage{pst-slpe}
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+\usepackage{url}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
@@ -11,9 +16,38 @@
 \begin{document}
 
 \section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau d'or}
+
 \subsection{L'exp\'{e}rience d'Ernest Rutherford en 1909}
 
 Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) une mince feuille d'or.
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
+\def\Kernradius{7.5pt}
+\def\KernabstandHe{7.5pt}
+\def\ColorProton{red}
+\def\ColorNeutron{gray!20}
+
+\newpsstyle{proton}{linecolor={[rgb]{0.72 0 0}},slopebegin=red!50,sloperadius=0.15,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid}
+\newpsstyle{neutron}{linecolor=gray!50,slopebegin=white,sloperadius=0.11,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid}
+
+\def\Proton{\psBall[style=proton](0,0){\ColorProton}{\Kernradius}}
+\def\Neutron{\psBall[style=neutron](0,0){\ColorNeutron}{\Kernradius}}
+
+\def\AtomKernHe{%
+\multido{\iAngle=40+180}{2}{%
+\rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Proton}%
+}%
+\multido{\iAngle=130+180}{2}{%
+\rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Neutron}%
+}%
+}%
+\rput(0,0){\AtomKernHe}
+\rput(1.5,0){$^{4}_{2}$He$^{2+}$}
+\end{pspicture}
+\end{center}
+
+\subsection{Montage exp\'{e}rimental}
+
 \begin{center}
 \begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)
 \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20}
@@ -46,6 +80,21 @@ Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutron
 \end{pspicture}
 \end{center}
 
+
+\textbf{Observation :}
+
+L'exp\'{e}rience est r\'{e}alis\'{e}e sous vide. De la mati\`{e}re radioactive \'{e}mettant des particules $\alpha$ (noyaux d'h\'{e}lium, He$^{2+}$) est plac\'{e}e dans une bo\^{\i}te et le faisceau de particule $\alpha$ est orient\'{e} en direction d'une fine feuille d'or (6000~{\AA}). Derri\`{e}re cette couche d'or, un \'{e}cran est plac\'{e} ; il est enrichi d'une substance chimique (sulfure de zinc: ZnS) permettant de visualiser, par un scintillement lumineux, la collision par les particules $\alpha$.
+
+Plusieurs minutes apr\`{e}s la disposition du mat\'{e}riel, diff\'{e}rents points lumineux apparaissent sur l'\'{e}cran et ces points ne sont pas dans l'orientation du faisceau, mais \'{e}tal\'{e}s sur de grands angles.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}}
+
+\textbf{Interpretation :}
+
+La majorit\'{e} des particules $\alpha$ traversent la feuille d'or, sans \^{e}tre d\'{e}vi\'{e}es mais une partie de ces particules, de l'ordre de 0,01~\%, a \'{e}t\'{e} d\'{e}vi\'{e}e. De cette exp\'{e}rience, nous pouvons d\'{e}duire que la mati\`{e}re est une structure lacunaire. Elle est constitu\'{e}e essentiellement de vide c'est pour cela que la plupart des particules ne sont pas d\'{e}vi\'{e}es. Il existe de m\^{e}me des \^{\i}lots de charge positive qui repoussent les particules $\alpha$. L'ordre de grandeur de ces \^{\i}lots est tr\`{e}s petit par rapport \`{a} l'atome (de l'ordre de 100 000 fois plus petit).
+
+En fait, Rutherford a observ\'{e} la diffusion in\'{e}lastique en pensant que c'\'{e}tait la diffusion \'{e}lastique. Le taux de diffusion \'{e}lastique est supprim\'{e} par un facteur de forme qui prend en compte le mouvement du noyau comme un nuage positif (ou bien \emph{p\^{a}te}). En plus, la transmission de l'\'{e}nergie aux \emph{noyaux} li\'{e}s excite les atomes (diffusion in\'{e}lastique). Seulement la somme de tous les diff\'{e}rents \'{e}v\'{e}nements (avec participation des voisins donc) cr\'{e}e l'image d'un noyau ponctuel.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}}
+
+
+
 \def\eqRuth{%
 y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
 
@@ -154,7 +203,7 @@ r\sin\varphi\\
 r^2 \dot{\varphi}
 \end{pmatrix}
 \]
-Conservation du moment cin\'{e}tique demande que 
+Conservation du moment cin\'{e}tique demande que
 \[
 \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{0}
 \]
@@ -197,7 +246,7 @@ b(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 \]
 \section{La distance minimale entre le particule $\alpha$ et le noyau d'or}
 
-Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est  
+Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est
 \[
 L_B=m_0r_Bv_B
 \]
@@ -213,7 +262,7 @@ Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_B)=v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$, $\varphi(
 \[
 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^{\frac{\pi+\vartheta}{2}}
 \]
-on re\c{c}oit 
+on re\c{c}oit
 \[
 m_0v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{k}{bv_0}\left[\cos\left(\frac{\pi+\vartheta}{2}\right)+1\right]
 \]
@@ -232,7 +281,7 @@ Soit $b=0$, le particule $\alpha$ mouve directement vers le noyau d'or sur l'axe
 \[
 \frac{1}{2}m_0v_0^2=\frac{k}{r_0}+\frac{1}{2}m_0\underbrace{v_C^2}_{=0}
 \]
-\c{C}a donne 
+\c{C}a donne
 \[
 r_C=\frac{2k}{m_0v_0^2}
 \]
@@ -240,8 +289,53 @@ et avec la notation de l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{
 \[
 r_C=\frac{k}{E_0}
 \]
+
+
+\section{L'enveloppe des trajectoires}
+
+\emph{La parabole est la courbe d'\'{e}quidistance entre un point (le foyer $F$) et une droite (la directrice $d$).}
+\begin{center}
+\begin{pspicture*}(-5,-4)(8,4)
+\psaxes[ticks=none,labels=none,yAxis=false]{->}(0,0)(-4,-3.5)(7,3.5)
+\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot]{-200}{200}{1 x cos sub 1 neg exp 2 mul}
+\psdot(0,0)
+\uput[135](0,0){$F$}
+\psdot(-1,0)
+\uput[135](-1,0){$C$}
+\psline(-2,-3)(-2,3)
+\uput[90](-2,3){Directrice $d$}
+\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](0,0)(0,-3)
+\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-1,0)(-1,-2.5)
+\psline{<->}(0,-2.25)(-1,-2.25)
+\uput[90](-0.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
+\psline{<->}(-2,-2.25)(-1,-2.25)
+\uput[90](-1.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
+\psline{<->}(0,-2.75)(-2,-2.75)
+\uput[-90](-1,-2.75){$p$}
+\psline[linecolor=red](0,0)(1,2.8)(-2,2.8)
+\rput(0.8,1.3){\textcolor{red}{$x$}}
+\uput[-90](-0.7,2.8){\textcolor{red}{$x$}}
+\psdot[linecolor=red](1,2.8)
+\uput[135](1,2.8){\textcolor{red}{$M$}}
+%\psgrid
+\end{pspicture*}
+\end{center}
+Une parabole en nommation polaire :
+\[
+r(\varphi)=\frac{p}{1-\cos\varphi}
+\]
+Le param\`{e}tre $p$ est la distance du foyer $F$ de la parabole \`{a} la directrice $d$.
+
+L'enveloppe des trajectoires hyperboles est une parabole avec $p=2r_C$ :
+\[
+r(\varphi)=\frac{2r_C}{1-\cos\varphi}
+\]
+
+
 \newpage
+
 \section{Les trajectoires des particules $\alpha$}
+
 Les param\`{e}tres suivants de l'exp\'{e}rience originale sont :
 \begin{align*}
 m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
@@ -259,28 +353,29 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
 \uput[0](5,0){$x$}
 \uput[90](0,8){$y$}
-\rput(3,1){Zone d'ombre}
-\uput[135](-0.6,0){$C$}
+\rput(3,0.3){Zone d'ombre}
+%\uput[135](-0.6,0){$C$}
 \multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
 \pstVerb{%
     /Pi 3.1415 def
-    /m0 6.64e-27 def
+%    /m0 6.64e-27 def
+    /m0 0.25 def
     /Z1 2 def
     /Z2 79 def
     /e0 1.6e-19 def
     /epsil 8.85e-12 def
     /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def
-    /COU 7.5 def
-    /x0 6 neg def
+    /COU 5 m0 div def
+    /x0 200 neg def
     /y0 \rA\space def
 %   /v0x 2.1e7 def
-    /v0x 5 def
+    /v0x 8 def
     /v0y 0 def
     /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div neg def
     /facteur v0x dup mul COU div 4 div def
 }%
 \psequadiff[method=rk4,
-            plotpoints=1000,
+            plotpoints=2000,
             algebraic,
             whichabs=0,
             whichord=1,
@@ -289,11 +384,8 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}%
 \listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop}
 }
-\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30,linewidth=0pt,opacity=0.5]{%
-\psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{r1}{6}{x r1 sub sqrt 1.45 mul}
-\psline(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul)(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul neg)
-\psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{6}{r1}{x r1 sub sqrt 1.45 mul neg}
-}
+\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot,fillstyle=solid,fillcolor=blue!40,opacity=0.25]{200}{-200}{1 x cos sub 1 neg exp facteur div}
+
 \pscircle*[linecolor=yellow](0,0){0.3}
 \psdot(!r1 0)
 \end{pspicture*}