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%@metapost:clermont1997.mp
%@Titre: Clermont -- 1997
Dans ce problème, on veut calculer les aires d'un carré, d'un hexagone
régulier et d'un décagone (polygone de dix côtés) régulier de même
périmètre (120~m).
\par Les trois parties du problème sont indépendantes. Toutes les
longueurs qui interviennent sont exprimées en mètres et les aires en
mètres carrés.
\par On ne refera pas les figures.
\paragraph{Première Partie} : \'Etude du carré
\par Calculer le côté puis l'aire d'un carré de 120~m de périmètre.
\paragraph{Deuxième Partie} : \'Etude de l'hexagone régulier.
\par\compo{3}{clermont1997}{1}{La figure ci-contre représente un
hexagone régulier $ABCDEF$ de 120~m de périmètre. Il est inscrit
dans un cercle de centre $O$; il est constitué de six triangles
équilatéraux. Le segment $[CH]$ est une hauteur du triangle
équilatéral $OAB$.
\begin{myenumerate}
\item Calculer la longueur $AB$ du côté de l'hexagone régulier.
\item En déduire $AH$ puis la valeur exacte de $OH$. (On justifiera
chaque réponse.)
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle $OAB$.
\end{myenumerate}
}
\begin{myenumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Calculer la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10~m$^2$
près de l'aire de l'hexagone régulier de 120~m de périmètre.
\end{myenumerate}
\paragraph{Troisième partie} : \'Etude du décagone régulier
\par\compo{4}{clermont1997}{1}{La figure ci-contre représente un
décagone régulier $MNPQRSTUVW$ de 120~m de périmètre. Ce décagone
est inscrit dans un cercle de centre $I$. Le segment $[IK]$ est une
hauteur du triangle isocèle $IMN$.}
\begin{myenumerate}
\item Calculer la longueur $MN$ du côté du décagone régulier.
\item Calculer l'angle $\widehat{MIN}$, puis l'angle $\widehat{IMN}$.
\item\label{clermontpbq3} Montrer que la valeur arrondie au centimètre
près de $IK$ est 18,47 mètres.
\item En utilisant la valeur approchée de $IK$ donnée en
  3%\ref{clermontpbq3}
, calculer :
\begin{enumerate}
\item l'aire du triangle $MIN$.
\item l'aire du décagone régulier ; donner la valeur arrondie à
10~m$^2$ près de ce dernier résultat.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}