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%@metapost:gpeest2004.mp
%@Titre: Groupe Est -- 2004
\par On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$~cm et $AC=4$~cm. 
\par\vspace{2mm}\par\centerline{\bf Première Partie}\par
\begin{myenumerate}
\item Construire ce triangle. 
\item Placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $BM=3,5$~cm et tracer la droite 
passant par le point $M$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$; elle coupe le segment 
$[BC]$ en $E$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $AM$.
\item Démontrer que les droites $(AC)$ et $(ME)$ sont parallèles.
\item Calculer $EM$ (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
\item Le triangle $AEM$ est-il un triangle isocèle en $M$ ?
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
\par\centerline{\bf Deuxième Partie}
\par\compo{4}{gpeest2004}{1}{On souhaite placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ de fa\c con à ce que le triangle $AEM$ soit isocèle en $M$ comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de refaire. On rappelle que $AB=6$~cm et $AC=4$~cm.} 
\begin{myenumerate}
\item  On pose $BM=x$ (on a donc $0\leqslant x\leqslant6$). Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que 
\[ME=\frac23x\]
\item Première résolution du problème posé.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $MA=6-x$.
\item Calculer $x$ pour que le triangle $AME$ soit isocèle en $M$.
\end{enumerate}
\item Soit un repère orthogonal avec pour unités 2~cm sur l'axe des abscisses et 
1~cm sur l'axe des ordonnées. 
\begin{enumerate}
\item Représenter, dans ce repère, les fonctions $f$ et $g$ définies par : 
\[f(x)=\frac23x\qquad\mbox{et}\qquad g(x)=6-x\]
pour $0\leqslant x\leqslant6$.
\item En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question \textbf{2. b.}.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}