%@Titre:Propriété du $\pgcd$ de deux nombres entiers. %@Dif:2 Dans toute cette activité, $a$ et $b$ sont deux nombres entiers strictement positifs tels que $a>b$. \paragraph{Diviseurs et opérations} \begin{myenumerate} \item\begin{enumerate} \item Donne un diviseur $d$ (différent de 1) commun à 45 et à 35. \item $d$ est-il un diviseur de $45+35$ ? de $45-35$ ? \end{enumerate} \item Supposons que 2 soit un diviseur de $a$ alors $a=2\times n$ avec $n$ un nombre entier. \par Supposons que 2 soit un diviseur de $b$ alors $b=2\times m$ avec $m$ un nombre entier. \par Alors \[\Eqalign{ a+b&=\ldots\times n+\ldots\times m=\ldots\times\ldots\ldots\qquad\mbox{d'où 2 est un diviseur de $\ldots\ldots\ldots$}\cr a-b&=\ldots\times n-\ldots\times m=\ldots\times\ldots\ldots\qquad\mbox{d'où 2 est un diviseur de $\ldots\ldots\ldots$}\cr }\] \item Si $5$ est un diviseur commun à $a$ et $b$, prouve que 5 est aussi un diviseur de $a-b$. \par 5 est un diviseur de \ldots alors $\ldots=5\times\ldots$ avec $n$ un nombre entier. \par 5 est \dotfill. \par Donc $a-b=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots=\ldots\times\ldots\ldots$ d'où \dotfill. \end{myenumerate} \paragraph{Théorie} Si $k$ est un diviseur commun de $a$ et de $b$ alors $a=k\times a'$ et $b=k\times b'$ avec $a'$ et $b'$ des nombres entiers. \par Donc $a-b=$\dotfill \par d'où $k$ est un diviseur de $a-b$. \par\underline{Application} Soit $k=\pgcd(a,b)$. Donc \[\left.\begin{tabular}{l} $k$ divise $a-b$\\ $k$ divise $b$\\ \end{tabular} \right\} \mbox{Donc $k$ est un diviseur commun à $b$ et $a-b$.} \] Est-ce le plus grand ? Soit $\ell$ le $\pgcd(b;a-b)$. Alors $k\leqslant\ell$ et $b=\ell\times b_1$ et $a-b=\ell\times c_1$. \\On obtient alors que \[a=a-b+b=\ell\times c_1+\ell\times b_1=\ell\times(c_1+b_1)\] $\ell$ est donc un diviseur commun de $a$ et $b$ et $\ell\leqslant k$. Donc $k$ est le $\pgcd(b;a-b)$. \paragraph{Pratique} Comment faire, avec cette méthode, pour trouver le $\pgcd(254,76)$ ?