\documentclass{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage[designi,pdftex,french]{web} % dvipsone, dvips or pdftex %\usepackage[pdftex]{graphicx} \usepackage{exerquiz} \usepackage{fourier} \usepackage{../webmacros} \title{Continuité des fonctions numériques} \author{Jean-Michel Sarlat} \subject{Exercices portant sur la continuité des fonctions numériques} \keywords{maths,continuité,exercices} %\university{\includegraphics[scale=.45]{logo.pdf}} \email{jm-sarlat@melusine.eu.org} \version{1.2} \copyrightyears{1999-2007} % % Insert some instruction on cover page % \renewcommand\optionalpagematter{\vfill \begin{center} \fcolorbox{blue}{webyellow}{ \begin{minipage}{.7\linewidth} \noindent\textcolor{red}{\textbf{Sommaire :}} Exercices corrigés portant sur la continuité. \end{minipage}} \end{center} } \parindent0pt \begin{document} \maketitle \tableofcontents \section{Énoncés} \begin{exercise} Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$. Montrer que $f$ admet un point fixe.\\ i.e. $$\exists x\in[0,1], f(x)=x$$ \begin{solution} Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)-x$. $g$ est définie et continue sur $[0,1]$. On a~: $$g(0)=f(0)\ge0\hbox{ et }g(1)=f(1)-1\le 0\hbox{ donc }g(0)g(1)\le 0$$ En application du corollaire du théorème des valeurs intermédiares, la fonction $g$ s'annule entre $0$ et $1$.\\ Or $g(x)=0\iff f(x)=x$, la fonction $f$ admet donc un point fixe entre $0$ et $1$. \end{solution} \end{exercise} \begin{exercise} Soit $f$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$ admettant des limites finies en $+\infty$ et $-\infty$. Montrer que $f$ est bornée. \begin{solution} Deux méthodes : \begin{enumerate} \item Soient $l_{1}$ et $l_{2}$ les limites respectives de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Il existe deux réels $A_{1}$ et $A_{2}$ tels que $$x<A_{1}\Rightarrow \abs{f(x)-l_{1}}<1\hbox{ et } x>A_{2}\Rightarrow \abs{f(x)-l_{2}}<1$$ Ceci prouve que $f$ est bornée sur $]-\infty, A_{1}[$ et $]A_{2},+\infty[$. Par ailleurs elle est bornée sur le segment dont les bornes sont $A_{1}$ et $A_{2}$ ($f$ continue sur $\R$ donc sur ce segment), elle est donc bornée sur la réunion de ces trois intervalles qui est, dans tous les cas de figure, l'ensemble $\R$. \item On considère un \href{../continuite/continuite#homeomorphisme}{homéomorphisme} $\varphi$ de $]0,1[$ sur $\R$, on peut choisir, par exemple, l'application réciproque de $$x\longmapsto \frac12\left(\frac{x}{\abs{x}+1}+1\right)$$ L'application $f\circ\varphi$ est définie et continue sur $]0,1[$, elle admet une limite finie en $0$ et en $1$, elle est donc prolongeable par continuité en $0$ et en $1$. L'application ainsi obtenue est bornée. Puisque $$f(\R)=f\circ\varphi(]0,1[)\hbox{ et }f\circ\varphi(]0,1[) \hbox{ contenu dans un borné}$$ l'ensemble $f(\R)$ est nécessairement borné.\\ Cette démonstration, retracée dans ces grandes lignes, est plus subtile que la précédente et montre l'usage que l'on peut faire des homéomorphismes. On y est confronté à une \emph{réduction} de l'infini au fini intéressante. \end{enumerate} \end{solution} \end{exercise} \begin{exercise} Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que : $$\exists k>0,\quad \forall(x,y)\in\R^2,\quad \abs{f(x)-f(y)}\le k\abs{x-y}$$ Montrer que $f$ est continue sur $\R$. \begin{solution} Soit $a\in\R$, la fonction $x\mapsto f(x)-f(a)$ est dominée par $x\mapsto x-a$ au voisinage de $a$. Cette dernière à pour limite $0$ en $a$, il en est donc de même de la première. Ceci se traduit par $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ ou encore~: $f$ est continue en $a$. Ceci s'applique à tout $a$ de $\R$. \end{solution} \end{exercise} \end{document}