\documentclass{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[designi,pdftex,french]{web} \usepackage{fourier} \usepackage{../webmacros} \usepackage[pdftex]{graphicx} \title{Fonctions usuelles} \author{Jean-Michel Sarlat} \subject{Fonctions usuelles} \keywords{LaTeX, hyperref, maths} %\university{\fig{0.6}{logo.eps}} \email{jm-sarlat@melusine.eu.org} \version{1.2} \copyrightyears{2000-2007} % % Insert some instruction on cover page % \renewcommand\optionalpagematter{\vfill \begin{center} \fcolorbox{blue}{webyellow}{ \begin{minipage}{.67\linewidth} \noindent\textcolor{red}{\textbf{Sommaire :}} Fonctions circulaires réciproques et fonctions hyperboliques. \end{minipage}} \end{center} } \parindent0pt \begin{document} \maketitle \tableofcontents %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Rappels} %------------------------------------------------------------------------------------------ Soit $f$ une bijection d'un intervalle $I$ de $\R$ sur un intervalle $J$ de $\R$ et $f^{-1}$ son application réciproque. \begin{enumerate} \item $\forall x\in I,\, f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ et $\forall y\in J,\, f\left(f^{-1}(y)\right)=y$\\ ie. $f^{-1}\circ f=id_I$ et $f\circ f^{-1}=id_J$ \item Dans un repère orthonormé, $C_f$ et $C_{f^{-1}}$ sont des courbes symé\-triques l'une de l'autre par rapport à la première bissectrice des axes. \item Si $f$ est monotone sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$, la réciproque est vraie. La fonction $f^{-1}$ est alors monotone et continue sur $J$ avec une monotonie identique à celle de $f$. \item Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ ne s'annule pas sur $I$ alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et~: $$\forall x\in J,\, \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$$ ou encore~: $$\left(f^{-1}\right)'=\frac1{f'\circ f^{-1}}$$ \end{enumerate} \begin{definition} $f$ étant une bijection de $I$ sur $J$, intervalles de $\R$, si $f$ et $f^{-1}$ sont continues on dit que $f$ est un \textbf{homéo\-morphisme} de $I$ sur $J$ et que les intervalles $I$ et $J$ sont \textbf{homéomorphes}. \end{definition} \begin{definition} $f$ étant une bijection de $I$ sur $J$, intervalles de $\R$, si $f$ et $f^{-1}$ sont dérivables et si $f'$ et ${f^{-1}}'$ sont des fonctions continues on dit que $f$ est un \textbf{difféomorphisme} de $I$ sur $J$. \end{definition} \newpage %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Fonctions circulaires réciproques} %------------------------------------------------------------------------------------------ % \subsection{Arc Sinus} % La fonction $x\mapsto\sin x$ est une bijection de $\displaystyle [-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2]$ sur $[-1,1]$, son application réciproque est la fonction \textbf{Arc sinus}, notée $\arcsin$, elle est définie sur $[-1,1]$ et à valeurs dans $\displaystyle [-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2]$. $$\forall x\in [-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2],\, \arcsin(\sin x)=x$$ $$\forall x\in [-1,1],\, \sin(\arcsin x)=x$$ La fonction $\arcsin$ (voir Figure~\ref{usuelles:arcsincos}) est continue et croissante sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$.\\ On a~: $$\forall x\in ]-1,1[,\, \arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$ puisque~: $$\forall x\in [-1,1],\, \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$$ % \subsection{Arc Cosinus} % La fonction $x\mapsto\cos x$ est une bijection de $[0,\pi]$ sur $[-1,1]$, son application réciproque est la fonction \textbf{Arc cosinus}, notée $\arccos$, elle est définie sur $[-1,1]$ et à valeurs dans $[0,\pi]$. $$\forall x\in [0,\pi],\, \arccos(\cos x)=x$$ $$\forall x\in [-1,1],\, \cos(\arccos x)=x$$ La fonction $\arccos$ (voir Figure~\ref{usuelles:arcsincos}) est continue et décroissante sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$.\\ On a~: $$\forall x\in ]-1,1[,\, \arccos'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$ puisque~: $$\forall x\in [-1,1],\, \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$$ \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[scale=.5]{fctuarccos.pdf} \includegraphics[scale=.5]{fctuarcsin.pdf} \caption{Représentations de $\arcsin$ et $\arccos$} \label{usuelles:arcsincos} \end{figure} \newpage % \subsection{Arc Tangente} % La fonction $x\mapsto\tan x$ est une bijection de $\displaystyle ]-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2[$ sur $\R$, son application réciproque est la fonction \textbf{Arc tangente}, notée $\arctan$, elle est définie sur $\R$ et à valeurs dans $\displaystyle ]-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2[$. $$\forall x\in ]-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2[,\, \arctan(\tan x)=x$$ $$\forall x\in \R,\, \tan(\arctan x)=x$$ \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[scale=.5]{fctuarctan.pdf} \caption{Représentation de $\arctan$} \label{usuelles:arctan} \end{figure} La fonction $\arctan$ (voir Figure~\ref{usuelles:arctan})est continue, croissante et dérivable sur $\R$.\\ On a~: $$\forall x\in \R,\, \arctan'(x)=\frac1{1+x^2}$$ \newpage % \subsection{Formulaire} % \subsubsection{Parité} \begin{enumerate} \item $\arcsin$ est impaire~: $\forall x\in [-1,1],\, \arcsin (-x)=-\arcsin (x)$ \item $\arctan$ est impaire~: $\forall x\in \R,\, \arctan (-x)=-\arctan (x)$ \end{enumerate} \subsubsection{Arcs complémentaires} \begin{enumerate} \item $\displaystyle\forall x\in [-1,1],\, \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}2$ \item $\displaystyle\forall x\in \R^*,\, \arctan x+\arctan \frac1x=\sysl{\displaystyle +\frac{\pi}2\hbox{ si }x>0\cr\cr \displaystyle -\frac{\pi}2\hbox{ si }x<0}$ \end{enumerate} \subsubsection{Arcs doubles} \begin{enumerate} \item $\forall x\in [-1,1],\, \sin 2\arcsin x=\sin 2\arccos x= 2x\sqrt{1-x^2}$ \item $\forall x\in [-1,1],\, \cos 2\arcsin x=-\cos 2\arccos x= 1-2x^2$ \item $\displaystyle\forall x\in\R\setminus\{-1,+1\},\, \tan 2\arctan x=\frac{2x}{1-x^2}$ \end{enumerate} %------------------------------------------------------------------------------------------ \section{Fonctions hyperboliques} %------------------------------------------------------------------------------------------ % \subsection{Définitions} % Les fonctions \textbf{cosinus hyperbolique}, \textbf{sinus hyperbolique}, \textbf{tangente hyperbolique} notées respectivement $ch$, $sh$ et $th$ sont définies pour $x\in \R$ par~: {\small $$\ch x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\, \sh x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\, \th x=\frac{\sh x}{\ch x}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$ } \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[scale=.4]{fctuch.pdf} \includegraphics[scale=.4]{fctuch.pdf} \caption{Représentation de $\ch$ et $\sh$} \label{usuelles:shch} \end{figure} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[scale=.4]{fctuth.pdf} \includegraphics[scale=.4]{fctuchsh.pdf} \caption{Représentation de $\th$ et comparaison de $\ch$ et $\sh$} \label{usuelles:thshch} \end{figure} $\ch$ est la {\em partie paire} de l'exponentielle, $\sh$ en est la {\em partie impaire} (Voir Figure~\ref{usuelles:shch}). La fonction $\th$ est une fonction impaire (Voir Figure~\ref{usuelles:thshch}). $$\forall x\in\R,\, \sysl{\ch x+\sh x&=e^x\cr \ch x-\sh x&=e^{-x}}$$ On obtient ainsi l'identité fondamentale~: $$\fbox{$\ch^2x-\sh^2x=1$}$$ Les fonctions $\ch,\sh$ et $\th$ sont indéfiniment dérivables sur $\R$ et~: {\small $$\fbox{$\displaystyle\forall x\in\R,\, (\sh)'(x)=\ch x,\, (\ch)'(x)=\sh x,\, (\th)'(x)=\frac1{\ch^2x}=1-\th^2x$}$$ } Les limites à l'infini sont~: $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\ch x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\sh x=+\infty,\, \lim_{x\rightarrow+\infty}\th x=1$$ On retiendra aussi~: $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ch x}{\displaystyle\frac{e^x}2} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sh x}{\displaystyle\frac{e^x}2}=1$$ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sh x}x=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\th x}x =1,\, \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ch x-1}{\displaystyle\frac{x^2}2}=1$$ \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[scale=.5]{fctuhyp.pdf} \caption{Hyperbole d'équation $x^2-y^2=1$} \label{usuelles:hyp} \end{figure} Le nom de {\em fonctions hyperboliques} est justifié par le fait que $$(x=\ch t,y=\sh t)$$ est un paramétrage de la branche d'hyperbole d'équation $x^2-y^2=1$ avec $x>0$ (Voir Figure~\ref{usuelles:hyp}). % \subsection{Formulaire} % $a,b,p,q,x$ désignent des réels. \subsubsection{Addition} \begin{enumerate} \item $\ch (a+b)=\ch a\ch b+\sh a\sh b$ \item $\sh (a+b)=\sh a\ch b+\ch a\sh b$ \item $\displaystyle\th (a+b)=\frac{\th a+\th b}{1+\th a\th b}$ \end{enumerate} \subsubsection{Duplication} \begin{enumerate} \item $\ch 2x=\ch^2 x+\sh^2 x=2\ch^2x-1=1+2\sh^2x$ \item $\displaystyle\sh^2x=\frac{\ch 2x-1}{2}\hbox{ et } \ch^2x=\frac{\ch 2x+1}2$ \item $\sh 2x=2\sh x\ch x$ \item $\displaystyle \th 2x=\frac{2\th x}{1+\th^2 x}$ \end{enumerate} Si on pose $\displaystyle t=\th\frac{x}2$ alors~: $$\ch x=\frac{1+t^2}{1-t^2},\, \sh x=\frac{2t}{1-t^2},\, \th x=\frac{2t}{1+t^2}$$ \subsubsection{Transformation de produit en somme} \begin{enumerate} \item $\displaystyle\ch a\ch b=\frac12\left(\ch (a+b)+\ch (a-b)\right)$ \item $\displaystyle\sh a\sh b=\frac12\left(\ch (a+b)-\ch (a-b)\right)$ \item $\displaystyle\sh a\ch b=\frac12\left(\sh (a+b)+\sh (a-b)\right)$ \end{enumerate} \subsubsection{Transformation de somme en produit} \begin{enumerate} \item $\displaystyle \ch p + \ch q=2\ch\frac{p+q}2\ch\frac{p-q}2$ \item $\displaystyle \ch p - \ch q=2\sh\frac{p+q}2\sh\frac{p-q}2$ \item $\displaystyle \sh p + \sh q=2\sh\frac{p+q}2\ch\frac{p-q}2$ \item $\displaystyle \th p + \th q=\frac{\sh (p+q)}{\ch p\ch q}$ \end{enumerate} \end{document}